Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АТОМНАЯ ФИЗИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Принцип тождественности одинаковых частиц. Принцип Паули

Все однотипные частицы, например электроны, одинаковы. Они характеризуются одним и тем же значением заряда, массы и спина. Однако между классическими и квантовыми представлениями об одинаковых частицах имеется существенное различие. В классической механике одинаковые частицы различаются начальными значениями их динамических переменных — координат и импульсов.

Поэтому каждую частицу можно, образно говоря, пронумеровать, т. е. приписать ей индивидуальное свойство. По законам механики можно в принципе далее проследить за каждой отдельной частицей и определить ее динамические переменные в любой момент времени. По квантовым представлениям это принципиально невозможно. Если в начальный момент времени точно задать координаты каждой частицы и пронумеровать их, то импульсы частиц оказываются совершенно неопределенными. Поэтому в следующий момент времени невозможно указать, где они будут находиться и, значит, невозможно отличить их друг от друга. Если в начальный момент точно задать импульсы частиц, то их местоположение совершенно не определено, так что им нельзя приписать каких-либо индивидуальных свойств. Все это связано с тем, что не существует понятия траектории квантовых частиц. Имеет смысл только плотность вероятностей, определяемая квадратом модуля волновой функции.

Рассмотрим для простоты систему двух одинаковых частиц.

Пусть гр(l,2) — волновая функция, описывающая состояние этой

системы. Здесь 1 означает совокупность координат и спиновой переменной первой частицы, 2 — то же для второй частицы, при этом переменная спина указывает значение проекции спина на выбранное

направление в пространстве. Величина |гр(l, 2)|2 имеет смысл плотности вероятности того, что первая частица характеризуется переменными 1, а вторая — переменными 2. Очевидно, плотность вероятности не изменится, если частицы поменять местами, т. е. первой частице приписать переменные 2, а второй — переменные 1:

Другими словами, результат взаимного обмена переменными двух микрочастиц нельзя обнаружить в эксперименте. Это означает, что одинаковые микрочастицы нельзя отличить друг от друга. Они являются тождественными. Чтобы убедиться в этом, допустим, что частица полностью описывается некоторыми признаками ау by с, d. Пусть частица 1 имеет набор признаков а b]y с,, dv а частица 2 — набор признаков av Ь с2, dv Однако указать однозначно, какая из этих частиц имеет номер 1, а какая — номер 2, невозможно, так как иначе частицы должны различаться по какому-то дополнительному признаку. Но если набор ау by су d уже полный, то такое различие невозможно, т. е. частицы 1 и 2 являются тождественными.

Тождественность микрочастиц обнаруживается в опытах по рассеянию. Например, при столкновении а-частицы с ядром гелия ядро испытывает отдачу. В каждом акте столкновения имеется две частицы. Однако принципиально нельзя отличить налетающую частицу от частицы, испытавшей отдачу. Они рассеиваются во взаимно перпендикулярных направлениях (в лабораторной системе отсчета) (рис. 2.26). В системе центра масс направления рассеяния 0 и л —0 эквивалентны, при этом угол отклонения в лабораторной системе составляет половину угла рассеяния в системе центра масс. Детекторы Z), и Dv расположенные под углами 0 и 0' на одинаковых расстояниях от мишени, регистрируют одновременное появление сталкивающихся частиц. Если регистрировать частицы с помощью только одного детектора, то число рассеянных частиц в единицу времени под углом

Рис. 2.26

0 оказывается таким же, как под углом 0' = — 0 . Это значит, что

сечение рассеяния а-частиц симметрично относительно направления 0 = 45°. Такую симметрию действительно наблюдали на опыте. Для сравнения вспомним, что сечение резерфордовского рассеяния а-частиц монотонно убывает с возрастанием угла рассеяния. Это является следствием возможности классического подхода к резерфордовскому рассеянию.

Тождественными являются также фотоны: на опыте непосредственно была показана интерференция фотонов от двух различных лазеров.

Взаимный обмен переменными частиц означает, что волновая функция подвержена преобразованию под действием некоторого оператора. Его называют оператором перестановок, или обменным оператором: Pik . В случае двух частиц: />2ф(1,2)=ф(2,1). При повторном действии этого оператора восстанавливается первоначальная волновая функция:

Определим собственные значения Р[2 оператора перестановок. По общим правилам: />12ф(1, 2)= /^(l, 2). Действуя еще раз оператором Рп, получаем: Р*2 ф(1,2)=ф(1,2), т. е. Р[2 = ±1 • Это значит, что существуют симметричные и антисимметричные волновые функции относительно перестановки их аргументов. Волновые функции симметричны, если

Волновые функции антисимметричны, если

Аналогично записывают волновые функции в случае многих частиц. Свойства симметрии волновой функции сохраняются со временем, т. е. система все время находится либо в симметричном, либо в антисимметричном состоянии. Это вытекает из того, что оператор Гамильтона не изменяется при перестановке частиц и обменный оператор коммутирует с оператором Гамильтона. Сохранение свойства симметрии системы частиц позволяет считать, что симметрия определяется свойствами самих частиц, которые составляют эту систему. Свойство симметрии системы, состоящей из тождественных сложных частиц, определяется полным спином сложной частицы. Определим, например, полный спин а-частицы. Она состоит из двух протонов и двух нейтронов. Так как спины этих частиц равны Л/2 , а число их четно, то полный спин кратен целому числу Л. Следовательно, система а-частиц описывается симметричной волновой функцией.

Как показал Паули, свойства симметрии волновых функций тесно связаны со спином частиц и с типом статистики, описывающей термодинамически равновесные системы частиц. Симметричные волновые функции описывают состояния бозонов. Эти частицы подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна (1924). Антисимметричные волновые функции описывают состояния фермионов. Они подчиняются статистике Ферми-Дирака (1926).

Допустим, что частицы не взаимодействуют друг с другом. Тогда уравнение Шредингера для волновой функции системы, например, двух частиц распадается на два одинаковых уравнения для волновой функции каждой из частиц: ф. (1) и ф, (2). Здесь нижние индексы

обозначают набор квантовых чисел состояний, в которых могут находиться частицы. Так как, по предположению, они независимы друг от друга, то волновая функция их системы равна произведению волновых функций для отдельных частиц:

Однако эта функция не обладает никакими свойствами симметрии. Чтобы построить волновую функцию с требуемыми свойствами, надо воспользоваться принципом тождественности микрочастиц. Тогда получим другую волновую функцию:

Функции ф(|) и ф(2) являются решениями уравнения Шредин-

'1'2 V2

гера. В силу его линейности суперпозиция этих функций также будет решением уравнения Шредингера для системы двух частиц:

где а, (3 — постоянные нормировки. Если а = (3, то функция (2.135) является симметричной:

Если (3 = -а, то функция (2.135) антисимметрична:

Если функции ф. (1) и ф^ (2) нормированы на единицу, а функции ф5 и ф^ нормированы условием ^|ф5 ^ (l,2)| dV]dV2 =1 , то постоянная a = l/V2. Заметим, что антисимметричную волновую функцию (2.137) можно представить в виде определителя:

В случае системы N фермионов волновая функция представляется в виде аналогичного определителя с постоянной нормировки

а = /у[м~. Система N невзаимодействующих бозонов описывается волновой функцией Ф$ =а]Г)ф/0)Ф/ (2)- -ф/ (N), где суммирова-

р

ние ведется по всем возможным перестановкам частиц.

Если гамильтониан системы не зависит от спиновых переменных, то волновую функцию можно представить в виде произведения, координатной и спиновой волновых функций.

Рассмотрим подробнее систему частиц с полуцелым спином. Оказалось, что частицы с полуцелым спином, в частности электрон, описываются антисимметричной волновой функцией. Это утверждение представляет собой общую формулировку принципа запрета, или

принципа исключения Паули. Частные формулировки этого принципа открыл Паули в 1925 г. при изучении эмпирических закономерностей в атомных спектрах еще до введения в теорию представлений о спине и построения волновой механики Шредингера. Согласно принципу Паули — два электрона в атоме никогда не могут обладать одинаковым набором четырех квантовых чисел.

В гл. 3 будет показано, что состояние электрона в атоме описывается четверкой квантовых чисел nj,mnms. Они имеют смысл, соответственно, главного квантового числа, орбитального квантового числа, магнитного орбитального квантового числа и спинового магнитного квантового числа. Волновая функция системы двух независимых электронов описывается формулой (2.138), где набор квантовых чисел i = (nylym/ymsY Из этой формулы следует, что если все четыре квантовых числа для обоих электронов совпадают, т. е. /, =/2, то волновая функция ф.. =0. Это значит, что такое состояние не осу-

V2

ществляется. Таким образом, по Паули, в некотором состоянии с фиксированной четверкой квантовых чисел может находиться не более одного электрона. Электроны проявляют удивительную «антипатию» друг к другу: если какое-то состояние занято, то второму электрону там уже нет места. Это свойство позволяет понять, почему, например, конденсированная среда противостоит внешнему давлению, а также почему при рассмотрении периодической системы элементов не наблюдается «стягивание» электронов атомов во все меньший объем из-за увеличения заряда ядра.

Принцип Паули является одним из фундаментальных законов природы, но он относится только к фермионам. Бозоны, например, фотоны, л-мезоны или а-частицы принципу Паули не подчиняются.

ЗАДАЧА

1. Показать, что оператор Гамильтона системы двух частиц не изменяется при перестановке частиц местами.

Решение. Оператор Гамильтона системы двух частиц:

где U(rx) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле; их2(г*г2) — энергия взаимодействия частиц. Непосредственно видно, что при перестановке частиц оператор Гамильтона не меняется.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>