Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры определения частот свободных колебаний

Пример 2.1. Определим частоты свободных колебаний невесомой балки пролетом / = 8 м, на которой расположены две сосредоточенные массы т/г, = т2 = 0,5 т (рис. 2.3, a). EI = 120 кН м2.

Решение

Число степеней рассматриваемой системы равно двум. Для вычисления частот свободных колебаний составим определитель типа (2.7):

Коэффициенты 6И, б12, 821, б22 находятся по формуле Мора, для чего предварительно строятся эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в направлении возможных перемещений масс тл и т2 (рис. 2.3, б, в):

Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

Рис. 23. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение относительно 'к'.

Для получения формы колебаний с частотой со, подставим = 1 и А., = = 0,08395 в уравнение типа (2.6) и определим a2i:

откуда а21 = 1,178. Таким образом, собственный вектор для первой формы колебаний

Форма колебаний изображена на рис. 2.3, г. Аналогично вычисляется собственный вектор для второй формы колебаний с частотой со2 (рис. 2.3, д):

Подставим полученные значения амплитуд в условие ортогональности (2.12):

что подтверждает правильность вычисленных векторов v{ и v2.

Пример 2.2. Определим частоты свободных колебаний рамы, изображенной на рис. 2.4, а.

Решение

Рама один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости используем метод сил. Чтобы воспользоваться системой MATLAB, решим задачу в матричной форме. Выберем основную систему (рис. 2.4, б) и составим исходные матрицы.

Чтобы нагрузка оказалась в узлах, разделим раму на пять элементов. Число расчетных сечений в этом случае будет равно семи (см. рис. 2.4, б). Для получения исходных матриц f (7 х 7), Ь, (7 х 1), Ь() (7 х 3) и матрицы масс М (3 X 3) [ 15] (в скобках указаны размеры матриц) построим эпюры М,°, М (рис. 2.4, в — е). В результате имеем

Выбор основной системы и построение эпюр от единичных сил

Рис. 2.4. Выбор основной системы и построение эпюр от единичных сил

Программа вычислений для системы MATLAB приведена в приложении 1.1. Результаты вычисленый:

Пусть ?/=350 000 Н ? м2; т = 200 кг. Тогда в порядке возрастания со, = 3,06 с со2 = 13,83 с со3= 25,89 с *. Матрица собственных векторов v позволяет легко построить формы колебаний (рис. 2.5).

Формы колебаний

Рис. 2.5. Формы колебаний

Система MATLAB выдает матрицу соответствующих собственных нормированных векторов. Это ни в коей мере не усложняет построение форм колебаний, так как при нормировании векторов соотношение между ними сохраняется.

Статически неопределимая рама с двумя степенями свободы

Рис. 2.6. Статически неопределимая рама с двумя степенями свободы

Упражнение 2.1. Определите частоты и формы собственных колебаний рамы, изображенной на рис. 2.6.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>