Неопределенный интеграл. Формула Ныотона-Лейбница

Пусть f(z) — аналитическая функция в области D. Аналитическая в области D функция F(z) называется первообразной функции /(г), если F'(z) = f(z) для всех точек z из D. Ясно, что если к первообразной F(z) прибавить произвольную постоянную С, то снова получится первообразная F(z) 4- С. Покажем, что никаких других первообразных функция f(z) не имеет, а именно: все первообразные функции J(z) получаются из какой-либо одной первообразной F(z) прибавлением произвольных постоянных С. Другими словами, любые две первооб- разные Fi(z) и Fj(z) одной и той же функции f(z) отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Действительно, но определению первообразной, функции F(z), F-2{z)> а следовательно, и их разность

анапитичны в области D, причем

Отсюда получаем, что ^ = 0. т- = 0 и, следовательно, функции и

ох ах

и v не зависят от х. В силу условий Коши-Римана (6.4) также ^ =

( )

= 0, -Q- = 0. Значит, функции и и и не зависят и от у. Таким образом,

функции u, v, а вместе с ними и функция являются постоянными, и Fx(z) = F2(z) + C.

Итак, множество всех первообразных функции /(г) записывается в виде F(z) + С, где F(z) — одна из первообразных и С - произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным итпегра- лом от f(z) и обозначается J f(z)dz. Таким образом,

Пусть f(z) аналитическая функция в односвязной области D. Возьмем две точки zq и z в D и рассмотрим интеграл

вычисленный по какой-либо кривой, идущей от Zo к z и лежащей в D. Поскольку область D односвязна, то интеграл не зависит от выбора пути интегрирования (следствие 16.3). Если точка zq фиксирована, то интеграл (17.2) зависит только от точки 2 и, следовательно, является в D однозначной функцией переменною 2.

Теорема 17.1. Пусть функция f(z) аполитична в односвязной области D и Zq — некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция Ф(2), определенная }Н1венством (17.2), такж.е аполитична в D и является первообразной функции f(z).

Доказательство. Возьмем в D произвольную точку 2 (рис. 34). Функция / является аналитической, а следовательно, и непрерывной в z. Поэтому для ^ис‘ ^

Дадим переменному z некоторое приращение Az. Тогда функция Ф(г)

любого ? > 0 найдется такое 6 > 0, что окрестность точки 2 радиуса S лежит в D и

Это и означает, что существует предел

т.с. Ф'(г) = f{z). Теорема 17.1 доказана.

Следствие 17.2. Если f(z) — аналитическая функция в односвязной области D, то справедлива формула Ньютона Лейбница

где F(z)любая первообразная функции f(z), Zq и Zлюбые точки из D, и интегрирование ведется по произвольному пути, лежащему в D.

Доказательство. Пусть F(z) — какая-либо первообразная функции f(z). Поскольку функция Ф(.г), определенная в (17.2), также является первообразной для f(z), то F(z) = Ф(г) + С, т.е.

где С — некоторая постоянная. Положив в этом равенстве z = zo, получим F(zo) = С. Подставляя в ту же формулу z = z и найденное значение С, имеем

откуда следует (17.4).

Таким образом, определение первообразной и формула Ныотона- Лейбница для функций действительного переменного и для аналитических функций комплексного переменного полностью совпадают. Благодаря этому интегралы от элементарных функций комплексного переменного вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе. В частности, остается в силе известная таблица первообразных.

3 i

При м е р 17.3. Найти интеграл J z2dz.

о

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления интегралов. Однако следует помнить о границах применимости этой формулы: область аполитичности D функции }(z) должна быть односвязной. В противном случае интеграл (17.2) может зависеть от пути интегрирования, и тогда определяемая им функция Ф(г) будет многозначной.

Для иллюстрации рассмотрим функцию f(z) = /z, аналитическую всюду, кроме изолированной особой точки z = 0. Пусть D — комплексная плоскость с выброшенными точками отрицательной полуоси. Это односвязная область, и главная ветвь логарифма

является в области D первообразной функции 1 /г (см. конец §11). В D применима формула Ньютона Лейбница, которая дает

где интегрирование ведется но любой кривой, лежащей в D. Рассмотрим теперь интеграл

вдоль произвольного пути Г, соединяющего точку 1 с точкой z и не

Рис. 35

проходящего через 0 (рис. 35). В частности, Г может обходить точку 2 = 0 любое (конечное) число раз. Пусть р — угол между радиус- вектором точки С € Г и осью ОХ. Если С, = 1, то = 0. При движении точки ? по пути Г угол будет непрерывно изменяться и достигнет значения argz + 2жп в конечной точке 2; здесь п равно числу обходов начала координат. Проведем вспомогательный путь Г1 из С = 1 в С = 2, лежащий в D (на рис. 35 Г i показан пунктиром). Пусть Г]" — путь, совпадающий сГь но проходимый в обратном направлении. При движении по Г~[ от 2 до 1 угол ip изменяется на - arg 2, а при движении по Г от 1 до 2 — на arg 2 + 2пп. Поэтому

при движении от z до z но пути Гх U Г угол if изменится на 27гп. Отсюда следует, что путь Tj~ U Г можно непрерывно деформировать в п-кратно проходимую окружность, не задевая при деформировании точку 0 (на рис. 35 эта окружность показана пунктиром, а п = 2). Согласно формуле (1G.6), при каждом обходе окружности интеграл от функции 1/С изменяется на 2тгг (со знаком или ” в зависимости от направления обхода). Поэтому

Следовательно,

откуда получаем

Таким образом, интеграл (17.5) дает многозначную функцию Ln z.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >