Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Приближенный расчет сетчатых башен на устойчивость

При строительстве тепловых электростанций, и не только для них, строятся башни-градирни, обеспечивающие естественную тягу воздушного потока. С увеличением мощностей тепловых электростанций увеличиваются и высоты башен-градирен. В связи с этим встал вопрос не только об их прочности, но и об их устойчивости. Потеря устойчивости возможна как от собственного веса, так и от ветровых нагрузок. Башни строят из различных материалов и различных форм. Наиболее эффективной оказалась форма в виде однополостного гиперболоида вращения. Часто основными несущими элементами являются стержни. Стержневая структура башни, по сути дела, напоминает известные башни Шухова (рис. 11.8, а). Башни Шухова, как правило, строились из металла и служили опорой для водонапорных баков или, как, например, в Москве на Шаболовке, для трансляции радио и телевидения. Вероятно, с середины прошлого века стали строить башни из сборного железобетона. Так, в 1954 г. на газо-коксовом заводе в районе Берлина Мариендорфе была построена железобетонная башня (рис. 11.8, б).

Расчет башни Шухова. Точный расчет на устойчивость по любому из существующих методов является практически трудновыполнимым без наличия специальных компьютерных программ. Поэтому здесь излагается приближенный энергетический метод.

Башни но форме однонолостного гиперболоида вращения

Рис. 11.8. Башни но форме однонолостного гиперболоида вращения:

а — геометрическая схема башни Шухова; б — железобетонная градирня; в — модель сетчатой башни из целлулоида

Согласно процедуре метода задаемся подходящей формой потери устойчивости, являющейся функцией независимых параметров. В обобщенном виде функцию запишем так:

Функцию (11.11) следует выбирать так, чтобы она не противоречила действительным связям системы, т.е. чтобы она являлась ее возможным перемещением. Затем составляем выражение для приращения энергии:

Здесь и далее ради упрощения записи знак приращения А опускается, Ха — сумма перемещений силы FK|).

Как известно, в состоянии безразличного равновесия приращение энергии системы при отклонении ее от этого состояния равно нулю. 11а основании этого составляем равенство (11.1): - FT A = 0.

Отсюда находим критическое усилие:

Критическая сила F будет функцией независимых параметров ft. Чтобы определить минимальное значение FKp, приравниваем нулю частные производные от F по каждому из параметров и получаем систему уравнений. Решив эти уравнения, находим параметры. Подставив их в формулу (11.13), определяем F™". Ниже применяем несколько видоизмененный способ С. П. Тимошенко [26].

Рассмотрим схему башни (рис. 11.9). Нагрузка вертикально приложена в узлах. Верхнее кольцо считаем абсолютно жестким. Нижние концы стоек шарнирно-неподвижно прикреплены к основанию. Предполагаем, что потеря устойчивости происходит в пределах упругой стадии работы материала.

Расчетная схема башни

Рис. 11.9. Расчетная схема башни

Деформация решетки башни при выпучивании представляет собой довольно сложную картину. Стойки изгибаются в радиальном и тангенциальном направлениях. Кольца изгибаются как в своей плоскости, так и вне ее. Помимо этого, стойки и кольца скручиваются и претерпевают продольные деформации.

Точный учет всех факторов даже при использовании энергетического метода делает решение исключительно громоздким. Анализируя указанные выше факторы, легко показать, что при большом числе волн но кольцу изгибом стоек в тангенциальном направлении можно пренебречь по сравнению с радиальным направлением ввиду малости тангенциальных перемещений. Па этом же основании можно пренебречь изгибом колец из их плоскости. Для упрощения расчета не будем учитывать потенциальную энергию скручивания колец и стоек. После принятых допущений выражение для потенциальной энергии системы будет следующим:

где U — работа внешних сил; IT, — потенциальная энергия деформации изгиба стоек; W2 — потенциальная энергия деформации изгиба колец; W3 - потенциальная энергия продольных деформаций.

Стойки башни рассматриваются как многопролетные стержни, опирающиеся по концам на жесткие опоры, а в промежутке — на упругие опоры, расположенные на равных расстояниях. При расчете предполагается, что усилие по длине стойки постоянно.

Зададимся формой потери устойчивости, которая удовлетворяет граничным условиям:

Сумма берется по числу полуволн в вертикальном и окружном направлениях.

Минимум потенциальной энергии, как показал С. П. Тимошенко [26], будет при i = 1 иу = 1, тогда перемещение

Здесь/— амплитуда прогиба; h — высота башни; 0О = /ф — центральный угол между радиусами, соединяющими нижний и верхний концы стойки (рис. 11.9); К — число ярусов и колец башни.

Перемещение (11.15) представляет изгиб стоек по т полуволнам, а колец — по с волнам. Оно является нормальным к поверхности башни. Исходя из геометрической схемы разложим его на три взаимно перпендикулярных направления: радиальное, вертикальное и тангенциальное. Радиальное перемещение дар = да cos ф, или

или

Перемещение (11.16) является относительным, так как не учитывает опускание точек от изгиба стоек. Более точное выражение: v = wsincp + 8, где 8 — опускание нижележащего кольца от изгиба стоек. При выводе формулы требуется относительное перемещение для узлов одного кольца, поэтому добавка 8 не играет роли и в дальнейшем не учитывается.

В приведенных формулах ф — угол наклона образующей к вертикали (см. рис. 11.9). Он является переменным и зависит от формы гиперболы. Угол меняется в незначительных пределах, поэтому можно взять его среднюю величину и считать постоянным.

Тангенциальные перемещения t определяются из условия нерастяжимо- сти колец, а затем умножаются на коэффициент е, которым и учитываются продольные деформации колец. Если е = 0, то кольца абсолютно растяжимы; при е = 1 кольца нерастяжимы. Определяется е из условия минимума потенциальной энергии продольных деформаций. Так как в башнях кольцо представляет собой правильный многоугольник, а не круг, то тангенциальные перемещения будут меньше вследствие разницы в длинах дуги и хорды.

dt

Условие нерастяжимости: — = ®pcosp = 0.

Отсюда после умножения на е получим для стоек ?ст = ecos9cospjs^0, или

2 п

где р = — — центральный угол (см. рис. 11.9); N — число стоек башни.

Примечание. Здесь и далее в формулах индексы «ст» и «кл» обозначают принадлежность соответственно к стойкам и кольцам.

Определим теперь члены, входящие в выражение (11.14). Работа внешних сил для одной стойки будет равна

Здесь / — длина стойки; F— усилие в одной стойке; w — прогиб по у, где через у обозначены ординаты вдоль оси стойки.

Стойка наклонна, поэтому для определения укорочения стойки и потенциальной энергии изгиба заменим координаты тиб черезу

где а — угол наклона стойки к горизонту.

Подставим равенство (11.18) в соотношение (11.15). Так как угол а близок к 90°, примем что sin а = 1. В итоге получим

Это для стоек, наклоненных влево. Для стоек, наклоненных вправо, угол 0О будет отрицательным, по в итоге получается выражение (11.19).

Таким образом, суммирование можно производить по общему числу стоек:

или для всех стоек:

Потенциальную энергию изгиба стоек, учитывая предыдущие допущения, определим по формуле

где Е — модуль упругости материала; /ст — момент инерции стойки в радиальном направлении.

Сечение стоек принимается постоянным:

Потенциальную энергию изгиба колец определим по формуле

где /ркл — момент инерции сечения кольца в направлении прогиба.

Так как кольцо прогибается нормально к образующей, то его радиус R изменится до R* (рис. 11.10):

Учет наклона кольца

Рис. 11.10. Учет наклона кольца

Для упрощения расчета заменим переменные значения радиусов для колец средней величиной (R0 соответствует радиусу основания башни):

Возьмем от соотношения (11.15) вторую производную по 0:

Подставив найденные значения R*, w и да(" в формулу (11.20), получим выражение потенциальной энергии деформации изгиба всех колец (индексы при переменных опущены для упрощения записи выражения):

Далее определим потенциальную энергию продольных деформаций. Для одного отрезка стойки между кольцами она будет равна

Здесь 4 — расстояние между кольцами по длине стойки (при принятом

/

допущении 4 = i = р); Д‘т — площадь сечения стойки.

К

Для того чтобы определить Allt, рассмотрим деформацию решетки. В общем случае концы отрезка получают перемещением по трем взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 11.11, штриховой линией показано положение треугольника после потери устойчивости). Продольные деформации будут вызываться только тангенциальными и вертикальными перемещениями узлов. Радиальные перемещения происходят вследствие изгиба стержней из плоскости решетки и сами непосредственно продольных деформаций не вызывают, если пренебречь поворотом плоскости треугольника от этих перемещений.

В момент выпучивания появляются тангенциальные перемещения. Разность их по концам отрезка создает продольные деформации. Одна из стоек растягивается, другая сжимается. Основание треугольника тоже дефор-

Схема деформации решетки

Рис. 11.11. Схема деформации решетки

мируется в виде изгиба колец и перемещения узлов в вертикальном направлении. Таким образом, часть тангенциальных перемещений погашается по причине упругости основания треугольника. И полное выражение для Alk будет иметь вид

где у — угол в плоскости треугольника между высотой и стороной (см. рис. 11.11);

Значения hk = И ' и bk = Ькл показаны на рис. 11.11. Рассматриваемые вертикальные перемещения умножаются на cos(p, чтобы спроецировать их в плоскость треугольника.

ф0 — коэффициент, зависящий от формы изгиба кольца. Он определяется из условий минимума потенциальной энергии продольных деформаций стоек. ^

Чтобы упростить запись, введем обозначение — ф0 = ф. Подставляя зна-

п

чения Д, и Д2 в формулу (11.12), получим

Перемещения треугольной секции поверхности башни

Рис. 11.12. Перемещения треугольной секции поверхности башни

Выражение (11.23) записано для отрезка стойки, наклоненной вправо. Для стоек другого направления в конечном итоге получается такая же величина. Поэтому при определении потенциальной энергии выражение (11.11) следует суммировать по числу всех стоек. Подставим значения перемещений в формулу (11.23):

Приведем все значения переменных кхк и 0*, для чего переменные с другими индексами представим как функции суммы двух углов; х измеряется отрезками hk, 0, углами р. Подставив А1к в формулу (11.21), имеем

Выражение в фигурных скобках возводим в квадрат и суммируем по числу стоек. Известны следующие суммы:

Подставляя значения этих сумм и делая тригонометрические преобразования, получим

Подстановка этого выражения в формулу (11.24) после ряда преобразований и замены 0О через К$ дает

Продольные деформации колец возникают за счет той части тангенциальных перемещений, которые не вошли в выражение (11.17), т.е. для учета продольных деформаций в кольцах берем тангенциальные перемещения, умноженные на величину (1 - е).

Таким образом,

Потенциальная энергия продольных деформаций колец определяется из известного выражения

Здесь Акл площадь сечения кольца; bk = 2/?A>sin р.

Значение радиуса, как и прежде, принимаем постоянным, равным средней величине. Из обозначений на рис. 11.11 очевидно, что Abk = t™n + l - t™n_ v После подстановки перемещений t*Jl имеем

или после суммирования

Потенциальная энергия продольных деформаций для всей башни будет равна

Обозначим значения потенциальной энергии продольных деформаций стоек и колец без учета влияния коэффициента е через 1У,° ст и W"к'". Тогда

Из минимума этого выражения определим е

Подставляя е в формулу (11.27), получим

При практическом решении задачи удобно принимать сначала е = 1, находить наименьшее значение F , а затем по найденным значениям т и с определять коэффициент е и получать уточненное значение критического усилия.

Подставим все члены в выражение (11.14):

тогда

Для учета растяжимости колец находим еще

Чтобы определить постоянные, необходимо знать:

Е — модуль упругости материала;

I™ — момент инерции сечения стойки в радиальном направлении;

I™ — момент инерции сечения кольца в направлении, нормальном к образующей;

Аст площадь сечения стойки;

Л

площадь сечения кольца;

/ — длину стойки;

Дср — средний радиус всех колец башни;

К — число ярусов башни;

N — число стоек башни;

Р — центральный угол;

<р — угол наклона образующей к вертикали; у — половину угла между перекрещивающимися стойками.

В выражении (11.28) Fi p является функцией независимых параметров m

N

и су которые изменяются в следующих пределах: ?п от 1 до К, а с от 2 до —.

При предельных значениях тис последний член выражения (11.28) равен нулю.

Пример 11.6. Определим критическое усилие в стойке башни Шухова из стальных уголков. Исходные данные: Е = 21 000 кН/см2; АСТ= 31,9 см2; I™ = 423 см4;

/=2677 см; 1™= 316 см4; Лк"= 23,3 см2; R0= 730 см; К = 14; ЛГ = 48; sin у = 0,253; 2л

costp = 0,991; р = — = 0,1309 рад.

Решение

Средние значения углов у и ср определены по геометрии башни. Последовательность расчета такова:

1) определяются постоянные коэффициенты;

К N

  • 2) задаются средние значения т = — = 7ис= — = 6;
  • 2 о
  • 3) определяется е по формуле (11.29);
  • 4) определяется Fno формуле (11.28).

Далее, оставляя один из параметров, например с, постоянным, изменяют т, пока значение силы не перестанет уменьшаться. Тогда оставляют параметр т постоянным и изменяют параметр с. И так до тех пор, пока значение силы F не будет уменьшатся при движении в любую сторону.

1

Значения критических сил приведены в табл. 11.1. Точки изображены на рис. 11.13. Последовательность точек определена поиском минимального значения силы. По точкам можно узнать количество гп и с для каждого значения силы.

Таблица 11.1

Значения критических сил при варьировании значениями тис

Номер точки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

F

910

992

659

588

370

293

247

225

222

195

180

174

172

Примечание'. Приведенные выше выражения энергии можно использовать при исследовании местной формы потери устойчивости, которая имеет место при несимметричной нагрузке, в частности при воздействии ветра.

Приближенная оценка критической нагрузки на башню-градирню. Башни-градирни в форме однополостпого гиперболоида вращения возводят, как уже отмечалось, при строительстве тепловых электростанций. Их высота порой достигает 200 м. При таких размерах становится актуальным вопрос об обеспечении их общей устойчивости. Здесь приводится приближенное решение задачи устойчивости энергетическим методом. При выборе формы потери устойчивости башни-градирни верхнее кольцо башни принимают недеформируемым. 11агрузка прикладывается к верхнему кольцу.

Решение задачи для стержневой системы подробно изложено выше. Однако при эксплуатации градирня служит для создания воздушной тяги, по- [1]

Представление последовательности точек

Рис. 11.13. Представление последовательности точек

Минимальное значение F = 171,5 кН при т = 14 и с = 2. Это предельные значения, т.е. перегиб стоек произошел по кольцам (е = 1).

этому се стенки должны быть сплошными, кроме нижней части. Здесь, в дополнение к изложенному выше, учитывается влияние стенки башни на ее устойчивость.

Предположим, что толщина заполнения между стержнями небольшая, и учтем только деформации сдвига, пренебрегая деформацией изгиба. Сдвиг происходит за счет разности тангенциальных перемещений на смежных ярусах башни. Величина сдвига равна Д = tn - tri_v

Чтобы не было разрыва деформаций, тангенциальные перемещения для плоского треугольника принимаются такими же, как для стержней:

Здесь II — высота башни.

Для cos ф возьмем среднее значение. Тогда

Потенциальная энергия плоского напряженного состояния будет равна

Реакция г,, для равнобедренного треугольника берется из матрицы жесткости:

где h — толщина пластины.

Подставим приведенные значения в выражение для энергии IT, и выполним суммирование по поверхности оболочки (размеры для треугольного элемента взяты средними).

Окончательный результат примет вид

Далее на основании энергетического метода запишем полное выражение потенциальной энергии с учетом предыдущего решения: U=W + W2 + W3 + W4 (выражения для Wv W2, W3 приведены в расчете башни Шухова). Используя выражение полной потенциальной энергии и раскрывая его, получим выражение критической силы:

Введем обозначения:

В новых обозначениях выражение для критического усилия примет вид

dF

Исходя из минимума этого выражения определим е: — = 0, отсюда

Пример 11.7. Использование полученных теоретических результатов продемонстрируем на примере оценки критического усилия в стойке железобетонной башни-градирни. Образующая башни очерчена по гиперболе:

где а = Rmin = 21,506 м; b = 55 м.

Другие данные: Е = 2648,7 кН/см2; G = 1135 кН/см2; /ст = 169 220 см4; I™ = 147 790 см4; Лст = 951 см2; А™ = 837,5 см2; /= 8247 см; Н = 7430 см; R = 2440,3 см; R*= 1,514-1010 см3; ккл = 355,1 см; 6° = 299,5 см; h = 5 см; k = 20; п = 96; cos р = 0,996; sin р = 0,0654; sin у = 0,396; у = 0,0654 рад.

Решение

Минимальное критическое усилие в стойке при отсутствии заполнения между стержнями Fmin = 9413 кН при тп = 9 и с = 7.

Минимальное усилие в стойке после введения заполнения толщиной 5 см бетона той же марки дает Fmin = 13 042 кН при т= 10 и с = 8, что повысило предыдущее значение на 38%.

Упражнение 11.3. Определите критическое усилие в отдельной стойке модели из целлулоида. Вертикальная нагрузка приложена к верхнему кольцу. Исходные данные: Е = 197 кН/см2; А™= 0,66 см2; /рст= 0,0198 см4; /= 273,9 см; /“ = 0,0198 см4; А™ = 0,66 см2; Д0 = 107,1 см; К = 16; N = 72; sin у = 0,402; 2 к

cosq) = 0,985; р = — = 5°. Средние значения углов у и ф определены по геометрии башни.

  • [1] Масленников А. М. Исследование устойчивости стержневых гиперболоидных башен. Л.:ЛИСИ, 1958.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>