Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Численное интегрирование уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы

Кроме приема, изложенного в предыдущем параграфе, дифференциальные уравнения движения масс можно проинтегрировать численно, что стало вполне доступно при наличии ЭВМ. При решении задач динамики методом конечных элементов, реализующим идеи метода перемещений, уравнения, записанные в матричной форме для момента времени t, имеют вид

Здесь М, С, К — матрицы масс, демпфирования и жесткости; Y,, Yf> Yrвекторы перемещений, скоростей и ускорений масс системы с конечным числом степеней свободы; R, — вектор, представляющий внешнее воздействие. В случае расчета по акселерограммам землетрясений

где y0(t) — заданное ускорение.

В отличие от предыдущего параграфа здесь введена матрица демпфирования. Видимо, впервые Рэлеем было сделано предположение, что затухание колебаний должно быть пропорционально массе и жесткости. Поэтому матрица С представляется следующим образом:

где а и b — коэффициенты пропорциональности, которые вычисляются по двум значениям коэффициентов демпфирования а;, относящимся к колебаниям с двумя различными частотами [14]. Запись (6.21) удобна тем, что она допускает разложение решения но собственным формам колебаний, как это было показано в параграфе 2.7 для матриц М и К.

Численное интегрирование уравнений выполняется путем итерационного процесса. В этих случаях всегда встает вопрос об устойчивости процесса. В работе [14] показано, что устойчивость процесса будет обеспечена при применении для перемещения на интервале времени At кубического полинома (см. рис. 6.4) при следующих значениях параметров а и 3:

Для линейных задач обычно берутся граничные значения а = 0,5; 3 = 0,25, которые обеспечивают наибольшую точность вычислений. Применение этих параметров будет показано ниже.

Другим важным фактором при итерационном процессе является выбор шага по времени At. Как уже отмечалось в параграфе 6.2, рекомендуется принимать At = 0,1 Tv где Т{ наименьший период собственных колебаний системы. Однако если влияние высших форм колебаний невелико, то шаг можно выбирать крупнее, что делает расчет более эффективным, но в любом случае желательно не более 0,5 Ниже приводится последовательность операций интегрирования при решении линейных задач [14].

Операция интегрирования включает в себя подготовительные вычисления и итерационный процесс. В подготовительные вычисления входят следующие этапы.

  • 1. Выбор шага времени At и коэффициентов а и р.
  • 2. Вычисление постоянных коэффициентов:
  • 3. Формирование матриц К, М, С и вектора R,, — начального вектора внешнего воздействия. Эта операция выполняется обычными приемами строительной механики.
  • 4. Построение начальных векторов Y0, Y0, Y0. В излагаемой процедуре векторы Y(), Y0 могут быть произвольными, но проще всего принять некоторые из них равными нулю. Вектор начальных ускорений определяется из уравнений типа (6.20):

5. Вычисление так называемой динамической матрицы жесткости

6. Обращение матрицы Кв.

На этом закапчиваются подготовительные вычисления. Далее следует процесс интегрирования, который не требует специальных пояснений.

7. Вычисление внешнего воздействия Н,, для времени t + At через значения величин лля впемени /::

8. Определение вектора перемещений:

9. Вычисление вектора скоростей:

10. Определение вектора ускорений:

Затем переходят к следующему шагу по времени, начиная с и. 7, при постоянном значении At.

Процедуру интегрирования в ряде случаев, особенно при решении нелинейных задач, целесообразно построить в приращениях перемещений, как это показано в параграфе 6.2. С этой целью составим разность уравнений типа (6.20) для времени t + At и t:

Введем обозначения

Подставим эти обозначения и выражения (6.25), (6.26) в данную разность и перепишем известные величины вправо:

Из уравнения (6.27) определяются приращения перемещений.

Введем новые дополнительные коэффициенты:

Последовательность интегрирования в рассматриваемом случае следующая.

  • 1. Выбор шага времени At и коэффициентов а и р.
  • 2. Вычисление постоянных коэффициентов ак, k = 0, 1,..., 7, по формулам (6.23) и (6.28).
  • 3. Формирование матриц К, М, С.
  • 4. Определение динамической матрицы жесткости

  • 5. Обращение матрицы К0.
  • 6. Вычисление ДН, ,ы. Если нагрузка постоянная, как в случае внезапного приложения постоянной силы, то вычисляется начальный вектор ускорений (6.24).

7. Вычисление ппавой части уравнения (6.27V

8. Вычисление приращений перемещений

9. Вычисление скоростей

10. Вычисление ускорений

Затем переходят к следующему шагу по времени, т.е. к п. 6. Если требуется, то на каждом шаге определяются перемещения: Y,+&, = Y, + AYt+Af. При решении линейных задач обе процедуры дают одни и те же результаты при одном и том же шаге времени At.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>