Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Колебание железобетонных стержней

При математическом моделировании сначала формулируется рассматриваемая задача на физическом уровне. Затем она сводится к формальному решению на основе известных законов механики и природы.

Рассмотрим колебания, вызывающие изгиб стержней. При колебании железобетонных стержней их значительный вес и нагрузка, как правило, заметно «подавляют» динамический эффект колебаний, которые вследствие этого происходят около статического положения равновесия, что обеспечивает постоянство знаков напряжений в сжатой зоне бетона и в растянутой арматуре.

Железобетон — сложный строительный материал, состоящий из бетона различной прочности и стальной арматуры. В отличие от арматуры, для которой модуль упругости в основном является постоянной величиной, бетон имеет модули упругости в растянутых и сжатых зонах, существенно различающиеся по величине. Этот факт делает расчет железобетонных конструкций более сложным. Поэтому приходится рассматривать несколько стадий напряженного состояния. В стадии I учитывается растяжение бетона до момента появления трещин. В стадии II исключается работа бетона в растянутой зоне. Стадия III — стадия разрушения, характеризующаяся относительно коротким периодом работы элемента, когда напряжения в растянутой стержневой арматуре достигают физического или условного предела текучести.

Далее рассмотрим частный случай «умеренных» нагрузок, когда имеют место трещины в растянутой зоне бетона и она исключается из расчета, но предельное состояние еще не достигнуто, т.е. ограничимся рассмотрением стадии III (рис. 6.6) [1].

Напряженное состояние в стадии III

Рис. 6.6. Напряженное состояние в стадии III

Выражение потенциальной энергии в стадии III без учета поперечных сил имеет вид

(штрихи при и обозначают дифференцирование). Введем допущение о правомочности гипотезы плоских сечений и определим удлинения и

Подставим эти значения в формулу для энергии:

Примем, что все характеристики балки (геометрические и упругие) постоянны по ее длине, что позволяет вынести их из-под знака интеграла. В результате имеем

где

— приведенная жесткость.

Чтобы получить оптимальное значение высоты сжатой зоны бетона, проварьируем выражение приведенной жесткости похи приравняем нулю:

В результате получаем квадратное уравнение относительно х, которое совпадает с таковым из работы [1], но получено другим путем:

Если в этом уравнении модули упругости заменить предельными напряжениями, то после соответствующих преобразований получим, что

В этой формуле в работе [ 11 множитель 1,06 отсутствует. Разницу в 6% можно объяснить тем, что формула (6,31) получена с использованием гипотезы плоских сечений, а в работе [1] она получена из уравнения равновесия, никак не связанного с деформациями.

Рассмотрим примеры.

Пример 6.1. В качестве примера возьмем шарнирно опертую балку постоянного сечения пролетом 6 м с расположенным на ней двигателем на расстоянии 1,5 м от опоры, для которой определим перемещения и напряжения. Исходные данные: b = 0,2 м; h = 0,4 м; Еь = 3,06-107 кН/м2; Es= 2- 10нкН/м2;г/ = 19,62 кН/м; А = 1,6085 • 10_3 м2; A's = 0,565 • 10"4 м2; а = а' = 0,025 м.

Решение

Расчет выполним численным методом. Распределенную массу заменим расположенными через 1,5 м тремя сосредоточенными массами: т{ = т2 = 2,3 т; т3 = = 2,8 т (с учетом массы двигателя). Внешнее воздействие имитирует пуск двигателя с прохождением через резонанс:

где F = 20 кН; т = 8 с; 0 = 45 с1.

Из формул (6.31) и (6.29) х = 0,13 м; (ЕГ)пр = 26 157 кН/м2.

Элементы начальной матрицы податливости имеют следующие значения:

Частоты собственных колебаний со,, периоды колебаний 7*, и коэффициенты демпфирования р. (последние определены через коэффициент поглощения у =

у

= 0,16 [24] по формуле Р; = — ) представлены в таблице:

j

соу, С [1]

Т}> с

Р, с [1]

1

34,8

0,180

0,888

2

135,3

0,046

3,446

3

295,3

0,021

7,519

Поведение бетона описывается обобщенной диаграммой «а —г», или, как ее называют, формулой Евростандарта:

В формуле (6.32) е/;0= 0,002; Rb = 18 500 кН/м2.

Для численного решения составлена программа в системе MATLAB (см. приложение 1.5). При движении масс от положения равновесия используется формула (6.32), при движении к положению равновесия подставляется начальный модуль упругости. Результаты вычислений представлены на графиках (рис. 6.7 и 6.8).

Перемещение средней массы без учета постоянной нагрузки

Рис. 6.7. Перемещение средней массы без учета постоянной нагрузки

График изменения напряжений в бетоне с учетом статической нагрузки

Рис. 6.8. График изменения напряжений в бетоне с учетом статической нагрузки

Пример 6.2[1]. Шарнирно опертая балка рассчитывается на действие взрыва. Исходные данные: / = 3,72 м; b = 0,25 м; h = 0,5 м; Еь = 3,3 • 107 кН/м2; Es = 2 • 108 кН/м2; As = 1,963-10 3 м2; а = 0,03 м; погонная масса т = 6 т/м.

Решение

Воздействие описывается формулой

Имеем Ар = 83,6 кН/пог. м, 0 = 0,45 с.

Распределенная масса, как и в предыдущем примере, заменяется тремя сосредоточенными массами т{ = т2 = т3= 5,58 т, а распределенное давление — сосредоточенными силами р = 77,74 кН, приложенными к массам.

Расчет проведен для стадии III.

По формулам (6.31) и (6.29) находим х = 0,1439 м и (ЕГ) = 54 041 кНм2. Матрица податливости, частоты и периоды собственных колебаний имеет вид

Частоты и периоды собственных колебаний и коэффициенты демпфирования приведены в таблице:

j

со,, с 1

Тр с

Р,- с-

1

67,67

0,093

1,723

2

268,78

0,023

6,844

3

570,68

0,011

14,532

В отличие от примера из работы [19] выполним динамический расчет непосредственно методом конечных элементов (см. параграф 6.3). Результаты расчета представлены на рис. 6.9—6.11.

Перемещения средней массы

Рис. 6.9. Перемещения средней массы

Изменение жесткости при колебании

Рис. 6.10. Изменение жесткости при колебании

Напряжения в сжатой зоне бетона

Рис. 6.11. Напряжения в сжатой зоне бетона

Графики напряжений в растянутой арматуре в обоих примерах имеют такой же вид, как и в бетоне. С целью сравнения полученных результатов с результатами работы [19] выполним решение в линейной постановке. Сравнение результатов сведем в табл. 6.1. Как очевидно из таблицы, влияние нелинейности не очень значительное.

Таблица 6.1

Сравнение результатов двух подходов к решению задачи

Наименование

Книга 119]

Решение

Расхождение, %

Чред

377,1 кН-м

376,8 кН-м

0,01

Прогиб

9,714- 10-3м

9,397-10’3 м

3,3

Жесткость

50 бООкН-м2

48 844 кН-м2

3,5

ктп

1,89

1,86

1,7

Пример 6.3. Продемонстрируем пример конструктивной нелинейности. На рис. 8.8 в гл. 8 изображена система сейсмозащиты с упором. Введение упора делает поведение объекта нелинейным при землетрясении, что продемонстрировано на рис. 6.12. На графике приведены колебания двухэтажной рамы, полученной из рамы на рис. 5.6 путем удаления трех верхних этажей. Упор установлен на уровне перекрытия первого этажа. Сплошные линии (жирная линия — 1 -й этаж) — перемещения при наличии упора. Линия с кружками — перемещения первого этажа, а со звездочками — второго при колебании без упора. Наличие упора

Демонстрация влияния упора при колебании

Рис. 6.12. Демонстрация влияния упора при колебании

«срезает» пики амплитуды колебаний массы того этажа, где установлен упор. Эффект на перемещения других масс, в данном случае на массу второго этажа, незначителен.

Контрольные вопросы

  • 1. Какие виды нелинейности встречаются в строительных конструкциях?
  • 2. В каких конструкциях, жестких или гибких, чаще встречается геометрическая нелинейность?
  • 3. Чем объясняется физическая нелинейность?
  • 4. Какие методы используются для решения нелинейных задач?
  • 5. В чем особенность решения всех нелинейных задач?
  • 6. Какое демпфирование встречается при численном интегрировании уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы, кроме указанных в параграфе 1.3?
  • 7. Какой шаг по времени рекомендуется применять при итерационном процессе?
  • 8. В чем особенность расчета колебаний железобетонных стержней?
  • 9. Как учитываются упругие свойства материала при расчете железобетонных стержней на динамические нагрузки?
  • 10. Можно ли использовать конструктивную нелинейность для понижения эффекта сейсмического воздействия?

  • [1] Пример взят из работы [19].
  • [2] Пример взят из работы [19].
  • [3] Пример взят из работы [19].
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>