Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Атомизм Ньютона

Атомистическая традиция в Англии была очень сильна еще со времен оксфордских калькуляторов. Лондонское Королевское общество было основано учеными, которые придерживались этой позиции, в противовес перипатетической традиции. Из видных английских атомистов середины XVII в. следует отметить Бойля и лорда Броункера, первого президента Лондонского Королевского общества. «Так, многие ученые, придерживавшиеся атомной гипотезы, представляли себе атомы абсолютно плотными и неделимыми. Под количеством материи в теле они понимали количество атомов в нем или же количество того однородного материала, из которого вылеплены атомы. Этой точки зрения придерживался, по-видимому, и Ныотон, считавший, что все тела состоят из неделимых и неизменных атомов. Правда, определяя понятие количества материи, Ныотон ничего не говорит об атомах. Однако из его других высказываний можно определенно утверждать, что он придерживался атомистической гипотезы»1.

Но во второй половине XVII в. атомизм повсеместно вытесняется новомодным картезианством, которое было своеобразным переходным этапом, обеспечивающим более безболезненный процесс секуляризации новоевропейской науки.

Наиболее влиятельным картезианцем в широком смысле слова следует считать Р. Гука. Именно с ним и столкнулся молодой атомист И. Ньютон. Это философское столкновение было очень болезненным для Ньютона, и он пообещал более не вступать в метафизические споры. С этого момента он открыто не высказывался в пользу атомизма, сам не критиковал эфирные концепции. Более того, в первом издании «Математических начал натуральной философии» высказывалось одобрение эфирной концепции.

Зато во втором прижизненном издании ученик Ньютона Р. Котес в резкой форме высказывался об эфирной теории: «Мы не допускаем возможности объяснить совершающиеся явления вихрями, потому что это нашим автором доказано с совершеннейшею ясностью и полнотою, и надо обладать большою склонностью к бредням, чтобы напрасно затрачивать труд на подновление нелепейшей выдумки и на украшение ее новыми пояснениями»[1] [2].

Это было, очевидно, столкновение двух линий. «Резкая полемика и все выпады Котеса против вихрей направлены не столько против Декарта, как против Лейбница, который напечатал в 1689 г., т.е. через два года после издания ньютоновых “Начал”, статью под заглавием “Tentamen... as’ronomiae”. В этой статье он объясняет движение небесных тел не только действием силы, направленной к Солнцу, но еще и переносом их жидкостью, движущейся вместе с ними. Лейбниц затем неоднократно возвращался к этому вопросу, упорствуя в своем заблуждении. Надо также иметь в виду, что второе издание “Начал”, редактированное Котесом, совпало по времени с самым разгаром спора между Ньютоном и Лейбницем об открытии исчисления бесконечно малых, или метода флюксий, — по терминологии Ньютона, и дифференциального исчисления — по терминологии Лейбница»[3].

Теперь рассмотрим те новые идеи, которыми Ньютон обогатил математическую атомистическую теорию. Ньютон первоначально вносит новые идеи в решение динамической задачи атомизма, т.е. в интегрирование. Напомним еще раз. Динамика атомизма занимается построением, например, линий из точек посредством течения (движения) точки. Это общая установка атомизма наряду с обратной задачей — из, например, двумерной фигуры найти дифференцированием ее неделимую линию.

Обе эти задачи Ньютон пытается разрешить с помощью своего метода флюксий: «В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических, так и в математических терминах: 1. Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами. 2. По заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями»[4].

Решение первой задачи позволяет определить мгновенную скорость (флюксию) атома, который своим движением вычерчивает некоторую линию (флюенту). Вторая задача позволяет найти первообразную данной функции. Таким образом, зная мгновенную скорость атома, можно узнать весь путь, который он пройдет.

Для атомизма всякая функция — это способ расположения мгновенных скоростей текущей точки. На линии времени выстраиваются перпендикулярно вверх ординаты. Эти ординаты обозначают мгновенные скорости атома при течении (образовании линии). Пройденный атомом путь следует представлять как площадь фигуры, полученную путем сложения мгновенных скоростей. Простейшие фигуры возникают при равномерном и равноускоренном движении. Но мгновенные скорости могут описываться весьма сложной функцией. Это происходит тогда, когда атом движется под воздействием множества самых разных сил. Тогда возникают весьма сложные фигуры. И эти сложные функции следует согласно математической практике атомизма сводить к более простым видам ординат (мгновенным скоростям).

До Ньютона более использовали статические методы атомизма. Суть их заключалась в преобразовании одних совокупностей неделимых в другие. Это позволяло сводить сложные фигуры и объемы к более простым.

Но Галилей активно ввел динамические методы Архимеда. А здесь обязательно использовались бесконечные прогрессии. И теперь надо было в полной мере освоить это наследие древнего атомизма. Заслуга Ньютона и состояла в решении этой задачи. Необходимо было произвести различные бесконечные суммирования. Так стала постепенно возникать теория бесконечных рядов.

Новые идеи Ньютона были изложены в неопубликованном при жизни произведении «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов». Здесь были изложены результаты, которых достиг Ньютон в самом начале своей научной карьеры. «Главной целью названной работы было показать, как можно производить квадратуры общим способом, разлагая для этого у = f(x) в степенной ряд и применяя к последнему известный прием интегрирования. Для получения рядов Ныотон пользовался разными приемами: делением, как Меркатор, извлечением корней, теоремой о биноме (в случае целых положительных показателей) и приближенным представлением корней уравнения, коэффициенты которых суть рациональные функции одного переменного»[5].

Итак, новизна состояла в тотальном применении степенных рядов как основном приеме интегрирования. Смысл заключается в следующем. Берем любую функцию и раскладываем ее в степенной ряд, а затем почленно его интегрируем. Почленное интегрирование степенного ряда можно осуществить без особых трудностей. Формулы для этого широко известны со времени работ Галилея и Кавальери. Формулы для интегрирования первой и второй степени описал еще сам Архимед.

«Ньютоновы бесконечные ряды в первую очередь представляли собой средство для квадратур, так как с их помощью подлежащая интегрированию величина получала вид, удобный для интегрирования»[6].

Зато первый этап разложения в ряд требует большого мастерства. Не всегда все оказывается так просто, как при делении ряда Меркатора. Основные разложения Ньютона для тригонометрических функций достигнуты весьма сложным путем приближенного решения. Часть решений была достигнута с помощью биноминального ряда для любых показателей, открытого Ньютоном.

Операция разложения сама по себе является более удобным представлением неэлементарных неделимых. Функция атомизма — это выражение для единичного неделимого. Наиболее распространенное неделимое атомизма — это линия. И из этой линии образуются площади под кривой. Функция как раз выражает эту ординату. Сложная ордината, например линия синуса, приближается суммой ординат ряда из более простых функций. Степенной ряд есть выражение наиболее простого элементарного образования линии путем движения точки. Степенной ряд следует понимать как суммирование мгновенных скоростей отдельной точки.

Рассмотрим, как происходит приближение. Первый член ряда покрывает основную часть ординаты разлагаемой функции. Остальные члены ряда доводят ряд до максимально близкого значения искомой ординаты. Представить это можно следующим образом. К первому отрезку ряда сверху приставляется второй отрезок (второй член ряда), затем третий и т.д. Но полученная сложенная линия лишь приблизительно будет соответствовать искомой ординате (искомой неделимой). Здесь же возникает и вопрос о сходимости. Когда говорят о сходимости, то речь идет о том, что сумма бесконечного ряда должна быть конечной. Она должна с некоторым приближением совпасть с мгновенной скоростью искомой ординаты.

Но вернемся к Ньютону. Посмотрим, как конкретно производится разложение в ряд. По существу происходит преобразование одной ординаты с одним законом образования в другую с другим законом образования. Ордината степенного ряда много проще, например, тригонометрической ординаты. Сначала приведем пример разложения в степенной ряд ординаты гиперболы, которое произвел Николай Меркатор. Ордината гиперболы равна у = 1/(1 + х), а ордината степенного ряда, которая ее приближает, равна у = 1 - х + х2 - х3 + ... . Как Меркатор пришел от одной ординаты к другой? Это было произведено с помощью элементарного деления 1 на 1 + 0,1 или 1 на 1 + 0,21.

Это деление с помощью известного школьного правила сейчас же можно произвести без особых сложностей. Результат для первого значения будет следующий: 1 - 0,1 + (0,1 )2 - (ОД)3 +.... Степень здесь обозначает (0,1)° = = 1; (ОД)1 = ОД, т.е. само это число; (ОД)2 — что от 1/10 взяли 1/10; (ОД)3 — что от 1/10 взяли 1/10, а затем от получившейся 1/100 взяли еще раз 1/10. И так разбираются все степени. Кстати, этот способ соответствует геометрической прогрессии. В свою очередь геометрическая прогрессия составляет суть логарифмирования. Поэтому равносторонняя гипербола у = 1/(1 + х) и в более общем виде 1/х будет связана и с геометрической прогрессией и с логарифмированием. Эту связь нашли Григорий Сен-Винсент и Ферма:

J— = In—. Итак, более сложная ордината гиперболы была выражена Мер- п х b катором через сумму более простых степенных функций. Иначе говоря, неделимая гиперболы заменена на сумму неделимых степенных функций. Сам по себе ряд из степенных функций следует понимать как различные модификации геометрической прогрессии. И именно прогрессии являются основными инструментами динамического метода атомизма.

Сейчас попытаемся разобраться в том, как Ньютон получил разложение биномиального ряда. Биномиальный ряд открывал возможности для нахождения площадей многих важных кривых линий. В первую очередь речь идет о площади кругового сегмента, которая сразу открывает возможность для нахождения площадей всех тригонометрических линий. Точно так же биномиальный ряд открывал прямую дорогу для вычисления площади гиперболы, а через нее и всех соотношений для показательной и логарифмической функций. Ньютон начал с исследований Валлиса по площади гиперболы, о которой выше уже говорилось, и площади круга. «В начале моих занятий математикой я наткнулся при изучении работ нашего знаменитого Валлиса на рассмотрение рядов, с помощью интерполирования которых он определял площади круга и гиперболы»1.

Ньютон рассматривает неделимые вида (1 - х[7])т> где т может принимать целые и дробные значения. Часть этих неделимых была вполне очевидна. Например, при т = 2 получался обычный алгебраический двучлен. Но случай, когда т принимало другие целые и дробные значения, был практически не исследован. Получаемые при этом неделимые еще не были известны. До Ньютона новоевропейская атомистическая традиция еще не знала, как их выразить математически. При суммировании (течении) эти неделимые также образовывали площади, которое не были известны. Ньютон приступил к решению этой задачи, опираясь на «Арифметику бесконечных» атомиста Валлиса, которую тот выпустил в 1656 г.

Основные открытия в «Арифметике бесконечных» были сделаны «с помощью особого рода интерполирования последовательностей — вставки между их членами с целыми номерами промежуточных членов с дробными индексами. Само слово interpolare (сглаживать, переделывать) Валлис употребил в качестве математического термина впервые»[7]. По Валлису, можно было найти неизвестную неделимую между значениями двух известных простейших неделимых. Валлис брал простейшие неделимые вида у = хп. Они являлись простейшими, когда п — целое. Тогда квадратура этих неделимых осуществляется через суммы п-х степеней натуральных чисел. «Как мы увидим, для натуральных значений п Валлис осуществил это с помощью сумм п-х степеней натуральных чисел, а полученный по неполной индукции результат распространил на дробные и рациональные значения показателя п». Сначала Валлис брал уже хорошо известные квадратуры, а уже между ними искал неизвестные. Этот поиск делался с помощью использования арифметических и геометрических прогрессий. Именно они были ключом, открывающим двери динамических методов атомистической математики.

Вот способ рассуждения атомиста Валлиса в современных обозначе-

х п +1

ниях. Для любого целого п верна формула xndx = ——, тогда при пре-

о " + 1

1 1 1 1

делах интегрирования от 0 до 1 jx°dx = - и jxxdx = —. Обозначим знаме-

о 1 о 2

1 1

нагели дробей через /0 = 1 и = 2. Положим xx^dx = -— и попытаемся

О *1/3

1

наити значение интеграла -— посредством следующей интерполяции

*1/3

между i0 и ц. Напишем геометрическую прогрессию значений неделимых: .г° — х1/ — х[7]/ — хх, а показатели степеней выстроим в арифметическую прогрессию: 0, 1/3, 2/3, 1. Также, по Валлису, надо выстроить арифметиче-

2

что члены последней прогрессии будут взяты как -. Теперь соотнесем

i

1 3 1 3

все три прогрессии и получим jx^^dx = —, jx2^dx = —. Эго и есть про-

о 4 0 5

стейшая интерполяция по Валлису. Опять же главенствующую роль, как и в логарифмах, играет соотношение геометрической и арифметической прогрессии. И неизвестные значения интегралов находятся через извест- 1 1 1 1

ные x®dx = - и x{dx = —. Абсолютная значимость результата заключа- о 1 о 2

ется в том, что арифметические и геометрические прогрессии выступают посредниками в нахождении новых еще неизвестных неделимых.

Вычитав метод интерполяции у Валлиса для у = хп, Ньютон начинает искать следы прогрессий при исследовании неделимых вида (1 - х2)т. И такие прогрессии действительно находятся. Ньютон пишет последовательно ординаты, площади и результаты интерполяции. Попробуем для наглядности изложить это в виде таблицы:

(1 -*2)0/2

(1 2у/2

(1 -*2)2/2

(1 — *2)3/2

(1 2у/2

(1 -*2)5/2

(1 - X2)6/2

  • 1
  • 1Х

1 1 3

Iхх

1 2 3.1 5 1 3х 5я

  • 1 з з
  • 1 3х 3 5 1 7 + 5* ~1Х

3

г 2 3 X--y

3я

Ф

Первая строка — это собственно сами неделимые. В таблице представлены первые семь неделимых, но, очевидно, что это количество можно дальше продолжить. Во второй строке даны элементарные результаты интегрирований для целых степеней неделимых. Для трех остальных неделимых такое элементарное суммирование невозможно. Поэтому во второй строке наличествуют пробелы. Зато третья строка как раз и дает три результата интерполирования, точнее, первые два члена ряда. Они получены так. Ньютон замечает, что «1/Зх3, 2/Зх3, З/Зх3 и т.д. образуют арифметическую прогрессию, откуда следует, что два первых члена интерполируемых рядов

  • 1 3 5
  • 2 2 з 2 з

ДОЛЖНЫ быть X - ~х у х - ~х У X - ~х »1.

3 3 3

Ньютон пока нашел только по два члена ряда. Но далее он замечает, что во второй строке знаменатели 1, 3, 5, 7 и т.д. составляют опять же арифметическую прогрессию. А числители выстраиваются в интересную комбинацию 1;1 — 1, 1 — 2 — 1,1 — 3 — 3 — 1,1 — 4 — 6 — 4 — 1 (этих числителей нет в таблице, но они появятся, если таблицу продолжить) и т.д. Ныотон тут же делает вывод, что это цифры степеней числа одиннадцать 11° = 1,

II[10] = 11 (цифры 1 и 1), ll[11] = 121 (цифры 1, 2, 1), ll3 = 1331 (цифры 1, 3, 3, 1) и т.д. Чтобы но перегружать изложение цифрами, отметим, что Ньютон на основе найденных прогрессий опять проводит интерполяции. И так находит остальные коэффициенты членов рядов, т.е. не только х3, но и х5, х7 и т.д.

На этом пути интерполяций Ньютон находит площадь кругового сегмента, площадь гиперболы и других кривых. Но Ньютону не очень нравились интерполяции, ибо они более похожи на чудесные жонглирования числами, чем на классические геометрические доказательства. «Желание подлинно доказать эти заключения привело меня к попытке рассмотреть, нельзя ли, наоборот, эти ряды, представляющие собой таким образом корни величины 1 - х[11], извлечь из нее арифметическим путем. И дело хорошо удалось»[10].

Опустим ньютоновские выкладки извлечения корня и продолжим его мысль: «Установив это, я совершенно отказался от интерполирования рядов и стал употреблять только эти действия, как представляющие более естественную базу. Не упустил я и приведения посредством деления, что представляет собой вещь значительно более легкую. Вскоре я подошел и к решению неявных уравнений и овладел ими. Отсюда я смог находить по данным площадям и дугам кривых ординаты и отрезки осей и другие прямые»[11].

Таким образом, первоначально Ньютон пришел к коэффициентам биномиального ряда методом интерполяции. Ньютон не шел ощупью или случайно, логарифмы и интерполяции Валлиса подтверждали эвристическую ценность арифметических и геометрических прогрессий в рамках атомистической методологии. Но метод интерполяций слишком метафизичен и атомистичен, поэтому Ньютон попытался дать алгебраическое решение через извлечение корня. Повторяется история Архимеда, который находил результаты атомистическими методами, а потом подтверждал их методами других математических традиций. Как пишет сам Ньютон, с помощью извлечения корня он получил те же результаты. Правда, попытки Ньютона дать строгое доказательство биномиального ряда не были восприняты как достаточно убедительные.

Теперь посмотрим, как Ньютон смог разложить в степенной ряд тригонометрические функции. Сначала скажем несколько слов о принципиальной возможности такого разложения. Через логарифмы выражаются синусы, косинусы и остальные тригонометрические функции. Например, таковы логарифмы синусов и косинусов Непера. Логарифмы находятся в математической связи с геометрической прогрессией. А геометрическая прогрессия — это наиболее простой случай степенного ряда. Значит, тригонометрические функции должны выражаться через степенные ряды. Тогда степенные ряды, как более общий случай геометрической прогрессии, смогут заменить весь аппарат логарифмирования. И тогда неимоверно возрастет роль дифференциального и интегрального исчисления, а логарифмирование превращается во вспомогательное средство вычисления. Теперь должен появиться человек, который этот шаг осознает и сделает. Таким человеком и стал Ньютон.

Опишем порядок, каким Ньютон постепенно находил одну за другой трансцендентные функции, и в том числе тригонометрические. «Примененный для решения уравнений метод неопределенных коэффициентов Ньютон использовал для обращения рядов и таким путем получил впервые целый ряд бесконечных рядов для простых трансцендентных функций. Так, обращая логарифмический ряд, он открыл ряд для ех; с помощью теоремы о биноме и интегрировании нашел ряд для arcsinr, обращение которого дало ему ряд для sinx в свою очередь отсюда, путем извлечения корня, он вывел ряд для cosx и т.д.»[15]

Итак, вначале был биномиальный ряд, который дал решение для площади кругового сегмента. При получении arcsinr Ньютон использует

jV 1 - t2dt, интегрирование которого уже не составляет для него труда о

после биномиального ряда. Этот интеграл выражает площадь кругового сегмента adeb (рис. 1.29), при этом ad = db = 1 = R и de = х От площади этого сегмента необходимо отнять треугольник deby площадь которого

Х — X2

равна---, так как сторона этого треугольника de = х, а вторая его

сторона (высота) eb = ylbd2 - de2 = V 1-х2. В окончательном виде площадь кругового сектора adb выражается так2:

Рис. 1.29

Получив arcsiar, Ныотон использует метод неопределенных коэффициентов Декарта в соединении с методом последовательных приближений для обращения ряда для arcsiar в ряд для siar. Проведем необходимые математические выкладки:

История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 230.

1 3 г

Возьмем часть этого ряда — первые три члена: s = х + — х3 + -^х5. Далее

Ньютон берет х и выражает его через s: х = Asa + р. Теперь надо х подставить в выражение для 5, при этом попытаться сократить член с s низшей степени. Для этого полагается А = 1 и а = 1. Получаем х = 1 • s[16] + р = s + р. Теперь подставляем это значение х в выражение для s и получаем

После сокращений и разложений имеем

Теперь также ищем члены разложения для р. В окончательном виде ряд для х = sin s выглядит так:

Теперь найдем ряд для cosx, учитывая, что cosx = V1 - sin2*. Ньютон получает ряд

Сделаем последнее замечание по разложениям в ряды у Ньютона. Если ордината какой-либо сложной функции плохо раскладывается в степенной ряд, то ее, но Ньютону, следует заменить ординатой параболы высшего порядка и только потом раскладывать в степенной ряд.

Теперь рассмотрим еще один способ, который Ньютон использует для нахождения разложения ординаты в степенной ряд. Речь пойдет о методе последовательных приближений. «Предпочтительно, однако, Ньютон пользуется для нахождения разложения у методом последовательных приближений, который он в “Методе флюксий” систематически применяет ко всем задачам»[16]. Поясним это на примере уравнения: у' - 1 - Зх + у + х2 + ху. Сначала Ньютон отбрасывает в правой части этого уравнения все члены, кроме первого. Получаем, что неделимое у' = 1. Квадрируем его: у = х. И подставляем результат квадрирования в основное уравнение: у' = 1 - Зх + х + х2 + + х2 = 1 - 2х + 2х2. Теперь Ньютон отбрасывает член с х2. Получилось у' = = 1 - 2х. Снова квадрируем: у - х - х2. Снова подставляем в основное уравнение и так действуем необходимое число раз, чтобы найти нужное число членов степенного ряда. В нашем примере получаем у = х - х2 + 1/Зх3 и т.д.

  • [1] Спасский Б. И. История физики. В 2 т. М.: Высшая школа, 1977. Т. 1. С. 136
  • [2] Ныотон И. Математические начала натуральной философии. Предисловие Котеса. М.,1989. С. 14.
  • [3] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Предисловие редактораиздания. М., 1989. С. 14.
  • [4] Рыбников К. Л. Указ. соч. Т. 1. С. 173.
  • [5] Вилайтнер Г. Указ. соч. С. 119.
  • [6] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 380.
  • [7] Хрестоматия по истории математики. Т. 2. С. 85.
  • [8] Хрестоматия по истории математики. Т. 2. С. 85.
  • [9] Хрестоматия по истории математики. Т. 2. С. 85.
  • [10] Хрестоматия по истории математики. Т. 2. С. 88.
  • [11] Там же.
  • [12] Там же.
  • [13] Хрестоматия по истории математики. Т. 2. С. 88.
  • [14] Там же.
  • [15] Вилайтнер Г. Указ. соч. С. 120.
  • [16] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 393.
  • [17] Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 393.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>