Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Начальные сведения об изгибных колебаниях пластин

Пластинки (плиты), как и стержни, являются основными несущими элементами при строительстве зданий и других сооружений. Поэтому выявление деформированного и напряженного состояния этих конструкций является крайне необходимым для обеспечения их надежности. В существующей литературе рассмотрены пластинки упругие, анизотропные, гладкие и с подкрепляющими ребрами с учетом пластичности материала и самой разнообразной формы в плане. Ниже приведено решение элементарных задач в упругой линейной постановке.

Плита или пластина представляет собой тонкое двухмерное тело, один размер которого (толщина) намного меньше двух других размеров и срединная поверхность которого есть плоскость. Срединной поверхностью называется поверхность, равноотстоящая от внешних поверхностей (рис. 3.2).

Расчетная схема плиты

Рис. 3.2. Расчетная схема плиты

Дальше рассматриваются топкие пластинки, для которых справедливы гипотезы Кирхгофа — Лява. Их две. Первая гипотеза геометрическая: прямолинейный элемент, нормальный срединной поверхности до деформации остается нормальным деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины. Вторая гипотеза физическая: нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями. Гипотезы Кирхгофа — Лява сводят трехмерную задачу к двумерной. Этим гипотезам при расчете балок соответствует гипотеза о плоском сечении и допущение о том, что при изгибе волокна не давят друг на друга. Пластина считается тонкой, если отношение ее минимального размера в плане к толщине находится в пределах 1 h 1

  • - > - > —
  • 5 b 80'

Уравнения для решения задач динамики получаются путем добавления инерционных членов к статическим уравнениям. Поэтому вначале получим основное уравнение изгиба плит. Вывод выполним для изотропного упругого материала.

Так как по второй гипотезе Кирхгофа — Лява а2 = 0, то зависимость между деформациями и напряжениями для изотропного материала будет иметь следующий вид:

Напряжения изображены на рис. 3.3. Далее выразим напряжения через деформации:

Напряжения в плите

Рис. 3.3. Напряжения в плите

В этих выражениях заменим деформации перемещениями, используя уравнения Коши:

Здесь и — перемещения вдоль оси х; v — перемещения вдоль оси у.

В формулах напряжений горизонтальные перемещения и и v заменим вертикальными перемещениями w. На основе геометрической гипотезы установим зависимость между ними. Рассмотрим сечение вдоль оси х (рис. 3.4).

Установление связи между горизонтальными и вертикальными

Рис. 3.4. Установление связи между горизонтальными и вертикальными

перемещениями

,, dw _ и

Угол наклона (р = —. Ввиду малости угла можно принять, что (р ~ tgcp = —.

rI OW и ^ ow

Подставляя это значение, получим, что — = —. Отсюда и = -z—?

дх z дх

Аналогично определяется значение v. После подстановки этих значения выражения для напряжений примут вид

При расчете плит удобнее иметь дело не с напряжениями, а с усилиями. В отличие от стержневых систем эти усилия определяются на единицу длины. Вырежем из пластины бесконечно малый в плане элемент размерами dx и dy (рис. 3.5).

Z

Рис. 3.5. Моменты, возникающие в плите

Моментами, возникающими в плите, будут:

Мх равнодействующая напряжений <тг;

Му равнодействующая напряжений а;

МХ1/ и МуХ — равнодействующие касательных напряжений хХ1/ и тух.

Из-за парности касательных напряжений Мху = Мух.

С целью определения этих моментов проинтегрируем напряжения по площади, например

Как уже отмечалось, удобнее вместо сосредоточенного момента иметь распределенный момент на единицу длины. Для этого надо Мх разделить на dy, т.е. на единицу длины площадки. Тогда

Подставим сюда значение ov:

h

г h3

Имеем J z2dz = —, что представляет собой момент инерции на единицу

А

  • 2
  • 1-й3

длины, т.е. /=

Если от усилий надо перейти к напряжениям, то они определяются так же, как в сопротивлении материалов для балок. Только здесь ширина сечения принимается равной единице.

Чтобы получить дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности, вырежем из срединной плоскости пластинки бесконечно малый элемент dxdy (рис. 3.6) и составим для него уравнения равновесия.

Усилия, возникающие в плите при деформировании

Рис. 3.6. Усилия, возникающие в плите при деформировании

На кромках, кроме моментов, будут иметь место и поперечные силы, как в балках. Эти поперечные силы являются равнодействующими вертикальных касательных напряжений (рис. 3.7).

Определение поперечной силы через касательные напряжения

Рис. 3.7. Определение поперечной силы через касательные напряжения

Они также распределены на единицу длины. На выделенный элемент действует распределенная нагрузка интенсивностью q. В общем случае нагрузка является функцией координат х и у.

Теперь спроектируем все силы на ось г:

После сокращения подобных членов и деления на dxdy получим, что

Возьмем далее сумму моментов всех сил относительно оси у:

Отбросим бесконечно малые величины высшего порядка малости и разделим уравнение на dxdy:

Если бы не было крутящего момента, то зависимость между Q и М была бы такой же, как в балках.

Аналогичный вид будет иметь уравнение суммы моментов относительно оси хг.

Подставим значение Qx и Qvb уравнение проекций на ось 2:

В последнее уравнение подставим значения моментов, выраженные через прогибы:

где V — оператор Лапласа.

Это и есть дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки. Оно но физическому смыслу представляет собой сумму проекций всех сил на вертикальную ось для бесконечно малого элемента. Его называют также уравнением Софи Жермен по имени ученой, получившей его впервые. С математической точки зрения это неоднородное бигармоничес- кое дифференциальное уравнение 4-го порядка в частных производных.

Теперь можно записать основное уравнение исследования колебания пластин, дописав в него на основании принципа Даламбсра инерционный член:

Потенциальная энергия деформации и кинетическая энергия для пластинки представлены ниже:

Пример 3.2. Исследуем колебание свободно опертой прямоугольной пластинки1.

Решение

Прогибы пластинки представим в виде двойного ряда

1 Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.

Каждый член этого ряда удовлетворяет краевым условиям, т.е. вторые производные на контуре равны нулю. Подставляя перемещение (3.28) в соотношение (3.27) для потенциальной энергии, получим следующее выражение потенциальной энергии деформации:

Подстановка представления (3.28) в соотношение (3.27) для кинетической энергии приводит к следующему значению:

тюс ппу

Задавая возможное перемещение Д^-sin--sin —, на основании принципа: b

па возможных перемещений получим дифференциальное уравнение колебаний

Это обычное уравнение колебаний без учета рассеивания энергии. Решение этого уравнения известно (см. (1.8)): Лтп = Acoscot + Bsinwt.

Из представления (3.28) очевидно, что угловая частота собственных колебаний равна

Полученное выражение позволяет определять частоты свободных колебаний. Например, для квадратной пластинки низшая угловая частота равна

В ряде случаев достаточно получить лишь низшую частоту свободных колебаний плиты. Приближенное значение частоты можно вычислить по формуле (1.4) как для системы с одной степенью свободы. Масса плиты приводится к ее центру по формуле

Прогиб в центре плиты определяется по формуле С. П. Тимошенко[1]

Коэффициент а зависит от соотношения сторон плиты. Его значения приведены в табл. 3.2 при значении коэффициента Пуассона р = 0,3.

Зависимость коэффициента а от соотношения сторон плиты

Ь/а

1,0

1,1

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

3,0

оо

а

0,01160

0,01265

0,01353

0,01484

0,02570

0,01620

0,01651

0,01690

0,01595

Формула (1.4) для квадратной плиты примет вид

Сравнение данной формулы и формулы (3.30) показывает расхождение приблизительно 6%.

Относительно легко можно получить решение в случае вынужденных колебаний прямоугольной пластины со свободно опертыми краевыми условиями. Задача становится значительно труднее при других краевых условиях на контуре. В таких случаях приходится прибегать к вариационным методам.

Пример 3.3. Определим амплитуду вынужденных колебаний в прямоугольной пластинке с размерами а и Ь, шарнирно опертой по контуру, от нагрузки, распределенной по всей поверхности. Вид нагрузки:

Решение

Для шарнирно опертой по контуру пластины нагрузку представляют в форме ряда:

где

где

Для пластин прогиб принимают в следующем виде:

Для рассматриваемого случая а = а, р = b, Стп = qlt. Подставляя эти значения в выражение прогиба, получим, что

Максимальная амплитуда в центре плиты для низшей частоты при sin Of = 1 будет равна

Упражнение 3.1. Определите спектр частот собственных колебаний прямоугольной пластинки со сторонами а и Ь.

  • [1] Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки / пср. с англ. М.: Физмат-гиз, 1963.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>