Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод конечных элементов - современный метод построения расчетных схем

Расчетная схема содержит информацию о топологии (взаиморасположении конструктивных элементов), геометрии системы, сечениях и материале элементов, нагрузках.

Рис. 17.7

В задачу расчета входит определение перемещений, усилий (напряжений) в элементах на основе этой информации.

Решение этой задачи основывается на имеющихся дифференциальных уравнениях, связывающих перемещения или усилия с нагрузкой. Так, для изгибаемой балки (рис. 17.7) дифференциальные уравнения имеют вид

где Е — модуль упругости материала; J — момент инерции (одна из характеристик сечения элемента).

Для плоской задачи теории упругости (балка-стенка, диафрагма, стена — рис. 17.8) дифференциальные уравнения имеют вид

где D = ?8/(1 - р2) — приведенная жесткость пластинки; и = и(х), v = v(x) — искомые перемещения вдоль осей х и у Е — модуль упругости материала; 8 — толщина пластинки; р — коэффициент Пуассона; р(х) — распределенная по области пластинки нагрузка вдоль оси х р(у) — распределенная по области пластинки нагрузка вдоль оси у.

Решить дифференциальное уравнение — это значит найти непрерывные функции перемещений и(х), v(y), zv(x), или усилий М(х)у или напряжений а(г/). Однако это можно сделать только для ограниченного очень простого класса задач, например для сжато-растянутого отдельного стержня или для изгибаемой балки. На практике, как пра-

Рис. 17.8

вило, сложные конструкции, условия опирания, нагрузки делают реализацию такого подхода невозможной. Поэтому для решения такого класса задач применяют численные методы. Идея любого численного метода заключается в нахождении искомых параметров напряженного состояния (усилий, напряжений, перемещений) в конечном количестве точек. Как правило, это узлы сетки, нанесенной на рассчитываемую область. Значения искомых параметров между узлами находят на основе простой или сложной интерполяции. Так, для решения дифференциальных уравнений (17.2) можно применить метод конечных разностей. Для этого на область балки-стенки накладывают сетку (рис. 17.9), определяют неизвестные перемещения или усилия в узлах этой сетки, заменяя непрерывные дифференциальные операторы

(например, д2и/д:г) дискретными аналогами — = -L—-—*

OX J+ { п

ди щ - щ. 1 или — = —:—. 1 о гд а

ох | И

После того как для каждого узла сетки будут составлены конечно-разностные аналоги дифференциальных операторов, уравнения (17.2) можно будет представить в виде системы линейных уравнений. По найденным значениям перемещений в узлах сетки можно определить другие параметры напряженно-деформированного состояния (НДС).

Все задачи строительной механики являются вариационными. Это значит, что решение дифференциальных уравнений (17.1) можно заменить поиском минимума функционала

В строительной механике стержневых систем это выражение известно как принцип равенства работ внутренних и внешних сил. Поиск минимума этого функционала осуществляется вариацией возможных перемещений. Поэтому методы, основанные на решении уравнения (17.4), называются вариационными, а в строительной механике такой подход известен как принцип возможных перемещений. Как правило, задача в постановке (17.4) также решается численными методами, т.е. производные заменяются разностными аналогами, подобно выражению (17.3).

Конечно-разностные и вариационно-разностные методы основаны на дискретизации (замене непрерывной функции ее точечными значениями) дифференциальных уравнений. Здесь происходит некоторое абстрагирование от самого рассматриваемого объекта.

Метод конечных элементов (МКЭ), основы которого описаны в гл. 14, основан на дискретизации самого объекта, который представляется в виде отдельных конечных элементов. Каждый конечный элемент имеет свои размеры, же- сткостные характеристики, нагрузки, законы интерполяции узловых значений параметров НДС. В этом основное отличие конечноэлеменетной сетки, которая представляет конструкцию в виде набора конечных элементов, от абстрактной разностной сетки, которая служит только для того, чтобы заменить дифференциальные операторы разностными аналогами. В настоящее время используется метод конечных элементов в перемещениях, т.е. в узлах сетки сначала находятся перемещения, а затем остальные параметры НДС.

Процедура решения задачи по МКЭ в перемещениях выглядит следующим образом:

  • • нанесение конечноэлементной сетки;
  • • назначение каждому конечному элементу необходимых характеристик — тип, жесткости, размеры и др.;
  • • построение для каждого конечного элемента матрицы жесткости;
  • • построение канонических уравнений МКЭ;
  • • решение канонических уравнений и определение перемещений в узлах сетки;
  • • определение параметров НДС (усилий, напряжений, перемещений) по всей области конструкции.

Эта процедура полностью соответствует механике стержневых систем. Если в докомпьютерный период методы строительной механики стержневых систем и методы теории упругости для расчета пластинчатых и трехмерных объектов были различны, то МКЭ решает эти задачи однотипно. Следовательно, возможно решение комбинированных конструкций, например расчет каркасного здания совместно с основанием: каркас — это стержневая система; плиты перекрытий, фундаментная плита и диафрагма — это пластинчатые системы; грунтовое основание — это трехмерный объект.

Архитектурная модель всегда оперирует трехмерными объектами: колонны, пилоны, плиты перекрытий, несущие стены и другие конструктивные элементы всегда имеют три размера.

МКЭ позволяет составить расчетную схему, состоящую только из трехмерных элементов, имеющих форму в виде параллелепипеда, призмы, произвольных выпуклых шестиугольников или восьмиугольников и т.п. Но это может привести к резкому увеличению размера матрицы канонических уравнений. На рис. 17.10, а показана консольная балка в виде отдельного стержня, а на рис. 17.10, б — конечноэле-

ментная модель этой балки, состоящая из трехмерных элементов.

Если рассчитывать эту балку, используя предпосылки механики стержневых систем, а именно гипотезу плоских сечений, то ее НДС описывается выражением типа (17.1) или (17.4) и ее конечноэлементная модель может состоять из одного конечного элемента — стержня, а количество неизвестных перемещений будет равно шести (в узле А три линейных перемещения и три угла поворота относительно осей х, у, z). В этом случае решения задачи по МКЭ и методами строительной механики будут совпадать и будут точными решениями уравнений 17.1 и 17.4.

Если использовать трехмерную модель (см. рис. 17.10, б)у то, чтобы добиться приемлемой точности, необходима достаточно густая конечноэлементная сетка.

Числовой пример. Пусть параметры задачи, приведенной на рис. 17.10, имеют следующие значения: / = 6 м, h = 0,8 м, b = = 0,4 м, Ру = 100 кН, Pz = 40 кН, материал балки — бетон с модулем упругости Е = 3-107 к11/м2. Точное значение перемещений узла А, полученное на основе методов строительной механики стержневых систем или по МКЭ с использованием КЭ в виде стержня, составит uoz= 2,250 см, иау = 1,406 см.

Если решать эту задачу по МКЭ на основе трехмерной модели (см. рис. 17.10, б), то при разбиении стержня по длине / на 10 частей, но ширине Ь на четыре части, по высоте h на восемь частей, т.е. используя набор конечных элементов в виде паралле-

/ 600 Ь 40 _ h 80

лепипедов с размерами — = —— = 30 см, - = — = 10 см, - = — =

20 20 4 4 о о

= 10 см, в результате решения получим uaz = 1,813 см, иау =

= 1,337 см.

Таким образом трехмерная модель стержня, с одной стороны, резко увеличила количество расчетных узлов (5-9-20 = = 900), а с другой стороны, дала решение с существенной погрешностью. Такой же эффект можно наблюдать при использовании трехмерной модели пластин (плиты, оболочки, стены) по сравнению с их двумерными моделями. Количество расчетных узлов, а значит, и количество неизвестных перемещений очень влияет на качество решения задачи. Несмотря на то что современные программные комплексы (ПК), например ПК ЛИРА-САПР, могут справиться с расчетными схемами, содержащими несколько миллионов неизвестных, применение таких расчетных схем крайне нежелательно.

Во-первых, большеразмерная матрица канонических уравнений может привести к большим погрешностям при ее решении.

Во-вторых, решение задачи требует большого количества времени.

В-третьих, расчетная схема, содержащая большое количество узлов и элементов, затрудняет ее синтез и анализ, например полученные напряжения в конечных элементах по трехмерной схеме (см. рис. 17.10, в) необходимо будет для дальнейшего анализа и конструирования привести к действующим на сечение изгибающим моментам и поперечным силам, т.е. понадобятся дополнительные довольно громоздкие процедуры, в то время как в стержневой расчетной схеме эти усилия получаются естественным образом.

Таким образом, одним из основных этапов преобразования трехмерной архитектурной модели в расчетную схему является замена трехмерных элементов, у которых один размер (длина колонны или балки) превалирует над двумя другими (размеры сечения), на одномерный элемент (стержень) с соответствующими жесткостными характеристиками сечения, а трехмерных элементов, у которых два размера (размеры плит и стен, характеризующие их площадь) превалируют над размерами их толщины, — на двумерные элементы (пластины).

Дальнейшим важным этапом получения расчетной схемы является нанесение конечиоэлементной сетки. С одной стороны, эта сетка должна быть достаточно густой, чтобы результаты расчета были бы приемлемы, с другой стороны, большое количество узлов, а следовательно, и неизвестных перемещений может привести, как указывалось выше, к большим погрешностям при решении системы линейных уравнений МКЭ.

В местах концентрации усилий или напряжений (места опирания плит на колонны, угловые зоны стены у прямоугольного отверстия и др.) желательно сгущать конечноэлементную сетку. Эта процедура не обходится без применения треугольных конечных элементов, которые обусловливают значительно меньшую точность решения задачи по сравнению с четырехугольными элементами. Кроме того, треугольные элементы в местах сгущения имеют вырожденную конфигурацию (большая неравномерность величин узлов и сторон треугольника), что также влияет на точность решения задачи.

Все эти порой противоречивые требования МКЭ к построению расчетной схемы реализованы в программе САПФИР- Конструкции.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>