Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математический атомизм в Средние века

История средневекового математического атомизма непосредственно связана с судьбой сочинений Архимеда. Математические тексты Демокрита и софистов не пережили гибели античной цивилизации. Тексты Архимеда долгое время оставались неизвестны в Западной Европе. Поэтому до XII в.

западноевропейцы были почти не знакомы с этими трактатами и, соответственно, атомистическая традиция оказалась менее развита, чем традиции материального эфира и первоэлементов. В монастырях действовала старая платоновская установка на максимальное снижение влияния атомизма. Платон просто не понимал, что без атомизма как первого этапа невозможна его любимая философия первоэлементов.

Немного другая ситуация сложилась на территории Восточной Римской империи. Византия не так сильно пострадала от нашествия варваров, и греческая культура смогла здесь сохраниться. Хотя уровень культуры уже никогда не смог достигнуть античных высот. В VI в. строитель Святой Софии Исидор Милетский и комментатор Архимеда Евтокий Аска- лонский знают лишь трактаты «О равновесии плоских фигур», «О шаре и цилиндре» и частично об «Измерении круга». «В IX в. в эпоху расцвета при Македонской династии Константинопольского университета Архимеда начинают знать гораздо больше; к этому времени относятся две основные рукописи сочинений Архимеда; утраченная рукопись, принадлежавшая в XV в. Георгию Валле, и недавно (1907 г.) найденный константинопольский палимпсест, который является основой всех современных изданий текстов Архимеда»[1].

Перед тем как проследить дальнейшую судьбу сочинений Архимеда в рамках европейской культуры, следует упомянуть об их значении в арабской традиции. Арабы переводили с греческого практически все значимые произведения. Архимед не оказался исключением. Веселовский пишет о харранце Сабите ибн Курре, который перевел сочинение Архимеда «О шаре и цилиндре»: Сабит ибн Курра «был единственным арабским математиком, от которого остались специальные механические произведения»[2]. Часть сочинений Сабита ибн Курры написаны в очевидной архимедовской традиции.

Другим известным арабским физиком и математиком, вполне овладевшим методами Архимеда, был автор «Оптики» ибн аль-Хайтам. Весьма интересна тема связи арабского математического атомизма и философского атомизма ашаритской школы. Не менее интересно было бы проследить связь между индийской математикой и атомистической традицией в индийской философии. О том, сколько тайн хранит древняя индийская цивилизация, свидетельствует следующее высказывание Лапласа: «Правда, некоторые элементы индийской астрономии могли иметь величины, которые им приписывали лишь задолго до нашей эры. Например, надо вернуться на 6000 лет назад, чтобы получить их уравнение центра Солнца»[3]. Но эти темы требуют специального глубокого исследования.

Отдельные сочинения Архимеда были переведены с арабского языка еще в XII в. Это было прямым следствием Реконсисты. Испанцы получали не только новые земли, но и совершенно новые для них знания. Так, одному из самых известных переводчиков с арабского Герардо Кремонскому принадлежит перевод архимедовского «Измерения круга»[4]. По мнению же Веселовского, в Западную Европу сочинения Архимеда попали только после константинопольского погрома 1204 г. Тогда и были вывезены манускрипты, с которых в 1269 г. был сделан первый перевод на латинский язык. Автором этого перевода стал друг Фомы Аквинского францисканец Вильгельм из Мербека. Скорее всего, сам Вильгем из Мер- бека не был сколько-либо значимым математиком, ибо это был практически подстрочный дословный перевод. Но самое важное, что сочинения впервые стали общедоступны.

Можно лишь предположить, какую роль сыграл здесь Фома Аквинский. Ведь в это время он возглавлял борьбу против платонизма. Фома утверждал аристотелевское учение, но ослабить Платона, опубликовав атомистически настроенного Архимеда, было все равно что опубликовать самого Демокрита. Враги моих врагов — мои друзья! Может быть, так мыслил Фома, беря в союзники Демокрита и Архимеда. Если это так, то томисты (последователи Фомы Аквинского) потом очень сильно раскаются в этом опрометчивом поступке. Через несколько веков атомизм в руках Галилея будет смертоносным оружием уже против Аристотеля.

Итак, атомистическая математическая традиция в Западной Европе начинается именно с опубликования трудов Архимеда. О философском атомизме подробнее говорилось в предыдущем параграфе. Одним из первых приверженцев математического атомизма в средневековой Европе считается Роберт Гроссетест, «сам стоявший на позициях атомизма. У него мы встречаем но крайней мере постановку вопроса о сравнении различных бесконечностей вроде сумм простейших (расходящихся) рядов»[5].

Но более важно следующее. Один из первых математических атомистов новой Европы был первым канцлером Оксфордского университета. И именно в Оксфорде учился и преподавал один из самых известных ученых Средневековья Роджер Бэкон. Кроме того, Роджер Бэкон был учеником Роберта Гроссетеста. А чему он у него мог научиться, как не математическому атомизму? Очень скоро уже победившие Платона томисты начнут войну со своими бывшими союзниками атомистами. Результатом этой войны станет многолетнее заключение Роджера Бэкона.

Но вернемся в средневековый Оксфорд. Именно здесь живет атомистическая традиция, которую после Роберта Гроссетеста и Роджера Бэкона подхватывает Томас Брадвардин. При рассмотрении развития атомистической традиции в Средние века следует всегда учитывать печальный опыт Роджера Бэкона. Этот опыт больше никто не хотел повторять, поэтому последующие атомисты были весьма осторожны. Высказывания средневековых атомистов следует оценивать, учитывая угрозы инквизиции.

Томас Брадвардин знаком с произведениями Архимеда, он, в частности, ссылается на «Измерение круга». Сам Томас Брадвардин пытается откреститься от атомистических представлений, признавая себя последователем Аристотеля. Но думается, что это делается только для маскировки. В своем трактате «О континууме» Брадвардин вводит весь аппарат атомизма, который чуть позже будет воспроизведен новоевропейскими атомистами (Кеплером, Галилеем, Кавальери, Ньютоном), а затем и в теоретико-множественных построениях второй половины XIX — начале XX в.

Очень интересно выделение Брадвардином пяти точек зрения на строение континуума. «Одни, — пишет он, — как Аристотель, Аверроэс и большинство нынешних, утверждают, что континуум не составляется из атомов, но из частей, которые делимы без конца. Другие же говорят, что он составляется из неделимых, притом двояко, ибо Демокрит полагает, что континуум составляется из неделимых тел, а другие — что из точек. И эти разделяются надвое, ибо Пифагор, глава этого направления, Платон и наш современник Вальтер полагают, что континуум составляется из конечного числа неделимых, а другие — что из бесконечного числа. И эти последние делятся надвое, ибо одни, как наш современник Генрик, утверждают, что континуум составляется из бесконечного числа неделимых, непосредственно связанных друг с другом, а иные, как Роберт Линкольнский, — из бесконечного числа их, связанных друг с другом опосредованным образом»[6].

Роберт Л Никольский — это Роберт Гроссетест, о котором много говорилось выше. Данное высказывание является весьма своеобразным представлением о возможных строениях континуума. Здесь очень важно, как разносятся по концепциям великие философы. Перипатетики противопоставляются всем. Демокрит, Пифагор и Платон записываются в атомисты, опять же на основании того, что они теперь союзники против общего врага. Этот враг — эго только что победивший Аристотель.

Причем эта точка зрения будет прослеживаться вплоть до Галилея, который противопоставляет перипатетикам именно платоновско-пифагорейскую традицию. Это, наверно, не случайно, ибо инквизиция явно не могла нападать на платоновскую позицию. Совсем другая ситуация с Демокритом, который всегда был третируем в течение всего Средневековья.

Следует сказать несколько слов о возможном атомизме Платона. Достаточное число ссылок на математический атомизм Платона можно найти у Аристотеля. Но математические точки Пифагора и Платона не имеют онтологического статуса атома. Ведь атом (неделимое) может возникнуть только при актуально бесконечном делении. А Пифагор и Платон не принимали актуально бесконечного деления. Сам Брадвардин говорит о конечном числе неделимых у Пифагора и Платона. Совсем другая ситуация у Демокрита. Демокрит признает атомы (неделимые) и пустоту, возникшие в результате актуально бесконечного деления. Но об этом подробнее уже было сказано в параграфе, посвященном Демокриту.

Осознавая эти различия, Брадвардин вводит в своем трактате разделение на актуальную и потенциальную бесконечность. Он называет их категорематический вид бесконечности и синкатегорематический вид бесконечности. Для него очевидно, что атомизм принципиально невозможен без упоминания актуальной бесконечности. Описывая атомистическую концепцию, Брадвардин вводит понятие точки как неделимого и понятие мгновения. Все это категориальный аппарат математического атомизма.

Но затем, чтобы не попасть под подозрение, Брадвардин приводит длинный список парадоксов, с которыми сопряжен атомизм. Для нас парадоксы квантовой механики, теории относительности и теории множеств стали вполне привычны. Эти парадоксы не являются основанием для отбрасывания этих теорий. Любой атомист должен изначально понимать смысл этих парадоксов. Атомист должен знать, что его теория не соответствует обычной логике и обыденным представлениям об окружающем нас мире. Поэтому изложение этих парадоксов является изложением атомизма.

Брадвардин начинает с изложения следующего парадокса: «Если плоскость состоит из точек, то диагональ квадрата равна его стороне, так как обе состоят из одинакового числа точек. Но диагональ не равна стороне и, значит, плоскость не состоит из точек»[7].

Современная теория множеств избегает этого парадокса с помощью введения метрики. Тогда, хотя число точек и будет одинаково, но расстояние между ними будет разное. Затем приводится еще один парадокс, направленный против тех, кто принимает конечное число неделимых: «Если представить себе, что число точек диаметра окружности конечно, например 10, то столько же точек будет в полуокружности, что ясно, если восстановить в каждой точке диаметра перпендикуляр. Получается, что длина окружности вдвое больше диаметра»[8].

На основании этого парадокса Брадвардин критикует данную позицию: «Утверждение, полагающее, что континуум состоит из конечного числа неделимых, враждебно всем наукам, всем им противоборствует и потому всеми ими единодушно отвергается»[9].

Следует здесь пояснить, что атомизм не принимает конечного числа неделимых в конечном отрезке, ибо это не совместимо с актуальной бесконечностью. Данный парадокс может быть выставлен против Пифагора и позднего Платона. Но те также никогда не утверждали, что линия состоит из точек, и тем более из конечного числа точек. Линия может быть разделена на точки, но это принципиально другая позиция.

Разберем еще несколько парадоксов, которые приводит Брадвардин. Пусть «параллелограмм равновелик прямоугольнику с теми же основанием и высотой (рис. 1.15). Проведем в параллелограмме cgke от всех точек основания се все прямые к точкам противоположной стороны gk параллельно eg. Этих прямых будет столько же, сколько соответствующих перпендикуляров в прямоугольнике cafe, а по длине они превосходят эти перпендикуляры в отношении cg/ca. Если площади состоят из линий, то получается, что параллелограмм больше равному ему прямоугольника в cg/ca раз»[10].

Рис. 1.15

Согласно этому парадоксу получается, что отрезок eg равен отрезку са. Приведем еще один парадокс Брадвардина: «Аналогично можно показать, что треугольник dec с основанием, делящим пополам стороны равностороннего треугольника, и по площади равный четверти последнего одновременно равен его половине, ибо каждая линия в dec равна половине соответствующей линии в ahc»{ (рис. 1.16). Если внимательно посмотреть на рисунок, то ясно, что число линий в треугольнике dec и в треугольнике abc одинаково. При этом длина каждой линии в треугольнике аЪс в два раза больше длины линии в треугольнике dec. Поэтому если обычным образом суммировать линии, то площадь треугольника abc будет в два раза больше треугольника dec, а на самом деле эта площадь больше в четыре раза.

Рис. 1.16

Брадвардин действительно обозначил очевидные сложности в понимании актуально бесконечного количества неделимых. Но его рассуждения вскрывают парадоксальность ситуации только в том случае, если количество линий конечно. В случае бесконечного количества линий уже нельзя использовать соотношения, правильные для конечного числа линий. Поэтому данный парадокс опять же следует отнести к позиции, принимающей конечное число неделимых внутри линии или фигуры. Но сам математический атомизм должен объяснять эти парадоксы, показывая специфичность понимания геометрии с точки зрения актуальной бесконечности.

Теперь пришло время рассказать еще об одном воспитаннике Оксфордского университета — Ричарде Суайнсхеде. Он являлся основоположни- 1

История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 273.

ком теории калькуляций, которая также называлась учением о конфигурациях качеств, о широте форм или о равномерности и неравномерности интенсивностей. В основе его учения лежала идея об изменении интенсивности форм. В своем наиболее интересном аспекте эта теория описывала изменение интенсивности движения. Опять же, как это было тогда принято в Оксфорде, Суайнсхед стоял на позициях атомизма. Им было введено понятие мгновенной, или точечной, скорости. Наряду с этим понятием Суайнсхед вводит понятие мгновенного ускорения.

Вне атомизма не существует мгновений и мгновенных скоростей. Ибо и в философии первоэлементов, и в философии материального эфира скорость и время — величины не мгновенные, а конечные. Новые понятия Суайнсхед применил к изучению неравномерного механического движения. И здесь он получает фундаментальный результат, который всегда ассоциируется с именем Галилея: «Суайнсхед говорит, что при равномерном росте интенсивности средняя интенсивность на некотором промежутке есть средняя арифметическая начальной и конечной интенсивностей»[11]. Это и есть результат Галилея, характеризующий соотношение роста мгновенных скоростей и средней скорости движения.

Но Суайнсхед дает и более сложный результат, который не встречается у Галилея: «Интенсивности на последовательных участках промежутка, разбитого в геометрической прогрессии 1/2, 1/2[12], 1/23, ..., растут в арифметической прогрессии 1, 2, 3, ... . Тогда, согласно Суайнсхеду, средняя интенсивность равна интенсивности на втором из этих дробных промежутков. Мы можем выразить этот результат суммой бесконечного ряда 1/2 х х 1 + 1/2[12] • 2 + 1/23 • 3 + ... = 2, впервые встречающегося в схоластической литературе»[12].

Следует отметить, что Суайнсхед иногда пользуется термином «течение (Jluxus) качества». Это еще больше наводит на параллели с атомизмом Галилея и Ньютона. Кроме Суайнсхеда, в Оксфорде в этот период над развитием атомистических представлений работали Хейтесбери и Дамблтон, т.е. это были не единичные случаи, а достаточно развитая традиция. Атомизм в Оксфорде возник с появлением произведений Архимеда, через которые были переняты атомистические математические методы.

Теперь осталось рассказать наверно о самом известном атомисте XIV в. — Николае Ореме. Для этого покинем атомистический Оксфорд и отправимся во Францию. Появление Николая Орема еще раз свидетельствует о том, что атомизм был достаточно распространенной традицией в XIII—XIV вв. Причем он возник одновременно с аристотелевской традицией, но не смог выдержать конкуренцию, ибо Средневековье — это все же мир философии первоэлементов и материального эфира. Уже скоро атомизм возьмет реванш, но об этом будет рассказано в других параграфах.

Вернемся к Николаю Орему. Он продолжил развивать теорию интенсивности форм Суайнсхеда и внес весьма значительное новшество. Этим новшеством было геометрическое изображение различных видов движени я. Орем писал, что «интенсивности качества непрерывных измеримых величин находятся в зависимости от их экстенсивностей, своего рода их протяженностей (extensio — протяжение), как, например, скорость движения тела от пройденного пути или времени движения»[15]. Линии интенсивности он называл широтами и откладывал по горизонтали, а линии экстенсивности — долготами и откладывал их по вертикали. Так, при описании механического движения по вертикали откладывалось время, а по горизонтали — скорость. Так получалось всемирно известное изображение равномерного и равноускоренного движения, которое все относят к заслугам Галилея. Нет, это заслуга атомизма!

Эти виды движения Орем относил к линейным качествам, интенсивности которых распределены по точкам линии. Орем пытался строить плоскостные и телесные качества. Плоскостные качества он изображал телами с плоскими основаниями. А вот для изображения телесных качеств пытался дать что-то подобное воображаемому пространству четырех измерений. Это, наверно, первое явное упоминание о четырехмерном пространстве, и оно с необходимостью связано именно с атомизмом. Но вернемся к линейным качествам. Орем выделяет три основных типа этих качеств.

  • 1. Равномерные. Их интенсивность (широта) постоянна. Они изображаются в виде прямоугольника.
  • 2. Равномерно-неравномерные. Для них разности широт любых пар точек пропорциональны разности долгот. Здесь зависимость изображается в виде прямоугольного треугольника, если движение начинается с нуля, или в виде трапеции в иных случаях. Этот прямоугольный треугольник и есть галилеевский образ равноускоренного движения.
  • 3. Неравномерно-неравномерные. Здесь разности широт не находятся в соответствии с разностью долгот. Для этих качеств Орем также ввел наглядные изображения. Линии интенсивности (широты) здесь более не будут прямыми линиями. Они могут быть дугой круга или эллипса, либо какой-то иррациональной кривой, либо суммой нескольких кривых линий (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Орем, так же как и Суайнсхед, использует понятие fluxus, говорит о равноускоренном движении и о неравномерном ускорении нескольких видов.

Орем также дает геометрическое доказательство теоремы о равносильности равноускоренного движения и равномерного движения со средней скоростью (рис. 1.18). Это известнейший пример из Галилея.

Рис. 1.18

«Для этого он доказывает равенство площадей прямоугольного треугольника abc или трапеции abdc и прямоугольника abgf, высота которого равна половине высоты треугольника или полусумме основания трапеции»[16]. Здесь прямоугольный треугольник и трапеция выражают равноускоренное движение, а прямоугольник — равномерное со средней скоростью.

Но еще большее удивление вызывает другой результат Орема. В сочинении «Вопросы по геометрии Евклида» Орем установил, что при равноускоренном движении проходимые пути возрастают пропорционально квадрату времени, т.е. за одинаковые промежутки времени расстояния возрастают как последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ... . Кстати, об этом говорили Суайнсхед и Хейтесбери, но только при делении времени движения попалам, и при этом получались числа 1 и 3. Очевидно, что Суайнсхед, Хейтесбери, Орем и позже Галилей лишь воспроизводят более древнюю атомистическую традицию.

Орем использует для описания более сложных движений различные бесконечные ряды. Получается, что члены ряда — это широты, выложенные вдоль долготы. Для механического движения речь идет о мгновенных скоростях, построенных вдоль линии времени, а принцип суммирования точно такой же, как и при равномерном и равноускоренном движениях. При этом ряд может сходиться к некоторой сумме, а может расходиться. Орем приводит пример движения, выраженного сходящимся рядом 1 + + 1/2 + 1/4 + ....

Этому ряду соответствует движение, скорость которого постоянна, но каждый день уменьшается в два раза. Орем пишет, что тело «только за всю вечность пройдет путь, вдвое больший того, который был пройден за 1-ю часть времени. Но какой бы отрезок пройденного пути нс брать, он всегда будет меньше, чем удвоенный отрезок пути, пройденного в первый день»[17]. Причем получаемая фигура имеет конечный объем, но простирается в бесконечность. Данный ряд описывает движение, которое постоянно замедляется и стремится к нулю. Но окончательное прекращение этого движения невозможно. Это затухающее движение. Для иллюстрации Орем представляет этот ряд геометрически (рис. 1.19).

Рис. 1.19

Здесь же Орем приводит пример расходящегося ряда. Это гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... Сумма гармонического ряда бесконечно возрастает и не сходится ни к какому пределу. Орем показывет, что 1/3 + + 1/4 будет больше 1/2, также и сумма от 1/5 до 1/8 и т.д. Расходящийся ряд — это обычное движение, которое не затухает и будет продолжаться вечно.

Значение средневекового математического атомизма очень велико. После своего появления в начале XIII в. математический атомизм быстро расцвел в оксфордской и парижской школах калькуляторов. Все полученные результаты затем будут воспроизведены атомистами XVI—XVII вв., в первую очередь Галилеем и Ньютоном. Причем ни Галилей, ни Ньютон не ссылаются на средневековых атомистов, ибо все эти результаты черпаются из единого непатентованного источника — древнего атомизма. Следует также отметить, что Галилей ввел еще сложение скоростей и описал траекторию брошенного тела. Этих результатов в явном виде не было у средневековых атомистов.

  • [1] Архимед. Сочинения. Вступительная статья И. Н. Веселовского. С. 54.
  • [2] Там же.
  • [3] Лаплас П. С. Изложение системы мира. М., 1982. С. 264.
  • [4] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 259.
  • [5] Там же. С. 270.
  • [6] Зубов В. П. Трактат Брадвардина «О континууме» // Историко-математические исследования. М., 1960. Вып. 13. С. 402-403.
  • [7] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 270.
  • [8] Там же. С. 272.
  • [9] Зубов В. П. Указ. соч. С. 441.
  • [10] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 273.
  • [11] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 274.
  • [12] Там же. Т. 1. С. 275.
  • [13] Там же. Т. 1. С. 275.
  • [14] Там же. Т. 1. С. 275.
  • [15] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 277.
  • [16] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 279.
  • [17] Орем II. Трактат о конфигурации качеств // Историко-математические исследования.М, 1958. Вып. II. С. 637.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>