Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Логарифмы

В XVI в. основное внимание атомистической математики было уделено вопросам нахождения центров тяжести. Центр тяжести замещает собой всю фигуру или объемное тело, которое как бы схлоиывается в этой замечательной точке. Таков статический аспект атомизма. Но еще Архимед ввел динамический аспект в изучении неделимых. В этом случае неделимые понимаются в движении. Первые серьезные успехи в описании динамики неделимых принадлежат Кеплеру. Но это было только начало раскрытия тайн динамики атомов.

Самыми простейшими динамическими объединениями неделимых являются различные прогрессии. Прогрессия позволяет описать расположение неделимых в том случае, когда они взаимно непрерывно связаны между собой. Наиболее простые связи между неделимыми описывают арифметические прогрессии. Они позволяют математически выразить равномерные и равноускоренные движения. Другой вид прогрессии — это геометрические прогрессии.

В случае геометрической прогрессии члены прогрессии оказываются непрерывно пропорционально связаны между собой. То есть члены геометрической прогрессии находятся во взаимном отношении друг с другом. Например, дано некоторое число и от него берется какая-то часть. Если эта операция взятия части снова будет осуществлена уже над полученным ранее членом прогрессии, то речь идет о взятии двойного отношения, или второй степени. Если еще раз повторить эту операцию, то будет уже тройное отношение, или третья степень, и т.д. «Более общее понимание степени появилось в связи с учением о пропорциях и прогрессиях. Со времени Евдокса отношение служило общим выражением величины, и п-я степень отношения b/а у Евклида представляется как отношение между (п + 1)-м и 1-м членом непрерывного ряда пропорций, в котором а — первый член, b — второй»[1].

Если число членов прогрессии актуально бесконечно, то такими прогрессиями занимается атомизм. Если отношения двойные, тройные и т.д. (вторая, третья и т.д. степени), то любое уменьшение или нарастание величины будет дискретно, т.е. уменьшение или увеличение будет происходить скачками. Но между этими значениями также располагаются значения. При актуальном делении они имеют смысл. Поэтому атомизм обязан их описать. Для этого и вводятся нецелые отношения, которые как бы располагаются между целыми отношениями. Так же возникают и отрицательные отношения.

В Античности первым нецелые отношения ввел атомист Архимед. Он говорил о «полуторном отношении -^-»[2]. В Новой Европе первым о пеце-

tlb

лых отношениях заговорил Брадвардин, о взаимоотношениях с атомизмом которого писалось выше. Брадвардин вводит «половинное отношение»

  • —г= именно в связи с изучением вопросов механики. Он пытался выве-

сти новый закон механического движения, отличный от аристотелевского. Согласно Аристотелю, скорость тела прямо пропорциональна величине силы и обратно пропорциональна сопротивлению среды. Брадвардин ввел для описания движения двойные, тройные и более того составные отношения. Тем самым он пытался заменить простые пропорциональности Аристотеля. Этому вопросу была посвящена целая книга «Трактат об отношениях, или об отношениях скоростей при движениях».

Атомист Николай Орем посвятил отношениям два трактата «Трактат об отношениях» и «Алгоритм отношений». Оба трактата были напечатаны в начале XVI в. и были хорошо известны в Европе. Во втором трактате

Орем вводит четвертные, полуторные и другие дробно-рациональные отно- 1 I з

шения (я2, аЛу a^w т.д.). Орем словесно формулирует многие правила операций с такими отношениями. «Орем подошел и к понятию иррационального показателя как отношения, “знаменование” которого “невыразимо” или “непознаваемо”. Такие отношения, писал Орем, можно заключать между “достаточно близкими” целыми или дробными»[3]. Очевидно, что Орем уже понимает необходимость введения всех степеней как выражения составных отношений. Ведь тогда можно будет уловить минимальные изменения значения скоростей движения или изменения величин вообще. Причем самое важное, что этим способом можно описать именно мгновенные скорости, что обязательно для атомизма. Но в XIV в. европейская математика еще не была готова к таким выводам.

Введение непрерывных показателей степеней было сделано в конце XVI в., а впервые опубликовано только в начале XVII в. Именно тогда благодаря Галилею и Кеплеру атомизм превратился в мощнейшую научную традицию. И для описания в первую очередь астрономических явлений атомизму понадобился ряд непрерывно пропорционально изменяющихся чисел. Этот ряд дали показательная функция с непрерывно изменяющимся показателем степени ах и обратная ей логарифмическая функция. Приоритет в создании логарифмов принадлежит шотландскому барону Д. Неперу. Но практически одновременно с ним логарифмы были созданы в рамках атомистического круга Кеплера.

Швейцарец Й. Бюрги, в 1603 г. сблизившийся с Кеплером, примерно к 1610 г. рассчитал собственную таблицу логарифмов. Бюрги задержался с публикацией своих логарифмов, за что его не раз потом порицал Кеплер. Непер также не спешил с публикацией логарифмов, задержав их выход как минимум на 20 лет. По пошатнувшееся здоровье вынудило его это сделать в 1614 г. Думается, что это в немалой степни связано с атомистической сущностью логарифмов. А в начале XVII в. атомизм был еще далеко не господствующей научной доктриной. Но его время уже пришло. Господствующая традиция позднего Средневековья аристотелизм уже не переживет XVII в.

И Бюрги, и Непер осознали мысль о необходимости введения составных отношений внутри стандартной геометрической прогрессии. Но непосредственно использовать нецелые степени они оба посчитали не очень удобным. Поэтому оба домножили и значения членов ряда прогрессии, и составные показатели на достаточно большое целое число. Непер, например, домножил на 107. Именно из-за этого дробно-рациональные степени и превратились в большие целые числа. Но смысл логарифмов от этого не изменился! Ведь даже сам перевод слова «логарифм» с латинского означает «число отношения». А отношение понимается в античном смысле как показатель степени (двойные, тройные или составные отношения).

Знаменатель прогрессии был выбран обоими учеными близким к 1. Так, Бюрги использовал 1,00001. Это позволяет получить члены геометрического ряда достаточно недалеко отстоящими друг от друга. Ведь все усилия направлены на достижение минимальных интервалов. В идеале необходимо добраться до самих неделимых.

Здесь хотелось бы сделать существенное замечание. Логарифмы следует понимать не как вспомогательные средства вычисления, а как своеобразное атомистическое выражение геометрической прогрессии. Функция вспомогательного средства вычисления вторична и несущественна. Ведь Ненер так говорил о логарифмах: «Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения»[4]. Вычисление всех геометрических размеров и движений является сутью атомистической математики, а не ее вспомогательным средством.

Таблицы логарифмов Непера — это таблицы вычисления линий синусов и косинусов. Сразу отметим, что линия синуса — это полухорда дуги круга. Сам же синус — это отношение радиуса круга к линии синуса. Это надо иметь в виду, чтобы не пу гаться. Синусы в круге — это один из примеров геометрической прогрессии: «синусы или натуральные числа, следующие в геометрической прогрессии»[5]. Поэтому Непер вычислил логарифмы как числа отношений непрерывной геометрической прогрессии на примере тригонометрической линии синусов.

Итак, значения линий синусов и косинусов выстраиваются в геометрическую прогрессию. Получается, что геометрическая прогрессия покрывает непрерывно связанными отрезками (полухордами) всю четверть круга. По Неперу, линии синусов выстраиваются по убывающей геометрической прогрессии. Так получается четверть круга, которая делится на неделимые линиями синусов. А логарифмы позволяют их располагать через относительно равные минимальные участки. Полный синус, соответствующий радиусу круга, равняется 107. Остальные синусы будут уменьшаться до нуля, причем каждый раз они должны уменьшаться на одну минимальную часть, которая в идеале атомизма есть единичная неделимая точка.

Теперь воспроизведем некоторые вычисления Непера. При у0 = r= 107 х0 = 0. Это положение дел в начале движения, когда и У, и X находятся в точках А и О соответственно (рис. 1.26).

Рис. 1.26

Причем данные значения происходят из-за того, что у отсчитывается от В, а х — от О. Скорость У, пропорциональная расстоянию до точки Я, составляет геометрическую прогрессию. Эта скорость и дает ряд уменьшающихся линий синусов. В то же самое время X движется равномерно.

Движение по X соответствует арифметической прогрессии и обозначает изменение степени показательной функции у = ах.

Основная сложность возникает при нахождении скорости У и X в первоначальных точках А и О. Для определения этой скорости Непер использует определение: «Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равнобыстры»[6].

Из этого определения следует, что скорости в этих точках будут одинаковы для У и X. Поэтому надо найти скорость по У, и тогда автоматически будет получена скорость по X. Это Непер делает, используя весьма сложное рассуждение. Вот как описывает этот ход мысли Цейтен: «Непер пользуется для этого тем обстоятельством, что, по определению, скорость У уменьшается. Так как скорость, с которой точка У проходит через Л, равна той, с которой точка X проходит через О, то отрезок г - у, отложенный вправо от Л, меньше, чем соответствующий отрезок х. По той же причине в то время, когда точка X находилась на таком же расстоянии х влево от О, точка У была влево от Л на большем расстоянии. Расстояние это равно

—(г - у); его легко найти, приняв во внимание, что когда значения х обра- У

зуют арифметическую прогрессию, то значения у составляют прогрессию геометрическую»[7].

Тогда хх окажется заключенным между двумя значениями: г - у < хх < т

< —(г - у). Так находится общая формула для нахождения скорости по X. У

Теперь надо вычислить ее для первого момента после точки Л. В момент после перехода точки Л у становится на единицу меньше, т.е. у = г - 1 = = /*(1 - 1 /г). Это означает, что полный синус, равный r= 107, станет на одну неделимую меньше, т.е. у -г - 1. Подставляем это значение в левую и правую части неравенства. Тогда левая часть будет преобразована следующим образом: r-y = r-(г - 1) = 1. А правая преобразована так:

г 1

Следовательно, 1 < х* <-=-Значение г= 10/. Подставляем его

г-1 ,.1

г

и вычисляем. Получаем 1 < хх < 1,0000001000000. И Непер берет среднее арифметическое, которое равно 1,00000005.

Послетого как Непер находитаначениедг^он переходиткотысканиюзначе-

( 1Y

ния хп. «Значению хп = пх{ соответствует у -г 1 — , и последовательное

V г)

( о

вычисление г/„ облегчается тем, что уп = уп { 1 — = уп_{ - 0,0000001г/„ t,

г)

т.е. что уп может быть образовано вычитанием из уп_{ числа с теми же цифрами, перенесенными на семь знаков вправо»[8]. Степень п указывает, что операцию г - 1 = г(1 - 1 /г) надо произвести п раз. Непер об этом пишет следующим образом: «Если из полного синуса с добавленными семью нулями ты вычтешь его 10 000 000-ю часть, а из полученного таким образом числа — его 10 000 000-ю часть и т.д., то этот ряд можно легко продолжить до 100 чисел в геометрическом отношении»[9]. В этом и состоит смысл геометрической прогрессии. Математически Цейтен выше записал это как уп_ 1 - 0,0000001^.!.

Вот как это Непер производит конкретно на цифрах: «Итак, из полного синуса с добавленными (для большей точности) семью нулями, а именно 10 000 000,0000000, вычти 1,0000000, будет 9999999,0000000, из этого вычти 0,9999999, будет 9999998,0000001, и продолжай гак до тех пор, пока не образуешь сто пропорциональных, последнее из которых, если расчет произведен правильно, будет 9999900,004950»[10]. Используя такого рода рассуждения, Непер выстраивает таблицу значений геометрического ряда. И этому ряду будут соответствовать логарифмы, порожденные но формуле хп = пхь где х{ равно 1,00000005. Так возникает множество линий синусов, расположенных внутри четверти круга.

Если п — число конечное, то получаются конечные интервалы. Но если мы реально хотим взять мгновенные скорости, то полный синус надо делить актуально на актуально бесконечное количество неделимых частей- точек. Тогда гуже не будет равно 107, а будет равно °°. Тогда отнимать тоже будут одну неделимую. И, соответственно, эту операцию надо проводить бесконечное количество раз. Тогда получается число е, которое является основанием натурального логарифма. Сам же натуральный логарифм оказывается всецело атомистической функцией, реализующей понимание актуальной бесконечности. Для атомизма наиболее естественен натуральный логарифм, а десятичный логарифм более пригоден для изучения дискретных количеств.

  • [1] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 142.
  • [2] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 271.
  • [3] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 276—277.
  • [4] Непер Дж. Построение удивительных таблиц логарифмов // Хрестоматия по историиматематики / под ред. А. П. Юшкевича. М., 1977. Т. 2. С. 37.
  • [5] Там же. С. 39.
  • [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 59.
  • [7] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 147.
  • [8] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 148.
  • [9] Непер Дж. Указ. соч. С. 38.
  • [10] Там же. С. 38.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>