Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Устойчивость стержня переменного сечения

Рассмотрим ступенчатый стержень с размерами, показанными на рис. 16.9, а, загруженный силой Р, которая приложена вверху. Оси координат изображены на рис. 16.9, 6. Для двух участков будем иметь два дифференциальных уравнения

Интегралы этих уравнений будут

Теперь необходимо использовать граничные условия.

Из первого условия равенства нулю у у при х{ = 0 находим А = 0. Для определения остальных трех постоянных необходимо установить еще три условия. В данном случае используем равенство величин у у и у2 и углов поворота у и у'ч при Х = х2 = 1. Эти условия удобно записать в виде

Третьим условием послужит равенство нулю угла наклона в заделке '>)Х2=1= 0. Выполняя эти три условия, получим

Приравняем нулю определитель этих уравнений: Сократим вторую и третью строки на а2:

Раскрыв определитель, получим

или

Выражения в скобках соответственно равны

Подстановка дает

откуда окончательно получим характеристическое уравнение

гдеа*=т2=т-

Приведем числовой пример. Положим EJ{ = EJ; Е]> = 9EJ; 1 = /2 = 1/2, тогда

Характеристическое уравнение (16.21): tg(y/2)tg(?>/6) = 3. Обозначим v/6 = и, тогда характеристическое уравнение будет

Путем подбора находим и = 0,468, следовательно,

Деформации при продольном изгибе в основном происходят в верхней части стержня. ПриJ> /, приближенно критическую силу можно определить, считая нижнюю часть стержня бесконечно жесткой (EJ2 —* °°; EJ = EJ), тогда верхнюю часть можно рассматривать как стержень, заделанный одним концом. Для рассматриваемого примера EJ> = 9EJ = 9EJ:

В табл. 16.1 приведены проценты погрешности при различных отношениях жесткостей.

Таблица 16.1

Eh

EJ

Характеристическое

уравнение

и

v = 2 пи

р

1 кр

Погрешность,

%

9

tg Зи tg и = 3

0,468

2,808

7,885

20

16

tg4wtgM = 4

0,369

2,952

8,714

12

25

tg5MtgM = 5

0,302

3,020

9,120

8

36

tg 6м tg и = 6

0,255

3,060

9,364

5

оо

cos(a//2) = 0

К

9,870

0

Для рассматриваемого примера погрешность, как очевидно из табл. 16.1, составляет 20%; при еще большей разнице в жесткостях нижней и верхней частей стойки погрешность уменьшается.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>