Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Общее решение для стержня с упругими опорами

Возьмем стержень длиной / постоянного поперечного сечения с тремя упругими опорами по его концам (рис. 9.1, а), т.е. рассмотрим наиболее общий случай граничных условий. Опорные устройства, изображенные на рис. 9.1, а в виде пружин, представляют собой упругоподатливые опоры, имеющие жесткости rv г2, г3. Изменяя эти жесткости от нуля до бесконечности, можно получить любые другие условия закрепления концов стержня. Напомним, что жесткость — это усилие, которое надо приложить к пружине, чтобы получить смещение, равное единице. При решении задач устойчивости жесткости упругоподатливых опор принимаются известными.

Потеря устойчивости стержнем с тремя упругими опорами

Рис. 9.1. Потеря устойчивости стержнем с тремя упругими опорами

Рассмотрим потерю устойчивости рассматриваемого стержня с жесткостью EI в плоскости рисунка. Используем статический критерий устойчивости. С этой целью зададим стержню небольшое отклонение от прямолинейной формы равновесия (рис. 9.1, б). В результате отклонения концы стержня повернутся на углы 0, и 02, а верхний конец сместится относительно нижнего по горизонтали на величину 5. Естественно, что при таком отклонении уже будет иметь место продольный изгиб.

Для составления дифференциального уравнения (У.1) определим изгибающий момент М(х). Для этого отсечем верхний конец стержня и в выбранной системе координат (ось Оу должна быть направлена в сторону выпуклости оси стержня, чтобы соблюдалось правило знаков в уравнении (У.1)) составим уравнение моментов относительно нейтральной оси сечения, чтобы в уравнение не вошли Q(x) и N(x):

Отсюда

Здесь Q = r38 — реакция упругоподатливой опоры 3; М2 = г202 - реакция упругоподатливой опоры 2.

Подставим выражение момента (9.1) в уравнение (У. 1): или

Введем обозначение

и перепишем уравнение изогнутой оси стержня:

Уравнение (9.3) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение состоит из двух частей: у(х) = у0 + уч, где у0 — общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; уч частное решение, зависящее от правой части уравнения (9.3). Однородное уравнение имеет вид (1.5). В нем нужно лишь заменить со на а и ввести переменную х вместо t. Решение уравнения (1.5) в новых обозначениях примет вид (1.8):

Частное решение уравнения (9.3) получим путем сравнения коэффициентов при переменных с одинаковыми степенями. С этой целью представим г/,, в виде полинома первой степени:

где Си D — произвольные постоянные.

Определим их путем подстановки г/ч из представления (9.5) в уравнение (9.3):

Q М2

откулаС=^7;0=^Ё7-

Q Щ

Следовательно, уч = 2^х + 2 , а полное решение уравнения (9.3)

примет вид

которое будем называть критическим параметром, так как через него, учитывая обозначение (9.2), можно определить i7 :

Учитывая обозначение (9.7), подставим в выражение (9.6) значения Q и М2:

Выражение (9.9) содержит, кроме v, еще четыре неизвестные величины: А, В, 5, 9.,. Для их определения используем граничные условия по концам стержней:

Чтобы воспользоваться условиями (9.10), запишем выражение первой производной от соотношения (9.9):

Граничные условия (9.10) позволяют записать следующую систему уравнений:

Из первого уравнения легко определяется А:

В уравнениях (9.11) появилась еще одна неизвестная величина — угол поворота 0, (см. рис. 9.1, 6). Эту величину определим из уравнения равновесия для всего стержня:

где М, = г,9,. Если в уравнение (9.12) подставить значение F из равенства (9.8), а также Q и М2 из (9.1), то получим

В итоге пришли к проблеме собственных значений. Тривиальное решение системы однородных уравнений (9.13), когда В, 02 и 5 равны нулю, соответствует прямолинейной форме стержня и указывает на отсутствие потери устойчивости. Существование отличных от нуля значений В, 02 и 8 возможно только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных В, 02 и 8, будет равен нулю, т.е.

Отсюда

El

Здесь i = — — относительная, или погонная, жесткость стержня.

В уравнения (9.11) подставим значения А и 0Р в результате получим три однородных уравнения относительно В, 0.; и 8:

Как и в случае определения частот свободных колебаний, сами значения В, 0,; и 8 при потере устойчивости остаются неопределенными.

Определитель (9.14) представляет собою трансцендентное уравнение устойчивости, корни которого находятся путем подбора. Подбирается минимальное значение критического параметра v, превращающее уравнение в тождество. Затем через критический параметр но формуле (9.8) вычисляется величина критической силы. Определитель можно каждый раз раскрывать в численном виде после подстановки в него значений г,, r2, r3, i, I и v либо эти значения подставлять в раскрытый определитель, который имеет вид

Следует помнить, что трансцендентное уравнение имеет множество корней, из которых необходимо найти лишь минимальный, соответствующий Екр. Для решения уравнения целесообразно составить программу построения графика функции в зависимости от v, которое изменяется от 0 до 2я. Тогда первое значение v, приводящее к нулевому значению функции, и будет искомой величиной.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>