Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Атомизм П.-С. Лапласа

Атомистическая традиция не прервалась со смертью Ньютона. Ныотон оставил в Англии множество последователей. Но середина XVIII в. прошла под знаком явного доминирования школы Лейбница. Блестящие результаты были достигнуты представителями семьи Бернулли, Ж. Л. Далам- бером и, конечно, Л. Эйлером. И лишь в последней трети XVIII в. атомизм смог выдвинуть достойного этих громких имен математика и физика П.-С. Лапласа. Причем Лаплас не являлся представителем английской традиции атомизма. Английский атомизм проник во Францию через посредство деятельности Вольтера. Но судьба атомизма на родине Декарта была достаточно тяжела. И лишь Лаплас придал атомизму былой блеск.

Суть математического атомизма заключается в использовании движения для образования математических объектов. Ньютон выразил это в методе флюксий, а Лаплас отразил эту метафизическую установку в методе каскадов. Метод каскадов — это метод суммирования разных порядков неделимого. Так делал еще Ньютон в своих неявных уравнениях. Неделимая точка суммируется в неделимую линию, неделимая линия суммируется в неделимую плоскость. Метод каскадов — это атомистический способ решения дифференциальных уравнений с частными производными первых двух степеней. С помощью метода каскадов Лаплас в 1773 г. решает линейное дифференциальное уравнение для функций двух переменных вида

Он подходящим образом выбирает вспомогательную переменную, а затем производит разложение искомой функции в ряд. Одновременно метод каскадов был использован и для решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Затем Лаплас вводит новые переменные и приводит уравнение к виду

После чего, используя атомистическую традицию разложения в бесконечные ряды, Лаплас представляет искомую функцию следующим образом:

Суть метода каскадов заключается в представлении последующего члена ряда через интеграл предыдущего члена. Итак:

Далее, если ряд обрывается, то решение уравнения может быть найдено в конечном виде. Если же нет, то оно представимо в определенных интегралах:

Другое явное проявление атомизма в математике Лапласа связано с использованием сферических функций для разложения в бесконечный ряд. При решении задачи о притяжении тел и форме планет Лаплас использует разложение «какого-либо многочлена от р = cos0, 7( 1 - р2) cos со,

7(1 - р2)since, заданного на сфере радиуса а, в ряд вида УП)(0, со) + У<2)(0, со) + ..., где У(О(0, со) — сферическая функция, удовлетворяющая уравнению в частных производных

Лаплас здесь приходит к выводу, что в таком ряду члены УО’)(0, со) должны быть линейными комбинациями вида

где Ain, Bin постоянные коэффициенты. Такой тригонометрический многочлен Уб)(0, со) в современной литературе называется общей сферической функцией степени i... Исследуя потенциальную функцию для однородных эллипсоидов, Лаплас фактически пользовался обобщенным методом Фурье. На этом пути Лаплас создал в главных чертах общую теорию сферических функций, подошел к разложению произвольной функции двух аргументов в ряд по сферическим и наметил пути этого разложения»[1].

Именно эти исследования продолжил Пуассон при разложении функции двух переменных в ряд по сферическим функциям. И, естественно, это была стартовая площадка для другого атомиста — Фурье.

Используя атомистические методы, Лаплас приходит к ряду очень важных открытий в теории тяготения и теории потенциала. Вот как Лаплас связывает теорию притяжения и атомизм: «Видя, что все части материи подвержены действию сил притяжения, одна из которых охватывает сколь угодно большие пространства, тогда как другие становятся неощутимыми даже на самых малых расстояниях, какие доступны нашим чувствам, можно задаться вопросом, не являются ли эти последние видоизменением первой силы — видоизменением, определяемым формой и взаимным расстоянием молекул. Чтобы принять эту гипотезу, надо считать размеры частиц столь малыми по сравнению с разделяющим их расстоянием, чтобы их плотность была несравненно больше, чем их средняя плотность в совокупности»[2].

Основное достижение Лапласа заключалось в установление связи между объемным потенциалом Лагранжа

и дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка

В честь этого достижения данное уравнение стали называть уравнением Лапласа. «Только после работ Лапласа это уравнение получило широкую известность как уравнение, отражающее сущность стационарных процессов, в которых действующие силы в любой момент времени одинаковы для данной точки пространства и зависят лишь от координат этой точки (тепловое равновесие тел, равновесие упругих тел, равновесие электричества на проводнике и т.д.)»[3].

Теперь рассмотрим представления Лапласа о фатализме. Атомизм существенно связан с фаталистическими представлениями. Но следует разделить порядок, который существует в природных вещах, и порядок, который установлен для людей. Обычные люди подчинены законам необходимости наравне с остальной природой. Но мудрец, который испытывает высшие удовольствия атомизма (интеллектуальную радость, телесное совершенство (мышечную радость) и дружбу как духовную коммуникацию), оказывается свободен от природной предопределенности. В этом состоит одно из существенных отличий атомистической эпикурейской философии от стоицизма. В стоицизме отрицается свобода даже мудреца, ибо он оказывается подчинен общей природе человека. Свобода в стоицизме отождествляется с познанной необходимостью общей природы человека.

В природе же существует жесткий детерминизм. Все процессы подчинены жесткой причинно-следственной связи. Поэтому, зная начальное состояние системы, можно рассчитать конечное состояние системы. Отсюда возможность предвидения будущего и полное знание о прошлом. Вот как об этом пишет Лаплас в одном из своих сочинений «Essai philosophique sur les probabilites»: «Мы можем рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие его прошлого и причину его будущего. Разум, которому в каждый определенный момент времени были бы известны все силы, приводящие природу в движение и положение всех тел, из которых она состоит, будь он также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, смог бы объять единым законом движение величайших тел Вселенной и мельчайшего атома; для такого разума ничего не было бы неясного и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое».

Напомним, что этот идеал мог возникнуть только в рамках новых астрономических представлений Лапласа. По Ньютону, Солнечная система была неустойчива. В 1695 г. Галлей обнаружил ускорение Юпитера и его постепенное приближение к Солнцу. По Сатурну была обнаружена диаметрально противоположная ситуация. Отсюда и был сделан вывод о том, что Солнечная система может разрушиться при падении Юпитера на Солнце. Только бог, по общему мнению, способен был предотвратить эту катастрофу. Таковы были взгляды даже самого Ньютона.

Благодаря новым математическим инструментам, в первую очередь дифференциальным уравнениям в частных производных, Лаплас рассчитал движение Юпитера и установил период его смещения и возвращения в исходное положение. Эти колебания составляют период в 929 лет. Причина этих планетных перемещений заключалась, по Лапласу, во взаимном влиянии планет. Таким образом, Лаплас смог исключить бога из своей космологической теории. Поэтому, когда Наполеон спросил Лапласа, почему тот ни разу не упомянул бога при описании системы мира, Лаплас самонадеянно ответил: «Сир, я не нуждаюсь в этой гипотезе».

Но не только новыми взглядами на астрономию Лаплас отличается от Ньютона. Другой существенный шаг к адекватному пониманию атомизма был сделан в вопросе о скорости взаимодействия в рамках концепции дальнодействия. Известно, что Ныотон говорил о мгновенном взаимодействии. Современники понимали мгновенное как бесконечно быстрое, т.е. очень-очень-...-очень-...-очень быстрое взаимодействие. Кто никогда не изучал атомизм, то иначе и понять это не может. Ведь этому человеку придется использовать только доступные ему чувственные аналогии.

Но для атомизма это никак делать нельзя. Мгновенное должно пониматься как схлоиывание конечного временного промежутка в точку-мгновение при достижении предельной скорости взаимодействия. Таково гравитационное и электромагнитное взаимодействие, которое достигает мгновенности при чистом взаимодействии двух атомов. Поэтому скорость взаимодействия атомизма либо равна предельной скорости с, либо находится в окрестностях этого предела. И только это означает мгновенность, а не бесконечно большая скорость. И именно об этом говорил Лаплас в упоминании Пуанкаре: «Это, кажется, находится в противоречии с результатом, полученным Лапласом, который утверждает, что если это распространение и не является мгновенным, оно по крайней мере происходит быстрее, чем распространение света... По Лапласу, введение конечной скорости распространения было единственным изменением, которое он внес в закон Ньютона»[4].

  • [1] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 448—449.
  • [2] Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века. М.,1966. С. 89.
  • [3] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 444.
  • [4] Пуанкаре Л. Избранные труды. В 3 т. М., 1974. Т. 3. С. 431.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>