Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Работа И. Ньютона «Математические начала натуральной философии»

Теперь рассмотрим одно из самых выдающихся математических приведений европейской цивилизации — «Математические начала натуральной философии». Во второй половине XVII в. атомизм был уже совсем нс так популярен, как в начале века. Сам Ньютон в Кембридже преподает картезианскую физику. Потому единственный способ избежать прямой метафизической полемики с доминирующим картезианством — это использовать методы, сходные с архимедовскими.

Архимед и Ньютон одинаково пытались скрыть свой атомизм и метод неделимых за более классическими геометрическими представлениями. Методически явно Ньютон изложил свои математические взгляды в «Математических началах натуральной философии». Именно математический аппарат «Математических начал натуральной философии» совпадал с философскими и физическими взглядами Ньютона. Это была слабо завуалированная форма метода неделимых Кеплера и Галилея.

Ньютон так говорит о своей модифицированной форме математического атомизма в сравнении с классическим методом неделимых в форме Кава- льери. «Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений; поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов.

Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большей уверенностью. Поэтому если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам»[1].

В этой цитате важно утверждение о том, что «способом пределов достигается то же, что и способом неделимых». Грубоватость неделимых понимается опять же в смысле Архимеда. Архимед считал, что результаты, полученные методом неделимых, надо излагать классическим геометрическим способом. Пассажи в сторону исчезающих количеств можно списать на то, что первое издание «Математических начал» выходило во враждебном картезианском окружении.

Сила картезианства заключалась в том, что его сторону приняли бывшие перипатетики. Они выбрали картезианство как меньшее из зол по сравнению с атомизмом. Но вернемся к Ньютону и его атомистическим методам. Эти методы было очень тяжело скрыть, ведь при изложении первых вводных положений Ньютон не смог избежать обращения к бесконечности, причем именно к актуальной бесконечности. Это и выдает настоящего атомиста. Ньютон вводит актуальную бесконечность во второй лемме «Математических начал натуральной философии»:

«Лемма II. Если в какую-либо фигуру АасЕ, ограниченную прямым Аа и АЕ и кривой асЕ, вписывать любое число параллелограммов ЛЬ Вс Cd и т.д., имеющих равные основания АВ, ВС, CD и т.д., стороны Bb, Сс, Dd и т.д., параллельные стороне Аа фигуры, и дополнить параллелограммы аКЫ, Ыст и cMdn и т.д., затем, уменьшая ширину этих параллелограммов, увеличивать их число до бесконечности, то я утверждаю, что в пределе отношения вписанной фигуры AKbLcMdD, описанной AalbmcndoE и криволинейной AabcdE друг к другу равны единице»[2] (рис. 1.30). Самые важные слова: «увеличить их число до бесконечности». Очевидно, что речь идет об актуально бесконечном делении площади кривой. Эта лемма излагает простейший случай неделимых. Более сложный случай, когда расстояния между неделимыми неравны, описывается в четвертой лемме. Не менее важны для подтверждения атомизма Ньютона шестая и седьмая Леммы. Приведем их тексты.

Рис. 130

«Лемма VI. Если какая угодно заданная по положению дуга АСВ стягивается хордой АВ и в какой-либо ее точке А, лежащей в области непрерывной кривизны, проведена касательная AD, продолженная в обе стороны, и если точки А и В приближаются друг к другу и совпадают, то я утверждаю, что угол BAD, заключенный между хордой и касательной, уменьшается бесконечно и в пределе исчезает»[3] (рис. 1.31).

Рис. 1.31

«Лемма VII. При тех же предположениях я утверждаю, что предельное отношение дуги, хорды и касательной друг к другу равно единице»[4]. Касательная, дуга и секущая могут совпадать только при актуально бесконечном делении.

Чтобы понять ход математической мысли Ньютона, разберем его способ доказательства на примере предложения I теоремы I из «Математических начал натуральной философии». Это предложение формулируется следующим образом: «Площади, описываемые радиусами, проводимыми от обращающегося тела к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны временам их описания»[5] (рис. 1.32). Доказательство проводится с использованием атомистических методов.

Рис. 132

Сначала Ньютон использует представление о делении времени «на равные бесконечно малые промежутки» и «мгновенном толчке» со стороны центростремительной силы[6]. Описываемую радиус-вектором площадь Ньютон делит на треугольники. «Увеличивая затем число треугольников и уменьшая их высоту бесконечно, получим, что в пределе периметр ADF (по след. 4 лем. III) будет кривой линией и центростремительная сила, которою тело отклоняется все время от касательной к этой кривой, действует непрестанно, площади SADS и SAFS, описываемые радиусом, оставаясь постоянно пропорциональными временам их описания, будут и в пределе этим временам пропорциональны»[7].

Когда Ньютон увеличивает количество треугольников и бесконечно уменьшает их высоту, он превращает эти треугольники в неделимые радиусы. Таким образом, Ньютон все равно вводит неделимые. Но делает он это как Архимед, не акцентируя, чтобы не входить в дискуссии и с религиозной традицией, и с картезианцами.

Но, естественно, картезианцев не очень легко было обмануть, скрытно протащив актуальную бесконечность. Поэтому Ныотон заранее отвечает на возможные возражения. Приведем соответствующее место из «Математических начал натуральной философии».

«Возражают, — говорит Ныотон, — что не существует последнее отношение исчезающих величин, ибо отношение величии, до того как они исчезли, не есть последнее, а если они исчезли, то нет отношения. Но на основании такого же аргумента можно утверждать, что нет последней скорости у тела, прибывающего в какое-нибудь место и перестающего двигаться, ибо до прибытия тела в это место это не последняя скорость; а когда оно уже прибыло, скорости нет. Ответ простой: ибо иод последней скоростью следует разуметь ту, с которой движется тело не до прибытия в свое последнее место, когда движение прекращается, и не после, но в самый момент его достижения, т.е. именно ту скорость, с которой тело достигает своего последнего места, когда движение прекращается. Аналогично под последним отношением исчезающих величин нужно понимать отношение величин не до и не после их исчезновения, но отношение, с которым они исчезают. Подобным же образом первое отношение зарождающихся величин есть то, с которым они начинают существовать, а первая или последняя сумма есть та, с которой они начинают или перестают существовать, или же увеличиваться, или уменьшаться»[8].

В этом фрагменте следует обратить внимание на использование слова «момент», ибо Ньютон опять говорит о мгновениях времени атомизма. Без них он не может передать ход своих рассуждений.

Метод пределов Ньютона непосредственно переплетается с методом флюксий и флюент. Термин «флюента» встречается еще у Суайнсхеда и Орема. Это представление о том, что именно движение (течение, флюента) точки порождает линию, движение линии порождает плоскость, а движение плоскости — объемное тело. Это движение Ньютон и называет течениями, флюентами. Мгновенные скорости Ньютон называет флюксиями, а мгновенные приращения количеств — моментами.

Вводя мгновенные приращения, Ньютон полностью расписывается в своем атомизме. Вот еще одна цитата из «Математических начал натуральной философии»: «Я рассматриваю здесь эти количества как неопределенные и изменяющиеся и как бы возрастающие и убывающие от постоянного движения или течения, и их мгновенные приращения или уменьшения разумею под словом моменты, так что приращения почитаются за положительные или прибавляемые моменты, уменьшения — за вычитаемые или за отрицательные. Но озаботься, чтобы не принимать за таковые конечных частиц. Конечные частицы не суть моменты, но сами суть количества, из моментов происходящие. Надо подразумевать, что это суть лишь едва- едва зарождающиеся начала конечных величин. Поэтому в этой лемме никогда и не рассматриваются величины моментов, но лишь их начальные отношения. То же самое получится, если вместо моментов брать или скорости увеличений, или уменьшений [которые поэтому можно называть движениями, изменениями или потоками (флюксиями) количеств], или же какие угодно конечные количества, этим скоростям пропорциональные. Коэффициент же при какой-либо переменной есть количество, получаемое от разделения произведения на эту переменную»[9].

Но метод флюксий, как и метод пределов, нужен Ньютону для решения особого рода соотношений между флюксиями и флюентами. В этих выражениях одновременно встречаются неделимые разных порядков, например и неделимая линия, и сумма этих линий. Суть этих соотношений заключается не в нахождении пересечений двух линий, а в представлении в явном виде суммы неделимых. Эти соотношения позволяют выражать особого вида неделимые. Для выражения используются и флюента (сумма) и флюксия (отдельная неделимая).

Разберем физическую составляющую «Математических начал натуральной философии». Заслуга Ньютона заключалась в том, что он из своего дифференциального закона движения, известного сейчас как второй закон Ньютона, смог вывести закон всемирного тяготения, т.е. из равноускоренного характера свободного падения вывести силу, его порождающую. Причем эта сила должна действовать обратно пропорционально квадрату расстояния между центрами. А затем Ньютон вывел из этого все законы Кеплера, объяснив из атомизма Галилея всю небесную механику. Таким образом, была создана единая и внутренне завершенная система атомизма, подтвержденная астрономическими наблюдениями.

Ньютон действует в доказательстве очень просто. Он вычисляет центростремительное ускорение, с которым Луна обращается вокруг Земли. Затем соотносит это ускорение с ускорением свободного падения па поверхности Земли: «Веса тел, равноотстоящих от центра Земли, относятся между собою как количества материи или массы тел. Об этом заключают но равенству ускорения всех падающих под действием веса тел, ибо силы, сообщающие неравным массам равные ускорения, должны быть пропорциональны массам, приводимым в движение. Равенство же ускорений всех падающих тел следует из того, что в бойлевой пустоте, т.е. когда сопротивление воздуха устранено, все падающие тела проходят в равные времена равные пространства. Более же точно это подтверждается опытами над маятниками»[10].

Ньютон с помощью вычислений выявляет соответствие между квадратами радиусов от Луны до центра Земли и от поверхности Земли до ее центра. После выполненного в 1683 г. нового измерения радиуса Земли вычисления дали точный результат. Итак, сила, действующая на Луну, если «ее опустить до поверхности Земли, становится равной силе тяжести... она и есть та самая сила, которую мы называем тяжестью или тяготением»[11]. Получается, что сила стремления Луны к Земле соответствует силе стремления любой частицы на поверхности Земли к центру Земли.

Теперь надо описать этот процесс с точки зрения атомизма, с точки зрения неделимых. «Итак, действие Земли должно рассматриваться как состоящее из действий отдельных частиц»[10]. Это означает, что тяготение больших небесных тел сводится к притяжению единичных атомов как отдельных частиц. А отдельные атомы притягиваются по второму закону Ньютона. Таким образом, закон всемирного тяготения связан со вторым законом Ньютона, т.е. сила, квадрат расстояния и ускорение соотносятся друг с другом. Получается, что квадрат расстояния связан с неделимой точкой (в ускорении).

«Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, рассуждая подобным же образом, ибо многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обуславливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел вследствие причин, покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга»[13].

Началами механики, по Ньютону, являются суммирование неделимых и обратная ему операция выделения неделимого из этой суммы. Если исходя из этих операций получится описать закон всемирного тяготения, то задача Ньютона будет решена. Из начал механики необходимо описать смысл явления тяготения. Для понимания механизма тяготения важны слова «частицы тел... сцепляются в правильные фигуры».

Расстояние между точкой и притягивающим центром полагается как неделимое. Это неделимое записывается как R. Именно это расстояние между точкой и центром входит в закон всемирного тяготения. Сила, которую испытывает точка, тем сильнее, чем ближе точка к центру притяжения. Чем больше расстояние, соответственно тем меньше сила.

Теперь поясним, почему в закон всемирного тяготения входит не просто R, a R[11]. Ответ очень прост. Притяжение порождается ускоряющей силой, поэтому неделимая R изменяется в рамках равноускоренного движсния. А это движение описывается через расстояния, которые растут как ряд квадратов. Поэтому и присутствует пропорциональность именно ряду квадратов: «Если разного рода переменные величины сравниваются между собой и про которую-нибудь из них говорят, что она прямо или обратно пропорциональна другой, то смысл этого выражения тот, что первая величина увеличивается и уменьшается в том же самом отношении, как вторая или как величина ей обратная»[15].

Вот и сила притяжения увеличивается и уменьшается как ряд натуральных квадратов. Неправильное понимание закона всемирного тяготения связано с тем, что его приписывают реальной траектории, т.е. между явлениями движения и математическим пониманием силы лежит вся трудность физики. «Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы»[16].

На самом деле закон всемирного тяготения присутствует в четырехмерном пространстве-времени. А в мире реальных траекторий координаты времени нет. Исходя из этих положений ясно, что закон всемирного тяготения есть просто частный случай второго закона Ныотопа, описывающего равноускоренное движение.

  • [1] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 69.
  • [2] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 57.
  • [3] Там же. С. 60.
  • [4] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 60.
  • [5] Там же. С. 73.
  • [6] Цейтеп Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. С. 402. Здесь приводится расширенная реконструкция текста, осуществленная Выготским.
  • [7] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 74.
  • [8] Там же. С. 69.
  • [9] Пыотои И. Математические начала натуральной философии. С. 332.
  • [10] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Предисловие Котеса. С. 7.
  • [11] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 459.
  • [12] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Предисловие Котеса. С. 7.
  • [13] Нглотон И. Математические начала натуральной философии. С. 3.
  • [14] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 459.
  • [15] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. С. 63—64.
  • [16] Там же. С. 3.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>