Определение реакций для частных случаев

Для ряда конструкций, в частности для статически определимых систем, использование метода перемещений в общем виде оказывается нецелесообразным, но необходимым при решении задач устойчивости. Однако для конструкций типа консольной стойки ступенчатого сечения и в ряде других случаев, когда ничто не препятствует смещению узлов, можно решить задачу без постановки линейных связей, что заметно понижает число основных неизвестных метода перемещений.

Например, на рис. 10.3, а изображена ступенчатая стойка. Так как таблица составлена для стержней постоянного сечения, то при выборе основной системы необходимо сечение, где меняется жесткость, принимать за узел. В результате этого в общем случае получаются пять неизвестных (рис. 10.3, б). Однако

Реакции от единичных перемещений (общий случай)

если не ставить линейные связи, так как ничто не препятствует горизонтальному смещению узлов, то останутся только два неизвестных (рис. 10.3, в).

На рис. 10.3 также показаны еще две расчетные схемы, когда можно ставить не все линейные связи. Для схемы (г) можно ограничиться только защемлением узлов (рис. 10.3, д). Для схемы (е) нужно ставить одну линейную связь, потому что при задании горизонтального перемещения на уровне первого этажа левая стойка будет препятствовать смещению верхнего конца правой стойки. На консоли же горизонтальную связь можно не ставить.

Чтобы воспользоваться возможным сокращением числа неизвестных метода перемещений, нужно иметь значения реакций для двух типов стержней:

• 1) один конец защемлен, другой свободный;
• 2) оба конца защемлены.

Определим эти реакции от поворота концов стержней методом непосредственного интегрирования изогнутой оси стержня.

Рассмотрим консольный стержень (рис. 10.4, а). Зададим поворот защемления на угол Z = 1 (рис. 10.4, б), отсечем верхнюю часть и составим уравнение равновесия с целью определения изгибающего момента М(х) (рис. 10.4, в): YjM = Ру - М(х) = 0, откуда М(х) = Ру. Подставим это значение в дифференциальное уравнение, которое приведем к обычному виду с учетом обозначения (9.2):

Рис. 10.4. Определение момента в защемлении консольной стойки

Рис. 103. Выбор основной системы метода перемещений без постановки линейных связей

Решение этого уравнения известно: у(х) = Л sin ах + В cos ах Произвольные постоянные определим, используя граничные условия:

• 1) при х = 0 у= 0;
• 2) при х = I у' = -1, гдеy^r(x) = -a/lsinx + aBcosx.

В принятой системе координат поворот имеет знак «минус». Но в дальнейшем этот факт не играет большой роли.

1

В итоге имеем: и(0) = А = 0; y'(l) = aficosa/= -1, откуда В =--(здесь

acosv

sin со:

и далее введено обозначение (9.7)). Тогда у(х) =--.

acosv

Далее получим момент в защемлении:

Таким же путем вычисляются реакции для защемленного стержня. Результаты сведены в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Уравнения устойчивости, получаемые с помощью этих реакций, также являются трансцендентными, и их корни находятся путем подбора. Числовые значения функций приведены в приложении 2.