Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Понятие об устойчивости стержней за пределом упругости

Приведенные выше расчетные формулы справедливы при условии, что критические напряжения не превышают предела пропорциональности ма-

fKP<

териала, совпадающего с пределом упругости, т.е. сткр = — < ст|1р.

Между тем для элементов реальных конструкций во многих случаях это условие не выполняется. Поэтому расчет за пределом упругости представляет большой интерес. Для некоторых материалов можно установить предельную гибкость, ниже которой все полученные ранее формулы уже неприменимы. Получим это значение:

где X = -г — гибкость; L — приведенная длина стержня; i = J-7 — радиус г V А

инерции сечения в направлении изгиба. Из формулы (9.31) получаем, что

Пример 9.4. Для строительных сталей ? = 2,06 • 10" Н/см2; сту|| = 18 816 Н/см2. Подстановка этих значений в формулу (9.32) дает гибкость приблизительно 104, что вынуждает использовать другой подход для стержневых стальных элементов с меньшей гибкостью.

шпунт имеет шарнирное закрепление. ? = 19,6 105 Н/см2, наименьший момент инерции / = 134 см4.

Решение

Определим коэффициент постели на единицу длины: с, = 55,2 - 20 = 1104 Н/см2. Из формулы (9.20) определим

Из формулы (9.29) определим число полуволн:

По формуле (9.30) определим критическую нагрузку:

Упражнение 9.3. Решите пример 9.3 при следующих значениях данных: ?/=61 152 000 Н см2;/= 12 м; с, = 331,2 Н/см2.

В конце XIX в. трудами ученых Ф. С. Ясинского, Ф. Энгессера и других была создана концепция двух модулей, которая используется до сих пор, особенно при расчете отдельных стержней «вручную». Изложим ее более подробно [4|. Возьмем центрально сжатый стержень, материал которого описывается диаграммой, изображенной на рис. 9.7.

Диаграмма «напряжение — деформация»

Рис. 9.7. Диаграмма «напряжение — деформация»

Допустим, что при нагружении дошли до точки т. Если после этого произвести разгрузку, то на графике получим прямую линию тт', примерно параллельную участку Оа; угол наклона этой прямой характеризует модуль разгрузки.

Будем считать, что модуль разгрузки равен начальному модулю Е. С другой стороны, при возрастании нагрузки от точки т при сжатии получим деформацию за счет участка диаграммы тт". Если дополнительная деформация мала, то можно принять, что отношение приращений Да и Де определяется так называемым касательным модулем:

Допустим, что при а > а||р происходит выпучивание, в процессе которого нагрузка остается постоянной. Тогда волокна, лежащие на вогнутой стороне, будут испытывать дополнительную деформацию укорочения, а лежащие на выпуклой стороне — удлинения. При небольших деформациях для сжатой зоны можно принять касательный модуль Ек, а для зоны разгрузки — модуль Е. Нейтральная линия г, для точек которой дополнительные напряжения равны нулю, уже не будет проходить через центр тяжести сечения (рис. 9.8).

Примем у0 и z0 за главные центральные оси инерции, используем допущение о гипотезе плоских сечений и, отсчитывая у от нейтральной линии z, получим Аг = у/р, где р — радиус кривизны упругой линии.

Изогнутая линия (а), эпюры напряжений и деформаций при неупругом продольном изгибе в сечении стержня (б)

Рис. 9.8. Изогнутая линия (а), эпюры напряжений и деформаций при неупругом продольном изгибе в сечении стержня (б)

Напряжения в зонах догружения и разгрузки будут соответственно

Результирующая дополнительных усилий должна быть равна нулю, поэтому

Здесь Ах и Sj — площадь и статический момент относительно той части сечения, в которой имеет место догружение, а Л2 и S2 той части сечения, где происходит разгрузка. Приравнивая сумму моментов внутренних сил относительно нейтральной линии внешнему моменту, находим

Обозначим через Т результирующий, или приведенный, модуль:

где I — момент инерции всего сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести. Со значением Туравнение изогнутой оси стержня принимает обычный вид

Для рассматриваемого стержня М = Fy. В итоге придем к уравнению решение которого при постоянном значении Г будет иметь прежний вид:

Для прямоугольного сечения выражение (9.33) можно представить еще проще, если в нем моменты инерции заменить их значениями согласно рис. 9.9:

Вычисления показали, что выражение (9.34) мало изменяется для стержней с другой формой сечения, поэтому этой формулой можно пользоваться и в других случаях.

В настоящее время для решения задач устойчивости сложных стержневых систем за пределом упругости, как и для решения других задач, используется метод конечных элементов. При этом в ряде случаев более эффективной для программирования оказалась концепция Шенли с одним

Зоны догружения и разгрузки в прямоугольном сечении

Рис. 9.9. Зоны догружения и разгрузки в прямоугольном сечении

касательным модулем, а не концепция двух модулей. Для реализации итерационного процесса необходима реальная диаграмма «ст —е» или ее аппроксимация. По мнению ряда ученых, использование концепции Шенли приводит к результатам, близким к экспериментальным1.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>