Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Демокрит, софисты и Эпикур

В данном учебнике развивается идея о том, что атомизм не является изобретением древних греков. Эта древняя традиция была получена греками от вавилонян и египтян, так же как ими было получено учение о материи как первовеществе и учение о математических первоэлементах как правильных многогранниках. Причем сами египтяне и вавилоняне скорее всего получили эти знания от поколений, которые жили до них («первых поколений»). «Древние свидетельства сообщают, что отец Демокрита принадлежал к богатейшим гражданам Абдер и что он принимал в своем доме царя Ксеркса, который отблагодарил его, прислав халдеев и магов для обучения его детей. Эти халдеи и маги были первыми учителями Демокрита, обучившими его астрономии и другим наукам»[1].

Халдеи и маги могли научить Демокрита вавилонской планетной астрономии и особенно зигзагообразному типу В описания движения небесных тел, как его называл Нейгебауэр. Именно тип В позволяет полноценно использовать атомистические методы при вычислении движения Солнца, Луны и планет. Возможно, что халдеи обучали Демокрита всем трем традициям. Но атомистическая традиция оказалась для Демокрита судьбоносной. Ей он посвятил свою жизнь и тем прославился в веках.

Когда Демокрит возмужал, то отправился по миру искать мудрости. «Из всех моих современников я обошел наибольшую часть земли; я делал исследования более глубокие, чем кто-либо другой; я видел очень много разнообразных климатов и стран и слышал весьма многих ученых мужей, и никто еще меня не превзошел в слагании линий, сопровождаемом логическим доказательством, даже так называемые египетские гарпедонанты (землемеры). С ними я пробыл на чужбине пять лет, посетив их позже всех остальных ученых»[2].

Сначала следует рассмотреть основные положения атомистической теории Демокрита. Демокрит утверждал, что «начало Вселенной — атомы и пустота»[3]. «Атом» в переводе с греческого означает «неделимое». Поэтому понимание смысла атомизма заключается в понимании, что такое неделимое. Для этого необходимо уяснить суть процесса деления. А это невозможно без уяснения понятий потенциальной и актуальной бесконечности.

Для понимания атомов необходимо обратить особое внимание на их определение через отсутствие частей. Симпликию принадлежит следующее свидетельство: «Левкипп и Демокрит считают причиной неделимости первотелец не только непроницаемость их, но также малость и отсутствие частей»[4]. Только актуально бесконечное деление способно достигнуть атомов, т.е. объектов, которые уже не имеют частей и далее не могут по этой причине быть делимы. Вот цитата Аэция: «Некоторые принимают атомы и полагают, что деление останавливается на неделимых и не идет в бесконечность»[5].

Вот еще высказывание Диогена Лаэртского: «Должно отвергнуть возможность деления на меньшие части до бесконечности, чтобы нам не сделать все существующее лишенным всякой силы и чтобы не быть принужденными в наших понятиях о сложных телах остаться без реальности, распыляя ее в ничто»[6]. Из этой цитаты вполне определенно следует, что атомистическая традиция жестко отрицает потенциальное бесконечное деление.

Теперь рассмотрим вопрос о формах, величине и количестве атомов. Эпикур так писал об этом: «Кроме того, неделимые и полные тела, из которых образуются соединения и в которые они разрешаются, имеют необъятное число форм, ибо невозможно, чтобы такое множество различий в сложных предметах могло образоваться из одних и тех же ограниченных по числу форм. И в каждой форме подобные атомы безграничны по числу, а различие форм в них не совсем безгранично, но только необъятно»[7].

Из этой цитаты следует, что атомы нельзя считать только точками, ибо точки нс могут иметь множество форм. Но нельзя считать атомы и некоторыми трехмерными объемами, ведь такой объем имел бы величину и был делим на части. Следовательно, атомы необходимо считать неделимыми только в одном измерении, а в остальных измерениях они имеют различную величину и различную форму. Ибо если не признавать неделимость только в одном направлении, то невозможно будет объяснить наличие формы. Ведь у обычного тела нельзя представить форму без одновременного принятия величины, а значит, и делимости.

Вот что Аристотель утверждал о взглядах Демокрита на формы атомов. По Аристотелю, Левкипп и Демокрит полагают «началами всего происходящего редкое и плотное, утверждают, что причинами прочих вещей являются определенные различия в них. А этих различий, по их учению, три: форма, порядок и положение. В самом деле, они говорят, что бытие различается только “очертанием, соприкасанием и поворотом”. Из них очертание есть форма, соприкасание — порядок и поворот — положение. Например, А отличается от N формою, AN от NA — порядком, h от Р — положением»[8].

Таким образом, вполне определенно видно, что фигуры атомов весьма разнообразны. Следовательно, бывают прямолинейные неделимые и самые различные криволинейные неделимые. Чтобы поддержать это разнообразие, необходимо говорить о множестве неделимых линий и плоскостей самой различной формы.

Теперь следует сказать о соединении и разъединении неделимых. «Они носятся в пустоте [ибо пустота существует], и, соединяясь между собой, они производят возникновение, расторгаясь же — гибель»[9]. Пустота есть то, что находится в промежутках между неделимыми. Но такую пустоту нельзя воображать как промежутки между телами видимого нами мира. Пустота — такой же загадочный объект, как и атомы, ибо она возникает только в процессе актуально бесконечного деления. Образом пустоты может быть бесконечная малая окрестность предельной точки в рамках современной теории множеств. Соединение атомов следует полагать как бесконечные совокупности неделимых точечных, линейных или плоскостных атомов самой различной формы. Причем эти совокупности (подобия современных интегральных сумм) должны образовывать конечные по размеру объекты.

Например, криволинейные неделимые могут линия к линии укладываться в некоторую криволинейную поверхность, а могут пересекаться и переплетаться как римановы поверхности. От количества и размера неделимых атомов, участвующих в этих совокупностях, зависит и вес полученного целого объекта. Аристотель так описывал демокритовские представления о весе неделимых: «Демокрит говорит, что каждое из неделимых бывает более тяжелым вследствие большего размера»[10]. Из этого утверждения Демокрита следует, что неделимые имеют вес и этот вес определяется размером неделимого. Из двух неделимых линий та будет весить больше, которая длинее. Также решается вопрос и для двумерной площади. Это особенно хорошо иллюстрируется способом подвешивания неделимых, который использовал Архимед. На основании этой цитаты можно понять, почему вес не является существенной характеристикой атомов. Он оказывается вторичен по отношению к размеру атомов.

Из всего вышесказанного следует, что древние атомисты понимали атомы так же, как это делали Галилей и атомисты его круга. Любое трехмерное тело можно поделить на двумерные сечения, так же и двумерное тело — на линии, а линии — на точки. Из математических сочинений до нас дошел лишь один фрагмент, в котором Демокрит обсуждает следующую апорию, подтверждающую тезис о сечениях трехмерных тел: «Если пересечь конус параллельно основанию плоскостью, то как следует мыслить о поверхностях сечений: будут ли они равными или не равными? Ведь если они не равны, то конус будет неправильной фигурой, так как в этом случае он будет заключать в себе много ступенеобразных выступов и, следовательно, неровностей; если же они равны, то отрезки будут равными и конус окажется имеющим фигуру цилиндра, так как он будет сложен не из неравных, а из равных кругов, что есть величайший абсурд»[11].

Очевидно, что Демокрит говорит о двумерных сечениях, ибо трехмерные сечения не дадут в сумме гладкий конус, а лишь эту неуклюжую неправильную фигуру со ступенчатыми выступами.

Именно таким же способом актуально бесконечного деления — сечения пользовался и Архимед в своих механических методах. Вот как он об этом пишет в «Послании к Эратосфену», упоминая при этом математические заслуги Демокрита: «Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.

Поэтому и относительно тех теорем о конусе и пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательства, а именно, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида — третью часть призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно упомянутых фигур, хотя и без доказательства»[12].

Достаточно серьезный вклад в развитие атомистической традиции внесли древнегреческие софисты. Самый известный софист Протогор был учеником Демокрита. В философии софисты выступали против абсолютной истинности, на которую претендовали Сократ, Платон и их последователи. Такое абсолютное знание касалось возвышенного мира идей. Существование такого мира софисты однозначно отвергали. Именно за эго они подверглись осуждению со стороны Сократа и Платона.

Софисты показывали недостаточность человеческого знания, вскрывали его ограниченность. Эта ограниченность в первую очередь связана с конечностью человеческого разума. Наш разум, согласно софистам, начинает впадать в противоречия и парадоксы, когда он в своей конечности пытается оперировать бесконечными процессами. А бесконечные процессы обязательны для математики атомизма. Поэтому софистам очень хорошо были видны все ограничения человеческого познания. Всю эту ограниченность нашего разума они выразили в известнейших софизмах. Часть софизмов вскрывает сложности оперирования с многозначными понятиями, другая часть софизмов сознательно запутывает противника, жонглируя доводами. Все это имеет конечной целью доказать слабость нашего разума и отвратить его от претензий на познание абсолютной истины в смысле Сократа и Платона.

Но наибольшее значение для развития именно математического атомизма имеют софизмы, связанные с бесконечными процессами. Самые известные софизмы такого рода были сформулированы в окончательной форме в рамках мегарской школы Евбулидом. Евбулид пытался использовать софизмы в своих целях — для доказательства невозможности истинного познания единичных вещей. На том же настаивали и софисты. Правда, Евбулид сделал свои выводы из этих софизмов. Он утверждал, что истинным может быть познание только общих идей. Этот вывод софисты, естественно, никогда не поддержали бы.

Но вернемся к евбулидовым софизмам. Самыми известными являются следующие софизмы: «Лжец», «Сорит (куча)», «Плешивый». Разберем сначала софизм «Лжец», который можно изложить следующим образом. Рассмотрим вопрос об истинности высказывания «я лгу». Если, сказав «я лгу», я сказал истину, то, значит, я при этом солгал (т.е. сказал неправду), что противоречиво, следовательно, произнося это высказывание, я сказал неправду, т.е. солгал. Итак, доказано, что, произнося это высказывание, я солгал, а так как именно это я и утверждал, произнося это высказывание, то я тем самым сказал при этом истину, т.е. доказано и то, что я (в том же случае) сказал истину.

В этом противоречии и состоит парадоксальность этого софизма. Суть парадокса заключается в том, что множество всех подмножеств счетного множества само не является счетным, т.е. человек, который утверждает, что он лжет, не попадает в счетное множество. Он должен составить элемент множества иного порядка, чем множество всех обычных лгунов.

Почти через 25 веков софизм «Лжец» трансформировался в парадокс Рассела, вскрывший сложности построения атомистической канторовской теории множеств. Именно об этих сложностях и предупреждали софисты, которое в те далекие от нас времена тоже столкнулись с парадоксами только что импортированной вавилонской атомистики.

Более просты для понимания софизмы «Куча» и «Плешивый». В софизме «Куча» выясняется следующий вопрос: является ли одно зерно кучей? Ответ — нет. Тогда задается вопрос: а два зерна есть ли куча? Ответ опять — нет. И т.д. Также задаются вопросы о выпадении одного волоса с головы человека, стал ли он при этом лысым. Ответ — нет. И т.д. Смысл этих софизмов в том, что если одно зерно или один выпавший волос принять за нуль, а они породили кучу и лысину, то получается, что сумма этих нулей в конце концов породила эту кучу и плешь.

Это фундаментальный парадокс математического анализа. Как сумма бесконечно малых может породить конечное нечто? Достаточно вспомнить исчисление нулей Эйлера. Исследование этих софизмов вполне доказывает всю глубину математических познаний и атомистических познаний софистов. Воспринимать эти софизмы как глупые игры — это все равно что отмахиваться от инфинитезимальных парадоксов Зенона Элейского. Это могут делать только люди, далекие от проблем современной математики.

Как уже было выше сказано, софисты, как последователи Протогора и Демокрита, пытались оперировать с бесконечными процессами. Из всех софистов, занимавшихся математикой, наиболее прославился Антифонт. Именно он в V в. до н.э. предложил решение популярной тогда задачи квадратуры круга исходя из атомистических представлений.

Вот его решение: «Впишем в круг многоугольник (например, треугольник или квадрат); для него, как и для каждой прямолинейной фигуры, можно построить с помощью циркуля и линейки равновеликий квадрат. Будем теперь вписывать в круг многоугольники, удваивая число их сторон. Для каждого такого многоугольника тоже можно построить равновеликий ему квадрат. Но круг есть многоугольник с бесконечным числом сторон, значит, и для него можно построить равновеликий квадрат. Таким образом, предложение, верное для любого многоугольника с конечным числом сторон, Антифонт перенес на многоугольник с бесконечным числом сторон»[13].

Нс меньшие заслуги имеют софисты и в исследовании трансцендентных линий. Ведь трансцендентные линии являются епархией математического атомизма. Первая такая кривая — квадратрисса была обнаружена софистом Гиппием. Именно атомистическая установка позволила Гиппию открыть первую трансцендентную кривую. В отличие от алгебраических кривых трансцендентные кривые образованы двумя несоизмеримыми движениями. Так, квадратрисса образуется в результате пересечения равномерно вращающегося радиуса круга АЕ и прямой АВ, равномерно движущейся параллельно касательной к кругу в точке начала движения. Описание этого движения удавалось в Античности осуществить только методами атомизма.

В заключение следует сказать еще несколько слов об Эпикуре. Именно эпикурейская школа стала носительницей атомистической традиции практически в течение всей эллинистической эпохи. Правда, внутри самой школы никаких серьезных математических достижений не было, но дух атомизма породил многих значительных механиков древности. К их числу следует отнести уже почти забытого Ктесибия, всемирно известного Архимеда и достаточно известного Герона Александрийского.

  • [1] Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. Баку, 1946. С. 44.
  • [2] Там же. С. 215.
  • [3] Антология мировой философии. Т. 1. Ч. 1. М., 1969. С. 326.
  • [4] Маковельский А. О. Указ. соч. С. 246.
  • [5] Там же.
  • [6] Антология мировой философии. Т. 1. Ч. 1. С. 324.
  • [7] Там же. С. 348.
  • [8] Там же. С. 322-324.
  • [9] Антология мировой философии. Т. 1. Ч. 1. С. 325.
  • [10] Маковельский Л. О. Указ. соч. С. 233.
  • [11] Там же. С. 84.
  • [12] Архимед. Сочинения. М., 1962. С. 299.
  • [13] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. М., 1970. С. 88.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>