Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вычисление опорных реакций продольно сжатых стержней от единичных перемещений (общий случай)

Как было отмечено выше, при определении реакций в дополнительных связях от единичных перемещений Zk в основной системе необходимо учесть влияние продольных сил. Эта задача решается методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня.

Рассмотрим прямолинейный стержень Л В, жестко защемленный верхним концом и шарнирно опирающийся внизу (рис. 10.2, а). Определим опорные реакции от линейного смещения нижнего конца стержня на единицу (рис. 10.2, б). Примем начало координатных осей в точке S, отсечем ниж-

Определение реакций от единичных перемещений

Рис. 10.2. Определение реакций от единичных перемещений

тою часть (рис. 10.2, в) и составим выражение для изгибающего момента в сечении с абсциссой х.

Отсюда М(х) = Ny + Qx.

Подставим это значение в дифференциальное уравнение (У.1), перенесем неизвестные влево и введем обозначение (9.2). В итоге получим

Решение неоднородного уравнения полученного типа изложено в параграфе 9.2. Для данного уравнения получен следующий результат:

тогда

Произвольные постоянные определим из граничных условий:

  • 1) при х = 0 у = 0;
  • 2) при х = I у' = 0.

Q Q

Итак, имеем у(0) = А = 0; y'(l) = aBcosa/ - — = 0, откуда В - ——--

N ouVcosa/

Подставим эти значения и N = а2Е1 в формулу (10.3):

Для определения горизонтальной реакции Q используем третье условие — при х = Iу = 1 — и введем обозначение (9.7):

а?Е1

откуда О =-.

tgv-v

Приведем это выражение к виду, используемому при решении задач прочности, путем умножения числителя и знаменателя на /3:

Изгибающий момент в защемлении А равен

Аналогично определяются реакции по концам стержней для других вариантов закрепления. Результаты сведены в табл. 10.1. Для удобства использования всем значениям реакций придан вид, применяемый при решении задач прочности. Отличие состоит в том, что для стержней, в которых имеет место продольная сила, значения реакций умножаются на соответствующие функции (см. приложение 2).

Можно показать, что при N= 0 и, соответственно, v = 0 все функции будут равны единице. Возьмем, например, функцию r|,(v).

0 0^ 0

При v = 0 имеем ——-—— = —, возникает неопределенность вида —.

o(tgO-O) 0 9 9 0

v2cos2v

Раскроем ее но правилу Лопиталя: имеем ~— 2 , что при v = 0 опять

0

приводит к неопределенности вида —. Повторим операцию дифференцирования:

vcosv - v2sinv 0

-—^-, и снова получается неопределенность —. Еще раз продиф-

cos v - vsinv - 2vsin v - v2cosv

ференцируем числитель и знаменатель по v:-,

cos v

1

что при v = 0 дает — = 1.

То же самое можно доказать и для других функций. Чтобы табл. 10.1 можно было пользоваться и для стержней, в которых продольная сила отсутствует, в ней приведены значения реакций при N = 0 (4-й столбец). Под номером 5 в таблице приведена горизонтальная реакция для шарнирного стержня, которая по аналогии обозначена через Q, хотя изгибающий момент в стержне отсутствует.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>