Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Решение задач динамики вариационным методом

При построении решения используется принцип стационарного действия Остроградского —Гамильтона. Этот принцип утверждает, что среди возможных, т.е. совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, дающее стационарное значение (т.е. значение, соответствующее аргументу, для которого вариация функционала равна нулю) [28]

где К — кинетическая энергия; Э — потенциальная энергия упругой системы.

Для функций, которые зависят от двух переменных х и t, на основании уравнения Остроградского можно получить уравнение Эйлера — Пуассона [ 281. Например, для функционала

получим уравнение

Запишем функционал для стержня, загруженного в одной плоскости поперечной нагрузкой с функциями у(х, t) и нагрузкой q(x, t):

Для рассматриваемого стержня уравнение Эйлера — Пуассона с функцией у{х, t) примет вид

Здесь

В итоге получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

Пример 3.5. Получим решение для шарнирно опертой балки с постоянными сечением и массой при воздействии равномерно распределенной вибрационной нагрузки.

Решение

Для принятой балки и заданной нагрузки наиболее подходящей функцией прогиба, удовлетворяющей граничным условиям, является синусоида. Рассмотрим стационарный процесс. Итак,

Здесь а, — искомый параметр; 0 — угловая частота вибрационной нагрузки. Подставим введенные функции в функционал (3.44):

или при п = 1 а. =-7-——, где со — частота свободных колебаний шарнир-

7Ш((02 - 02)

но опертой балки (см. параграф 3.2). Окончательное выражение для прогибов балки примет вид

Совершенно очевидно, что и при распределенной массе совпадение частот собственных колебаний балки с частотой вынужденных колебаний приводит к резонансу.

Соотношение (3.45) можно выразить через динамический коэффициент (1.33). С этой целью в знаменателе вынесем за скобку со2 и подставим его значе- п ЛЕ1

иие СО2 = —— ( см. параграф 3.2):

Дробь перед р представляет собой выражение для статического прогиба. Его максимальное значение будет в середине пролета при sin 0? = 1.

44 ql{

В итоге г/тах = • • р, или в числах г/тах = 0,01307 — р. Точное значение ста- к’Е1 ' Е1

qlA

тическош прогиба z/max = 0,01302 —. Расхождение —0,4%.

Изгибающий момент в балке определяется известным уравнением при п = 1:

Оценим точность этого выражения изгибающего момента. Опять выразим мак-

417/2

симальное значение момента через динамический коэффициент — Мпгм = —^-р,

или в числах Мтах = 0,129<у/2р. Точное значение статического изгибающего момента Мтах = 0,125ql2. Расхождение — 3,2%.

При том же числе членов ряда значения усилий всегда получаются менее точными, чем значения перемещений.

Упражнение 3.2. Получите выражения прогиба и изгибающего момента для балки из примера 3.6 от сосредоточенной силы F(t) = /-'sin 0/, приложенной в середине пролета. В качестве линии прогиба по-прежнему примите синусоиду.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>