Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АТОМНАЯ ФИЗИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Квантовая теория Бора. Принцип соответствия

В 1913 г. Нильс Бор высказал положения, которые стали своего рода «примирением» планетарной модели с фактом существования стабильных атомов и дискретным характером атомных спектров. К тому времени был известен комбинационный принцип с его странной игрой чисел. Макс Планк в 1900 г. сформулировал квантовую гипотезу, ввел фундаментальную постоянную с размерностью действия (постоянная Планка) и предложил новый закон распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела. На основе гипотезы о существовании квантов света Эйнштейн развил теорию фотоэффекта (1905). В дальнейшем квант света был назван фотоном (Льюис, 1926).

Положения Бора заключены в двух его постулатах:

  • • атом может существовать только в определенных стационарных состояниях, которые характеризуются дискретным набором значений энергии ?,, ?2, Еу .... В этих состояниях атом не излучает и не поглощает энергию;
  • • излучение или поглощение электромагнитной энергии (фотона) происходит при скачкообразном переходе атома из одного состояния Е в другое — Еп. При этом энергия испускаемого или поглощаемого фотона определяется формулой

где h — постоянная Планка, И = 6,626-10"34 Джс.

Постулаты Бора резко противоречат представлениям классической физики. Но именно отказ от них и введение постоянной Планка в описание мира атома привели к революционным физическим идеям и построению современной квантовой теории.

Первый постулат собственно отражает факт существования стабильного атома. Второй непосредственно связан с комбинационным принципом. Действительно, из формулы (1.21) с использованием (1.8) следует:

Отсюда видно, что энергия атома в п-м состоянии связана с термом Г соотношением:

п

Значения ?,, Ev ?3,... определяют уровни энергии атома. Совокупность этих значений называют энергетическим спектром. Соотношение (1.23) показывает, что понятия «уровень энергии» и «спектральный терм» фактически синонимы. Однако в атомной спектроскопии эти понятия различают: под «термом» обычно понимают группу уровней с очень малым расщеплением. Причины расщепления уровней энергии будут рассмотрены в § 3.2, 3.3.

Терм атома водорода описывается формулой (1.13). Следовательно, дискретный набор значений энергии, т. е. его энергетический спектр, определяется формулой

Число пу принимающее значения 1, 2, 3, ..., называют главным квантовым числом (Бор, 1913). Оно определяет уровни энергии атома водорода. Отрицательный знак энергии означает, что электрон в атоме находится в связанном состоянии. В классической механике это соответствует финитным движениям.

При наименьшем значении энергии (наибольшая величина энергии связи) электрона в атоме водорода /?= 1. При п —> энергия Еп>0. Это соответствует состоянию покоя электрона на бесконечности. С увеличением числа п расстояние между соседними уровнями энергии уменьшается и асимптотически стремится к нулю. Это значит, что при больших значениях квантового числа п изменение

Рис. 1.7

энергии происходит почти непрерывно, тогда как при малых она изменяется скачкообразно[1].

Формула (1.24) определяет уровни энергии атома водорода (рис. 1.7). Состояние с числом п = 1 называется основным, или нормальным. Остальные (при п > 2) называют возбужденными состояниями атома. Величина /, = —?, = —Лс/?н представляет собой минимальную энергию, которую надо сообщить атому для того, чтобы его электрон перешел в состояние Е00 = 0, т. е. чтобы электрон был оторван от атома. Это означает, что происходит ионизация атома. Величина /, называется энергией ионизации (эВ). Атом может быть также ионизован, если он находится в некотором л-м возбужденном состоянии. Тогда / = т =J, n2.

Опыт показывает, что в возбужденных состояниях атом может находиться лишь в течение очень короткого времени порядка 1(Г8...1(Г11 с, а затем он переходит в основное состояние либо сразу, либо через последовательность более низких возбужденных состояний. Вместе с тем существуют возбужденные состояния, в которых атом может находиться довольно длительное время — около 10“3с и больше. Их называютметастабилъными.

С помощью рис. 1.7 легко понять возникновение спектральных серий атома водорода. Если атом находится в возбужденном состоянии ?2, то он переходит в основное, испуская фотон с энергией

/rv = ?*2 - . Волновое число этого излучения vi2 “ *н (j 1/2 ) отве

чает головной линии серии Лаймана. При переходах с других возбужденных уровней энергии на основной появляются все линии серии Лаймана. Серия Бальмера возникает при переходах атома водорода из возбужденных состояний с энергиями Еу ?4, ?5, ... на возбужденный уровень Ег Аналогично возникают другие серии атома водорода. Таким образом, постулаты Бора привели к пониманию возникновения спектра атома водорода. Бору удалось также непосредственно вычислить постоянную Ридберга, что явилось блестящей победой его теории.

В настоящее время, когда существует квантовая теория атомномолекулярных явлений, теория Бора представляет в основном методический интерес. Однако она была важным этапом на пути развития квантовых представлений об атоме, хотя и обладала многими принципиальными недостатками. Теория Бора основывается на планетарной модели атома и классических законах движения электронов. Вместе с тем из всех возможных классических замкнутых траекторий электронов в атоме выбираются только удовлетворяющие некоторому условию квантования. Это условие принимается как обобщение постулата Планка о квантах электромагнитного излучения. Для атома водорода и водородоподобных атомов (ионизованных, содержащих в себе лишь один электрон, например ион гелия Не+, ион лития Li++ и др.) условие квантования круговых орбит гласит: момент импульса электрона, обращающегося вокруг ядра на расстоянии г, принимает дискретный набор значений:

где п= 1, 2, 3, ? — «перечеркнутая» постоянная Планка (ввел Ди

рак), ? = — = 1,0546 10“34 Дж с.

При обращении электрона по круговой орбите вокруг ядра центростремительной силой является сила Кулона:

где Ze — заряд ядра атома.

Учитывая, что v = coг, где ш — угловая скорость вращения электрона вокруг ядра, из (1.26) получим соотношение, известное в механике как третий закон Кеплера (1619):

Воспользуемся теперь условием квантования (1.25), которое удобно записать в форме

Исключая о) из (1.27), (1.28), приходим к выражению

Отсюда следует, что радиус орбиты электрона в атоме имеет дискретный набор значений, т. е. орбиты являются квантованными. Они называются воровскими орбитами. Радиус первой боровской орбиты, соответствующей основному состоянию атома водорода, равен

Это значение совпадает с оценками размера атома, полученными в кинетической теории газов.

Квантование орбит неразрывно связано с квантованием энергии. Полная энергия электрона, взаимодействующего с ядром, равна

Здесь использовано соотношение (1.26). Отсюда следует, что дискретным значениям радиуса орбит (1.29) отвечает энергетический спектр водородоподобного атома:

Классическое выражение для энергии (1.31) существенно отличается от квантовой формулы (рис. 1.8). Сравнивая (1.32) с (1.24), получаем выражение для постоянной Ридберга:

Рис. 1.8

Таким образом, для атома водорода постоянная Ридберга имеет теоретическое значение

Согласно современным экспериментальным данным постоянная Ридберга для атома водорода равна:

Хотя теоретическое значение постоянной Ридберга довольно близко к экспериментальному, но все же при высокой точности спектроскопических измерений различие между ними нужно считать достаточно большим. Причина в том, что при вычислении по формуле (1.34) ядро считалось неподвижным, т. е. бесконечно тяжелым по сравнению с электроном. Это отмечено значком «<»». Чтобы учесть движение ядра, необходимо массу электрона заменить на приведенную массу iz =me/(} + me/Mz), где Mz масса ядра. Таким образом, теоретическое значение постоянной Ридберга с учетом конечной массы ядра:

Поскольку теи =1/1836,1, то R™p =109 677,6 см 1. Это значение прекрасно согласуется с экспериментальным (1.35), что явилось блестящим подтверждением теории Бора.

Волновые числа спектральных линий водородоподобных атомов определяются формулой

где постоянная Ридберга

В частности, в эксперименте наблюдают спектральные серии однократно ионизованного атома гелия:

Первая формула описывает так называемую серию Фаулера. Согласно последней формуле, при п — четном соответствующие линии близки к линиям бальмеровской серии атома водорода, при нечетном есть линии, находящиеся между линиями бальмеровского спектра. Эта формула описывает серию Пикеринга (1897), которую до Бора ошибочно относили к водороду (в смеси с гелием). Несовпадение линий серии Пикеринга с соответствующими линиями серии Бальмера обусловлено тем, что согласно (1.38) постоянные Ридберга для водородоподобного атома гелия и атома водорода несколько отличаются друг от друга:

Помимо водородоподобных атомов — ионов существуют своего рода экзотические водородоподобные атомы: позитроний, мюоний, мюонный атом, адронные атомы. К экзотическим относят также антиводород — атом,

состоящий из антипротона и позитрона — ре+ , и др. Это своеобразные атомы без электронов или ядер. Они недолговечны, либо из-за малости времени жизни частиц — «заменителей», либо из-за взаимной аннигиляции частиц и их античастиц. Однако, несмотря на очень малое время существования, экзотические атомы оказались чрезвычайно эффективным инструментом в ядерной физике, физике твердого тела, поскольку их судьба (время жизни, характер превращений) зависит от свойств окружающего вещества.

Впервые понятие экзотического атома ввели Энрико Ферми, Эдвард Теллер и Джон Уилер в 1947 г. для объяснения эксперимента, в котором было обнаружено, что в веществах, состоящих из тяжелых атомов, время жизни отрицательных мюонов р- намного меньше, чем у свободных. Ученые показали, что отрицательные мюоны тормозятся в веществе и, «выталкивая» электрон из атома, образуют возбужденные мюонные атомы. Вначале мюон с массой т = 207те (или любая другая отрицательная частица) находится на расстоянии порядка боровского радиуса в состояниях, которые характеризуются большими квантовыми числами пъ^тие %15 . Затем в результате

каскадных процессов мюон «перескакивает» в ближайшее к ядру состояние с , при этом испускается жесткое рентгеновское излучение. Торможение

и каскадный процесс происходят за время т«10~12 с , тогда как время жизни мюона равно тц %10"6 с. Этим и объясняется результат эксперимента.

Мюонный атом был экспериментально обнаружен в 1953 г. Его лайманов- ская серия расположена в рентгеновской области. Радиус первой боровской

орбиты мюона равен (см) г, =4лс0Ь2/Ze2m^ =Z_I0,0026 10~8. Это почти

в 200 раз меньше, чем для обычного водородоподобного атома. При больших Z (Z > 10) боровская орбита мюона оказывается внутри ядра атома. Это обстоятельство используется для изучения структуры атомного ядра.

Позитроний (Ps) (Дейч, Дулит, 1951) представляет собой связанную систему из электрона и позитрона, обращающихся вокруг общего центра масс. Позитрон (Андерсон, 1932) является античастицей по отношению к электрону. Атом позитрония образуется при прохождении позитронов через газ и последующем захвате атомного электрона. Эта система нестабильна. Она существует довольно короткое время, поскольку электрон и позитрон аннигилируют, и позитроний распадается на два (за время * 10-10 с) или три (за время * 10-7 с) фотона. При этом по закону сохранения энергии суммарная

энергия фотонов равна 2тес2. Хотя время жизни атома позитрония мало, его вполне достаточно для изучения свойств. Так как массы электрона и позитрона одинаковы, то приведенная масса х = те/2. Энергия ионизации

позитрония равна J = hcR^ /2 = 6,8 эВ. Это хорошо согласуется с результатами измерений.

Мюонием (Mu) называют атом, который состоит из положительного мюона и электрона. Мюоний, как и мюонный атом, существует конечное время, которое определяется временем жизни мюона (около 2,2 мкс).

Адронный атом представляет собой систему, в которой атомный электрон замещен отрицательным адроном. Так называют элементарные частицы, участвующие в сильных взаимодействиях, — это протон и антипротон, л-мезоны, /Г-мезоны и др. Например, адронный атом, содержащий протон и антипротон, имеет радиус боровской орбиты, который в 918 раз меньше радиуса атома водорода. Это связано с тем, что приведенная масса такого атома в 918 раз больше. Соответственно, возрастает также потенциал ионизации. В экспериментах наблюдали атомы каонного водорода. Это атом водорода, в котором вместо электрона находится отрицательно заряженный А'-мезон (антикаон)[2].

Интересным экзотическим объектом является антипротонный гелий. Это атом гелия, в котором один из электронов замещен антипротоном. Его получают при пропускании пучка ускоренных антипротонов через гелиевую среду. Существование анти протонного гелия теоретически предсказал Кон- до в 1964 г., а экспериментально он был обнаружен в 1991 г. Для этого атома характерна необычная структура энергетических уровней. Из-за взаимодействия магнитных моментов антипротона и электрона возникает тонкое и сверхтонкое расщепление уровней. Все тонкости расщепления энергетических уровней антипротонного гелия, рассчитанные теоретически, с высокой точностью подтверждены экспериментом.

Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра проявляется в изотопическом смещении спектральных линий. Изотопы (Содди, 1913), т. е. атомы одного и того же элемента, отличающиеся по массе, впервые обнаружил Дж.Дж. Томсон (1912). По изотопическому смещению Юри в 1932 г. открыл тяжелый изотоп водорода — дейтерий.

Ядро атома водорода представляет собой протон. Иногда атом водорода называют протием. В состав ядра дейтерия кроме протона входит еще один нейтрон. Известен также второй изотоп водорода — тритий. Его ядро состоит из протона и двух нейтронов.

Заметим, что в эксперименте отношение заряда электрона к заряду протона измерено с фантастической точностью: еер = -1 ±10"20.

Изотопы занимают одно и то же место в периодической системе Менделеева — они имеют одинаковое зарядовое число Z. Для изотопов водорода Z— 1. Изотопы различаются массовым числом А, которое равно числу нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре. Для водорода А = 1, для дейтерия /4=2, для трития /1 = 3.

Отметим понятие атомной массы. В отличие от массового числа является дробной величиной и представляет собой относительное значение массы атома, выраженное в атомных единицах массы (а.е.м.). Одна а.е.м. равна 1/12 массы нуклида углерода 12С. Поскольку природные химические элементы содержат смесь изотопов, то за атомную массу элемента принимают среднее значение атомных масс изотопов с учетом их процентного содержания. Наиболее точные измерения атомных масс проводят с помощью специальных приборов — масс-спектрометров.

Идею о нейтрон-протонном составе ядра высказали независимо Д.Д. Иваненко и Гейзенберг (1932). Масса нуклона примерно в 1840 раз больше массы электрона. В отличие от протона нейтрон не имеет электрического заряда. Дейтерий (D, или 2Н) является стабильным изотопом, тритий (Т, или 3Н) — радиоактивен. Его получают искусственно при бомбардировке ускоренными ядрами дейтерия — дейтронами — мишени из лития или бериллия. Важную роль дейтерий и тритий играют ^управляемом термоядерном синтезе.

В обычном водороде, с которым имеют дело в естественных условиях, содержится смесь легкого и тяжелого водорода в отношении 1Н:2 Н = 4500:1. Для получения тяжелого водорода используют различные методы разделения изотопов. Изотопическое смещение длин волн дейтерия относительно водорода сравнительно невелико:

Например, бальмеровская линия дейтерия Da смещена относительно линии водорода На в коротковолновую область на малую величину ДХ= 1,79*10-8 см. Однако это смещение отчетливо обнаруживается в эксперименте (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Современные исследования водорода приводят к удивительным открытиям. В 1991 г. был обнаружен новый тяжелый изотоп водорода 5Н. В 2003 г. был зарегистрирован самый тяжелый изотоп водорода 7Н, в состав ядра которого входят 6 нейтронов и 1 протон. Они очень нестабильны, однако современными методами экспериментальной физики вполне могут быть детектированы.

На первый взгляд кажется, что представления о квантованных значениях физических величин и их скачкообразном изменении не имеют ничего общего с классическими представлениями об их плавном, непрерывном изменении. Однако существует связь между ними, определяемая принципом соответствия (Бор, 1920). Уже говорилось о том, что при достаточно больших значениях главного квантового числа разность между соседними уровнями энергии становится малой. В этом случае изменение энергии происходит очень малыми скачками, почти непрерывно. Следовательно, можно ожидать, что при больших значениях главного квантового числа результаты квантовой теории согласуются и совпадают с результатами классических представлений. В этом состоит общая формулировка принципа соответствия. Например, по классическим представлениям частота линии излучения атома определяется частотой обращения электрона вокруг ядра и ее обертонами. Согласно формулам (1.27), (1.28) можно найти частоту обращения электрона:

Эта формула определяет классическую частоту излучения атома. Согласно квантовым представлениям частота определяется разностью термов по формуле (1.22). Будем считать числа л, л, большими, т. е. п » 1, л, » 1, при этом разность Дл = л—л, с л, л,. Тогда

Если разность Ап= 1, то формулы (1.39), (1.40) совпадают. При Ал = 2, 3, ... формула (1.40) определяет обертоны классической частоты. В этом и проявляется принцип соответствия. Отметим, что в квантовой механике рассматривают также другой подход к соответствию с классической теорией. Считается, что классическая механика — предельный случай квантовой механики при бесконечно малой величине кванта действия*.

В атомной физике важную роль играет безразмерный параметр а, который называют постоянной тонкой структуры (Зоммерфельд, 1916). Ее можно рассматривать как отношение классического радиуса электрона к его комптоновской длине (1.66):

Подробнее: Еюхинцев Д. И. Основы квантовой механики.-- СПб.: Лань, 2004.

В настоящее время эта постоянная измерена с погрешностью 710-9. С учетом (1.41) формулу (1.32) для уровней энергии (эВ) водородоподобного атома можно представить в виде:

Здесь учтено, что энергия покоя электрона тес2 = 511 кэВ. Энергия связи электрона в атоме водорода ?св имеет специальное название — Ридберг (Ry):

Для радиусов боровских орбит (1.29) получаем формулу (см):

Скорость электрона на боровской орбите согласно (1.25), (1.29) определяется выражением:

На основании этой формулы можно предположить, что в природе должно существовать конечное число элементов — до Z= сГ1 = 137.

В настоящее время длины волн различных переходов в атоме водорода от микроволн (при переходах между соседними уровнями с большими значениями главного квантового числа) до ультрафиолета измеряют с очень высокой точностью. Поэтому предлагается использовать атом водорода в качестве инструмента для метрологических стандартов длин волн. Отметим, что в одном только видимом диапазоне спектра атома водорода наблюдается более 50 спектральных линий.

ЗАДАЧИ

1. На примере гармонического осциллятора найти общее условие квантования орбит.

Решение. Фазовыми траекториями классического гармонического осциллятора с массой т частотой со на плоскости (координата q, импульс р)

являются эллипсы 5_+iL= 1, где а, b — полуоси эллипса; а= 1-2?- ,

-- a2 b2 V /лсо2

b = >j2mE ; Е — энергия осциллятора. Площадь, охватываемая эллипсом, определяется криволинейным интегралом S = ?pdq ? С другой стороны,

площадь эллипса равна 5= лад = 2лЕ/(й = E/v. Сравнивая две последние формулы и учитывая постулат Планка о квантовании энергии осциллятора, получаем

Эта формула определяет общее условие квантования круговых орбит. Считая, что q,p — обобщенные канонические переменные, рассмотрим пару переменных — угол, момент импульса: ф, рф = / = mvr. Так как рф = const, то из (1) следует (1.25).

2. Найти скорость электрона, радиусы орбит и энергетический спектр водородоподобного атома, считая электрон релятивистским.

Решение. В формулах теории Бора необходимо заменить

те —? mj - v2/c2. Тогда получаем: vn = Zac/n % rn — (n2rjz - (aZ/nj,

En = -mec21^ 1 - (ctZ/л)2 , где v2/c2 = (aZ/nj. В нерелятивистском приближении En - mec2 переходит в выражение (1.42).

3. Сколько линий испускает атом водорода, находящийся вл-м возбужденном состоянии?

Решение. (л-])+(л-2)+... + 2 + 1 = п(п-')/2.

4. Определить скорость, которую приобрел возбужденный атом водорода после излучения фотона, отвечающего головной линии серии Лаймана.

Решение. Из законов сохранения энергии и импульса в системе атом -

фотон: — fico 4--, —— м v после решения квадратного уравне-

4 н 2 с н

ния получаем v = c(j+3hRH/2MHc - /4Л/Н %327 см/с .

5. На примере малой капли воды диаметром 0,01 см, вращающейся со скоростью 1 об/с, показать, что для макроскопических систем изменение момента импульса (и других физических величин) происходит практически непрерывно.

Решение. Момент импульса капли / = /а> = 1,5-10~18 Джс = пЬ , где момент инерции / = Л/г2/5 = 2,510“19 кг м2; о) = 2л с"1. Таким образом, число n = l/ft % 1,5-1016 » 1. Разность между соседними значениями момента

импульса Д/ = Л , так что Д/// = /п 1.

6. По теории Бора в модели двух электронов, обращающихся вокруг ядра по окружности радиусом г, оценить энергию основного состояния атома гелия и гелиеподобных атомов. Считать, что из-за взаимного отталкивания электроны все время находятся на расстоянии 2гдруг от друга.

Решение. Энергия системы двух электронов е = —---2ZsL +

тг2 4ле0г

2

+—?—, где / — момент импульса электрона, / = т vr = пЬ . Учитывая 8л?0г е

J p Jl

законы сохранения энергии и момента импульса ^- = *7- = О, получаем , , 4 at at

16лс0л Л „ (л л2 с*

г-2-, Е = -(4Z -1)----—-——. Энергия основного со-

Л m/(4Z-l) " V ' 16-32л2е^я2Л2

(4Z-lf

стояния ?, = -—13,6 . Отсюда следует, что для атома гелия энергия

8

основного состояния равна -83,3 эВ (экспериментальное значение равно -78,6 эВ); для иона Li+(Z=3): ?1тсор = -205,7 эВ (?,эксп = —197,1 эВ).

7. Учитывая условие квантования орбит, найти энергетический спектр частицы массой m, движущейся по круговой орбите в поле с потенциальной энергией U = -р/г .

Решение. При вращении частицы по окружности центростремительная сила равна: mv2/r = -dU/dr = р/г2, так что энергия Е = — р/2г. Согласно условию квантования: mvr = nh . Отсюда: Еп = -тр2/2л2А2.

8. На примере гармонического осциллятора показать, что классическая частота определяется как производная энергии по функции действия, а квантовая — как отношение конечных разностей энергии и действия.

Решение. Стационарные состояния определяются условием квантования: /я = ^pdq = nh , где 1п — интеграл действия. Изменение интеграла действия при переходе между соседними уровнями: А/=/л -/я_, = Л . Квантовая частота излучения при таком переходе: vq = (En-En_x)/h = bE/h. Таким образом, vfl = A?/A/. Для классического осциллятора интеграл действия / = Отсюда,

dl/dE - mdqjJ2m(E-U) = j) dq/v = §dt = T , где T — период колебаний. Таким образом, = = dE/dl.

  • [1] О скачкообразности переходов см.: Greenstein G. et al. // American J. Phys. 1995.V. 63. Nr. 8. P. 743.
  • [2] Подробнее об экзотических атомах см.: Меньшиков Л. И., Евсеев М. К. // УФН.2001. Т. 171. №2. С. 149.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>