Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры решения задач методом перемещений

Пример 10.1. Определим критическую силу и расчетную длину сжатого стержня, изображенного на рис. 10.5, а. Для этой рамы уравнение устойчивости ги= 0. Чтобы вычислить реакцию, построим эпюру от единичного поворота узла (рис. 10.5, б).

Рама один раз кинематически неопределима

Рис. 10.5. Рама один раз кинематически неопределима

Решение

Выделяя дополнительную связь, определим, что гм = 3/, + Зг, + 4/2cp2(v), или

  • 6 4 ЗА
  • 7 + 7^v) = °’ отсюда = ~Yr
  • 1,5 6

Пусть h = 6 м, / = 4 м, EI = 200 кН • м2. Тогда cp2(v) = —— = -2,25.

По таблице приложения 2 v « 5,71. Тогда 4

В данном случае задача настолько проста, что ее удалось решить без подбора критического параметра v.

Пример 10.2. Чтобы показать, что и определитель (9.15), и метод перемещений приводят к одним и тем же результатам, определим критическую силу для рамы из упражнения 9.1. Основная система метода перемещений приведена на рис. 10.6, а.

Расчет рамы на устойчивость методом перемещений

Рис. 10.6. Расчет рамы на устойчивость методом перемещений

Решение

3 EI

Определим коэффициенты уравнения: ги = (0,5 + 0,75)Е1 = 1,25 ЕР, г[2 = - —.

Эпюры моментов от единичных перемещений даны на рис. 10.6, 6, в. Запишем уравнение устойчивости (10.2) в паскпытом виле:

Реакцию г22 от линейного смещения будут составлять поперечная сила правой стойки и горизонтальная сила от левой стойки, определяемая пятой строкой табл. 10.1:

Подставим полученные значения реакций в уравнение (10.5) и сократим на ЕР.

Отсюда v = 1,095, т.е. получили то же самое значение критического параметра.

л

Расчетная длина стержня /„ = 4 = 11,48 м.

Пример 10.3. Определим критическую силу и расчетные длины стержней для рамы, представленной на рис. 10.7, а. Основная система показана на рис. 10.7, 6. Эпюры моментов от единичных смещений изображены на рис. 10.7, в, г. Рама имеет два неизвестных перемещения. Уравнение устойчивости соответствует (10.5).

Решение

Отличие этой задачи от предыдущих состоит в том, что здесь два критических параметра. Выразим один из них через другой:

Основная система и эпюры от единичных перемещений

Рис. 10.7. Основная система и эпюры от единичных перемещений

Определим реакции в дополнительных связях:

Подставим эти значения в формулу (10.5) и сократим на i:

Построение графика этой функции с помощью любого вычислительного комплекса па ЭВМ дает с точностью до второго знака после запятой минимальное значение v = 1,79. Пусть EI = 250 кН • м2. Тогда

Расчетные длины стержней:

Пример 10.4. Решим задачу устойчивости рамы для случая, когда одна из сил постоянная. Рама представлена на рис. 10.8, a. EI = 200 кН м2.

Решение

Выразим все относительные жесткости через одну:

Проверка устойчивости рамы от постоянной силы

Рис. 10.8. Проверка устойчивости рамы от постоянной силы

Прежде чем выполнить окончательный расчет, нужно выяснить, не превышает ли постоянная нагрузка на левую стойку критическое значение. С этой целью сделаем сначала расчет на устойчивость при нагружении только левой стойки. Рама имеет два неизвестных по методу перемещений. Уравнение устойчивости соответствует (10.5). Основная система метода показана на рис. 10.8, 6. Эпюры от единичных перемещений изображены на рис. 10.8, г, д. Эпюра от Z2= 1 построена с использованием неполярного плана скоростей (рис. 10.9, а). Определим реакции в связях: гп = 20/; г12= 0,5/.

Расчет на устойчивость при наличии постоянной силы

Рис. 10.9. Расчет на устойчивость при наличии постоянной силы

Из этого выражения r|,(v) = 7,4. По таблице приложения 2 v~ 3,99. Тогда

что больше имеющейся нагрузки. Следовательно, раму можно еще догрузить.

Полученного результата можно было достичь и с помощью определителя (9.15). Выделим рассматриваемый стержень AD. Влияние отброшенной части заменим упругой связью с жесткостью г3 (рис. 10.8, в). Имеем г, —? г = 0. Значение жесткости г3 легко найти через Z2, полученное от единичной силы. Используем для этой цели приведенное выше решение. Реакции ги и г12 останутся без изменения, а из г22

28

нужно исключить жесткость рассматриваемого стержня. Тогда г22 = —г; r[F= 0; r2F= -1. Система уравнений примет вид

80 1111

Из системы получаем Z2 = —— i, откуда г3 = — = — i.

111 ‘ Z2 80

Подставим г, и г2в формулу (9.15) и после упрощения получим

Для определения г22 составим уравнение возможных работ относительно изображающих точек (рис. 10.9, б):

В любом случае минимальные корни этих уравнений совпадают с полученным выше решением.

Далее выполним основной расчет. При наличии постоянной силы он будет проще, так как для левой стойки параметр v0 известен:

Опять построим эпюры от единичных перемещений (рис. 10.9, в, г). Определим реакции:

Запишем определитель (10.5):

Минимальный корень этого уравнения vmjn = 2,69. Тогда

Расчетные длины стержней:

Пример 10.5. Методом перемещений с помощью табл. 10.2 решим задачу 9.1.

Решение

Основная система приведена на рис. 10.10, а. Эпюра моментов от единичного перемещения показана на рис. 10.10, б. Выделим поставленную связь, определим реакцию ги и приравняем ее к нулю: ги = 3i - ivtgv = 0, или vtgv = 3, т.е. получили то же самое, но более коротким путем.

Расчет на устойчивость без постановки линейных связей

Рис. 10.10. Расчет на устойчивость без постановки линейных связей

Пример 10.6. В заключение приведем пример, когда одновременно используются табл. 10.1 и 10.2. Рама представлена на рис. 10.11, а.

Совместное использование значений из табл. 10.1 и 10.2

Рис. 10.11. Совместное использование значений из табл. 10.1 и 10.2

Решение

Основная система приведена на рис. 10.11,6. При отсутствии линейной связи на конце верхней стойки рама имеет два неизвестных перемещения. Относительные EI 2 EI 4

жесткости ic = — = г; гр = = -г. Эпюры от единичных перемещений показаны на

рис. 10.11, в, г.

Определим реакции:

Сократим на г и подставим в уравнение устойчивости (10.5): Путем подбора найдем vmjll= 1,4. Критическая сила

Расчетная длина сжатых стержней:

Упражнение 10.1. Определите критические параметры сжатых стержней в раме, представленной на рис. 10.12, а.

Упражнение 10.2. Определите критические параметры сжатых стержней в раме, представленной на рис. 10.12, 6, если F2 = 1,25/-',.

Расчетные схемы рам для упражнений 10.1 (я) и 10.2 (б)

Рис. 10.12. Расчетные схемы рам для упражнений 10.1 (я) и 10.2 (б)

Упражнение 10.3. Определите критическую нагрузку и расчетные длины стержней для схемы рамы на рис. 10.13 методом перемещений при наличии постоянной силы. Исходные данные: Е1р = 279,6 кН • м2; Е1С = 139,8 кН • м2.

Рама с постоянной силой

Рис. 10.13. Рама с постоянной силой

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>