Сравнение параметров двух пуассоновских распределений

Пусть две независимые случайные величины $ и т), имеющие пуассоновское распределение с параметрами Х^ и Хч, соответственно, при проведении испытаний приняли значения к и I. Требуется проверить гипотезу Яо: Хг = Хч о равенстве параметров l-i и распределений этих случайных величин. Для этого можно использовать статистику

распределение которой при выполнении #о и при к + I > 5 довольно точно приближается стандартным нормальным распределением. Соответственно, как и в подразд. 2.3.4, критическая область уровня значимости а для проверки гипотезы Но: р% = pTl против двусторонней альтернативы Hi: р^ Ф pTl будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов (—оо,«а/2] и [wi—ot/21 °°) против односторонней альтернативы Н: р% > рп — из одного полуинтервала [«i_a,oo) и против односторонней альтернативы Н: pi < — также из одного полуинтервала (—оо, ма].

Проверка гипотезы о равенстве заданному числу коэффициента корреляции

Пусть (xi,yi),(x2,y2), ...,{хпп) — случайная выборка пар значений двумерной случайной величины (?, г|), имеющей двумерное нормальное распределение. Требуется проверить гипотезу Но: р = ро о равенстве коэффициента корреляции р этого двумерного распределения заданному числу ро- Для проверки этой гипотезы можно использовать статистику

распределение которой при выполнении Hq и при достаточно большом п довольно точно приближается стандартным нормальным распределением. Соответственно, как и в двух предыдущих подразделах, критическая область уровня значимости а для проверки гипотезы Но: р = ро против двусторонней альтернативы Hi: р ф ро будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов (—оо,иа/2] и [«1 _а/2, оо) против односторонней альтернативы Н: р > ро — из одного полуинтервала [wi_a, оо) и против односторонней альтернативы Я) : р < ро — также из одного полуинтервала (—оо, на].

Обычно проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю, что в случае двумерного нормального распределения, как ранее отмечалось, эквивалентно проверке гипотезы о независимости 5 и г). В этом случае выражение (2.5) упрощается

Пример 2.5. Пусть объем выборки п = 10, вычисленное по выборке значение г = 0,6, и требуется проверить гипотезу Но- р = 0 против альтернативы Н: р ф 0.

Выборочное значение статистики и, вычисленное по формуле (2.6), равно 1,83. Поскольку оно не выходит за двусторонние 5%-е критические пределы стандартного нормального распределения ±1,96, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии корреляции. Если бы у нас были основания предполагать, что корреляционная зависимость в случае ее наличия может быть только положительной, то следовало бы использовать для проверки Щ одностороннюю критическую область, которая для а = 0,05 представляет собой бесконечный полуинтервал [1,64; оо). Значение 1,83 попадает в эту критическую область и, следовательно, гипотеза об отсутствии корреляции должна была быть отвергнута. Заметим, что число наблюдений в данном примере недостаточно велико для уверенного использования данного приближенного критерия. Если к этому добавить тот факт, что выборочное значение статистики критерия находится вблизи границы критической области, то следует заключить, что по имеющимся данным нельзя сделать надежного вывода ни о наличии, ни об отсутствии корреляции.

Отметим, что если бы значение г = 0,6 было получено для п = 50, то выборочное значение статистики и было бы равно 4,75, и гипотеза однозначно должна была быть отвергнута не только на уровне значимости 5 %, но и 1 % (и даже более высоком, так как вероятность того, что стандартно распределенная случайная величина примет значение, большее 4,75, равна 0,000001).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >