ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Один из разделов математической статистики составляет проверка статистических гипотез - предположений, относящихся к рассматриваемым распределениям опытов или наблюдений массовых явлений. В условиях когда число наблюдений ограничено, а полученные данные обнаруживают значительное рассеивание, объективные суждения о преимуществах того или иного метода измерений, особенностях технологического процесса, о пользе принимаемого решения можно вынести лишь на основе статистического анализа и сопоставления данных наблюдений или опытов, относящихся к соответствующей области. В теории математической статистики разработаны приемы такого сопоставления, которые исчерпывающим образом позволяют использовать всю информацию, содержащуюся в имеющемся ограниченном материале, и получить обоснованные выводы.

В большинстве задач анализа необходимо знать закон распределения СВ. Если он не известен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный видУ(х), выдвигают гипотезу: исследуемая СВ распределена по этому закону предполагаемого распределения.

Встречаются задачи, когда закон распределения СВ известен, а параметры его неизвестны. Тогда можно предположить, что неизвестный параметр 0 равен определенному значению 0q. Следовательно, выдвигается гипотеза: 0 = 0q. Таким образом, это гипотеза о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: об однородности статистического материала, о равенстве параметров двух или нескольких распределений, равенстве дисперсий СВ.

Наряду с выдвинутой - нулевой {основной) гипотезой Я0 рассматривают и противоречащую ей конкурирующую (альтернативную) гипотезу Н. Например, если нулевая гипотеза Но : 0 = 10, то альтернативная Hi: 0 * 10.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной. При этом могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Последствия этих ошибок могут существенно отличаться.

Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство энергетического объекта», то эта ошибка первого рода может привести к дефициту мощности или пропускной способности электрической сети и, как следствие, к ущербу у потребителя. Если принято неправильное решение «продолжить строительство», несмотря на всякого рода отрицательные факторы, то эта ошибка второго рода может повлечь за собой еще более тяжелые техникоэкономические и экологические последствия.

Очевидно, что вероятность совершить ошибку первого рода а должна быть достаточна мала. Численное значение а называют уровнем значимости критерия, который выбирают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Построение критерия начинается с выбора такого множества на действительной оси, что если СВ примет значение из этого множества, то принимается нулевая и отвергается альтернативная гипотеза. Это множество называется множеством (или областью) принятия гипотезы Hq.

Дополнительное множество к множеству принятия нулевой гипотезы называется множеством отклонения нулевой гипотезы, или критическим множеством (или областью).

Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется следующим образом: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области - гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза. Численное значение мощности критерия определяется как 1 - р, где р — вероятность ошибки второго рода.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >