Полная версия

Главная arrow Экология arrow ОКЕАНОЛОГИЯ. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОРСКОЙ ВОДЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Использование якобианов

Если принять число молей одного компонента, например N2, за основную переменную, мы с помощью дифференцирования уравнения (2.54) можем получить еще одну форму уравнения Г иббса-Дюгема:

Если использовать восемь переменных (Г, т), р, V, U, Н, F, G), то с их помощью можно получить 5-108 частных производных! Для облегчения нахождения производных, необходимых для дальнейших исследований, можно применить метод якобианов

[5].

Пусть имеются две переменные А и В, которые можно определить через другие переменные хиу:

Это означает переход от координат на плоскости (х^) к (А,В) координатам. При этом функции А=А(ху) и В=В{ху) должны быть непрерывны и дифференцируемы по своим координатам. Это преобразование выражается якобианом перехода

В формуле (2.56) интегралы берутся по контурам, ограничивающим достаточно малые ячейки на соответствующих координатных плоскостях.

Якобиан можно представить как матрицу из частных производных А,В по аргументам хну:

Приведем некоторые свойства якобианов, которые в дальнейшем будут нами использоваться:

С учетом (2.62), соотношения (2.14), (2.22), (2.26) и (2.30) перепишем следующим образом:

Если взять соотношения Максвелла (2.19), (2.24), (2.28) и (2.32) и выразить их через якобианы, то увидим, что все они сводятся к единой форме:

В качестве примера возьмем (2.19). С учетом (2.59), имеем:

Используя свойство (2.60), получим (2.67).

Соотношение (2.67) имеет важную физическую интерпретацию: интегралы по замкнутым контурам, ограничивающим элементы площади в Т,л и р, К-координатах, равны друг другу, т. е. сумма количества теплоты при замкнутом циклическом процессе всегда совпадает с суммарной работой, совершаемой системой.

Большинство из 5-10* комбинаций производных не представляет интереса и лишь небольшая часть имеет практическое значение. При этом в рамках термодинамики невозможно найти явные выражения для термодинамических потенциалов, которые входят в интересующие нас частные производные, и, естественно, мы не можем непосредственно их оценить. Поэтому будем стремиться выразить эти производные через те параметры, которые могут быть измерены или вычислены непосредственно.

К таким параметрам относятся, во-первых, T,V и р, во-вторых, следующие величины (их описание приводится в главе 4):

- коэффициент термического расширения:

- отношение теплоемкостей:

Таким образом, мы рассмотрели весь необходимый математический аппарат, который будет использован в дальнейшем следующим образом:

  • - записываем интересующую нас производную через якобиан;
  • - если в полученное выражение входят U, Н, F и G, то исключаем их, используя (2.63)-(2.66);
  • - если один из якобианов содержит энтропию т|, то для ее исключения используются (2.67), (2.70) или (2.71);
  • - оставляем только те якобианы, которые содержат р, Т, V, а, к, ср, См, у, а/к.

В качестве примера найдем изменение энтропии при изотермическом сжатии некоторого объема воды, т. е. необходимо най-

Анализ полученной формулы проведем на примере морской воды в главе 4.

Переходим от якобианов к известным нам величинам, используя в данном случае коэффициент термического расширения (2.68). Откуда

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>