Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Продольные волны в стержнях (техническая теория)

В основу исследования продольных волн в стержнях постоянного сечения можно взять дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня из параграфа 3.3, которое в данном случае примет вид

Последнее равенство определяет скорость распространения продольных волн в стержнях. Эта скорость оказывается меньше скорости волн расширения-сжатия, но больше скорости волн сдвига. Подробнее о продольных волнах см. работу [3].

Изменения по глубине амплитуд колебаний грунта, вызванных поверхностными волнами

Общие выражения. Рассмотрим вывод общих выражений составляющих смещений грунта от волн, возбуждаемых вертикальной возмущающей силой, действующей вдоль линии на поверхности.

Если исключить случаи нахождения источников волн в глубоких шахтах, то практически все промышленные источники возбуждения волн в грунте располагаются вблизи его дневной поверхности. Точно так же и приемники волн, например фундаменты зданий, находятся вблизи той же поверхности грунта. Поэтому практический интерес для динамики оснований и фундаментов представляет изучение волн, распространяющихся вблизи поверхности. В связи с этим необходимо определить, как влияет наличие свободной поверхности грунта на распространение в нем волн.

Ограничимся рассмотрением плоской задачи, когда v = 0, — = — = 0.

ду ду

В этом случае, если пренебречь действием массовых сил, дифференциальные уравнения распространения волн имеют вид (см. (7.13))

Возьмем общее решение этих уравнений в виде

где Ф* и Ф’ — произвольные аналитические функции.

Ось 2 направим перпендикулярно поверхности грунта так, что для всех точек 2 > 0. Рассматривая установившийся процесс распространения волн с частотой со, полагаем

1 Параграф написан на основе материала книги: Баркан Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М.: Стройвоениздат, 1948.

Тогда уравнения, которым должны удовлетворять функции Ф и Ф, будут со со 2л

Здесь h = —, k = —. Так как со = —, где Т— период распространяющих-

2л 2л

ся волн, то очевидно, что h = —-, k = —-, однако vTи vTпредставляют со-

vj vsT

бою длины продольных и поперечных волн.

Следовательно, h и k — величины, обратные длинам волн, причем всегда k > h.

Частные решения уравнения (7.24) возьмем в следующем виде: где

С, D, х — произвольные постоянные, определяемые граничными условиями.

Касательные напряжения на граничной поверхности предполагаем равными нулю, т.е.

Предположим, что граничная плоскость г = 0 подвержена действию внешних нормальных сил, распределенных непрерывно по всей плоскости 2 = 0; эти силы вызывают нормальные напряжения на граничной поверхности, равные

Напряжения о, и твыражаются через функции Ф и Т следующим образом:

Подставляя в правые части этих равенств значения Ф и Ф, взятые из представления (7.26) при 2 = 0, и используя граничные условия (7.28) и (7.29), получим уравнения для определения постоянных С и D:

Для того чтобы перейти к волнам, возбуждаемым внешней возмущающей силой, действующей вдоль линии х = 0, z = 0 (рис. 7.2), полагаем

Л

F

Давление воздушной волны на грунт

Рис. 7.2. Давление воздушной волны на грунт

Подставив это значение а0 в правые части соотношений (7.34) и интегрируя от -°о до +оо, получим для перемещений uww следующие выражения:

Выражения (7.35) соответствуют вынужденным волнам, вызываемым возмущающей силой, действующей вдоль линии д: = 0, z = 0.

Скорость распространения поверхностных волн. Свободные поверхностные волны соответствуют случаю, когда на граничную поверхность силы не действуют и волны вызываются каким-либо начальным возмущением. Полагая для этого случая ст0 = 0, получим уравнения для определения постоянных С и D:

Вместо этого уравнения, содержащего иррациональные выражения, рассмотрим уравнение, не содержащее радикалов, а именно:

Уравнения (7.36) дадут для С и D решения, отличные от нуля лишь тогда, когда определитель этой системы равен нулю. Отсюда получаем уравнения для определения у

Так как k > h, то один из корней уравнения (7.38) находится между 1 и +оо. Нетрудно показать, что остальные два корня, если они действи-

И1

тельпы, находятся между 0 и —

к2

Первому корню соответствуют положительные значения а и р, и поэтому этот корень не удовлетворяет уравнению /(-/) = 0. Последние два корня делают а и р положительными и мнимыми и поэтому не удовлетворяют уравнению Л(х) = 0- Последнее уравнение имеет лишь один корень х2 = к2, который больше 1. Поэтому X2 > к2. Для коэффициента Пуассона, равного

X

р = 0,5, действительный корень уравнения (7.38) равен - = 1,04678. Для р =

к

= 0,25 все корни уравнения (7.38) действительны и равны

Из этих корней только последний соответствует условиям задачи; величина его равна

По аналогии с обозначениями, введенными в формулу (7.25), обозначим со

X = —, где vR - скорость распространения рассматриваемых новсрхност- VR к

ных волн; очевидно, что vR = -vs. Для р = 0,5 vR = 0,9553г^; для р = 0,25, vR = = 0,9194у5.

Таким образом, поверхностные волны распространяются со скоростью, несколько меньшей скорости распространения поперечных волн. В этом параграфе часть обозначений приняты по книге Ш. Пракаша.

Контрольные вопросы

  • 1. Каков критерий перехода колебательного движения к волновому?
  • 2. Какие уравнения положены в основу волновых процессов?
  • 3. Как распространяются волны расширения-сжатия?
  • 4. Какова скорость распространения волн расширения-сжатия?
  • 5. Как распространяются волны сдвига?
  • 6. Какова скорость распространения волн сдвига?
  • 7. Как можно представить плоские волны?
  • 8. Что такое поверхностные волны Рэлея?
  • 9. Какова скорость поверхностных волн?
  • 10. Какова скорость продольных волн в прямолинейных стержнях постоянного сечения?
  • 11. Зависит ли скорость волн от плотности среды и в какой мерс?

Prakash S. Soil dynamics. McGraw-Hill Book Company, 1981.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>