Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математика Аполлония Пергского

Математический аппарат традиции механического эфира так же древен, как и математика атомизма и первоэлементов. Греческая цивилизация получает этот аппарат опять же через Египет и Вавилон. Но непосредственного изучения конических сечений в геометрической форме в этих цивилизациях отмечено не было. Но зато много внимания египтяне и, особенно, вавилоняне уделили изучению неопределенных уравнений второй степени. А эти уравнения и есть алгебраическое выражение конических сечений традиции материального эфира.

Теперь посмотрим, в какой форме древние греки продолжили исследования древних египтян и вавилонян. Первые засвидетельствованные упоминания о конических сечениях в Древней Греции относятся к IV в. до н.э. Они связаны с решением так называемой делосской задачи. Эта задача заключается в построении куба, объем которого был бы вдвое больше объема заданного куба. Обозначим ребро данного куба через а, а ребро искомого куба — х. Тогда задача может быть записана в виде х3 = 2а3.

Сначала задача была решена Гиппократом Хиосским. Он построил две средние пропорциональные х и г/, такие что а/х = х/у = у/{2d). Позже иное решение задачи дал Архит Тарентский. Он нашел х посредством пересечения трех поверхностей — конуса, цилиндра и поверхности, полученной вращением окружности вокруг касательной к ней. И только во второй половине IV в. до н.э. Менехм использовал в решении конические сечения.

Из пропорции а/х = х/у = у/(2а) получаются следующие уравнения для определения геометрических мест конических сечений: ау = х2,ху = ах х 2а, у2 = 2ах. Вот что по этому поводу пишет Ван дер Варден: «Допустим, что задача решена, и пусть AZ = х и Z0 = у (рис. 2.1). Из а/х = х/у = у/Ь прежде всего следует: х2 = ау. Таким образом, 0 лежит на параболе с вершиной Д. Из а/х = х/у = у/Ь следует, далее, ху = ab. Таким образом, 0 лежит на гиперболе с асимптотами AZ и ДК. Итак, 0 можно найти построением как точку пересечения параболы и гиперболы»[1] [2].

Рис. 2.1

Немного в других словах это же построение описывает Стиллвелл: «Образцом построения уравнения было построение Менехма %/2 при помощи пересечения параболы и гиперболы. С геометрической точки зрения используются знакомые кривые (парабола и гипербола), чтобы построить менее знакомую длину (л/2). Это становится яснее, когда выражено алгебраически: кривые 2-й степени используются для решения уравнения 3-й степени: х3 = 2»2. И здесь уже в явной форме используются свойства пересечения двух линий для нахождения решения простейшего кубического уравнения.

Именно пересечение линий и определяет метафизическую сущность математики материального эфира, ибо дает точку пересечения эфира и тяжелого тела. После соприкосновения тяжелое тело надо заново описывать уже исходя из новой точки для начала его траектории. Перед тем как перейти к Аполлонию, следует отметить античных авторов, которые в IV— III вв. до н.э. разрабатывали тематику конических сечений. К ним относятся Аристей, Евклид и Архимед. Правда, специальные сочинения двух первых по коническим сечениям до нас не дошли. Евклид и Архимед относятся к совершенно другим фундаментальным традициям, но среди великих математиков явно прослеживается представление о единстве и необходимости всех трех традиций сразу, в то время как философы выбирали только одну традицию и жестко полемизировали против двух остальных.

Теперь перейдем к рассмотрению учения о конических сечениях Аполлония Пергского. Груд Аполлония содержал восемь книг. Первые четыре книги дошли до нас в греческом переводе. «Первые четыре книги содержат то, что называют начатками теории конических сечений, т.е. систематическое изложение главных свойств этих сечений; эти свойства служат затем как для приложения теории к решению задач на построение посредством пространственных мест, так и для более специальных исследований дальнейших свойств конических сечений. Наоборот, следующие книги посвящены именно такого рода специальным изысканиям»[3].

И далее Цейтен добавляет, что «объем сведений древних в области конических сечений мы узнаем, главным образом, из первых четырех книг»[4]. Поэтому, наверно, не случайно, что именно первые четыре книги чаще переписывались и дошли до нас в оригинальном изложении. Дадим общее представление о содержании этих книг. Самое важное здесь заключается в том, что вначале даются общие свойства конических сечений и их основные характеристики, а заканчивается все в IV книге изложением теории их пересечения: «Наконец, в IV книге Аполлоний рассматривает вопрос о числе точек пересечения двух конических сечений и показывает, что число не может быть больше четырех и что если одна из общих точек есть точка касания, то кривые могут иметь, помимо нее, не более двух общих точек. Здесь Аполлоний рассмотрел обе ветви гиперболы как единую кривую, без чего эти теоремы были бы неверны»[5].

Получается, что остальные четыре книги являются сборником специальных приложений конических сечений к решению частных задач. Причем восьмая книга содержала столь частные задачи, что даже не дошла до нас.

Как в «Началах» Евклида важны все положения от первого определения точки до построения пяти правильных многогранников, так и в «Конических сечениях» Аполлония все построения первых четырех книг имеют своей целью описания всех точек пересечения конических сечений. Напомним, что именно пересечения являются главным вопросом исследования математики материального эфира. Поэтому постараемся дать подробное изложение этих построений Аполлония. В первой книге Аполлоний рассматривает параболу, эллипс и гиперболу с более общей точки зрения, чем его предшественники. Это происходит вследствие того, что Аполлоний сразу вводит обе полости конуса.

Тут же получается значительный прогресс в исследовании гиперболы, для которой Аполлоний вводит обе ветви. Без этого нововведения решить правильно вопрос о всех точках пересечения конических сечений в четвертой книге было бы невозможно. «Вместо того чтобы рассматривать сечения конусов вращения плоскостями, находящимися в определенном положении, Аполлоний сразу же приступает к изучению произвольных плоских сечений произвольных конусов с круговым основанием»[6]. До Аполлония рассматривали свойства конических сечений, отнесенных к взаимно перпендикулярным диаметру и хордам. Теперь можно было определять коническое сечение, отнесенное к любому диаметру и сопряженным с ним хордам.

Дадим небольшое геометрическое пояснению к выводу симптомов (определений) конических сечений. Рассмотрим пример вывода симптома параболы, данный в предложении 11 книги 1. Итак, имеем коническое сечение, описывающее движение эфирных вихрей. Причем все эфирные вихри параллельны основанию ВЕС и имеют, соответственно, круговую форму. В рассмотренном примере следует выделить три вихря — вихрь ВЕС, вихрь NM и вихрь N'G (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Еще раз напомним, что эти вихри круговые. Тяжелое тело располагается в начальное время в точке G. Оно подвержено двум воздействиям. Одно воздействие — это собственное инерционное движение, которое состоит из движения, содержащего остатки предыдущих внешних воздействий. Собственное движение тяжелой точки G направлено вдоль диаметра конического сечения. И если бы не было эфирного воздействия, то тяжелое тело двигалось бы только по диаметру. Второе воздействие точка G получает от эфирного вихря. Эти воздействия соответствуют ординатам конического сечения.

В начальной точке G тяжелое тело только входит в эфирный вихрь. В момент вхождения сила действия вихря равна нулю. Но с каждым интервалом времени тяжелое тело начинает получать импульсы от эфирных вихрей. Это отклоняет его от движения вдоль диаметра и заставляет двигаться по коническому сечению. Так происходит вдоль всей линии конического сечения. В точке К это воздействие производит эфирный вихрь NM, и так каждый эфирный вихрь вплоть до вихря ВЕС. Эфирный вихрь придает тяжелому телу импульс, направленный от диаметра GH. Это выталкивающее движение эфира.

Эфирная компонента движения тяжелого тела в точке К описывается следующим соотношением внутри вихря NM: KL2 = NLLM. Это очень известное соотношение для линий внутри круга. Итак, эфирный вихрь образует круги внутри конуса. Сила воздействия эфира определяется значением ординаты. На нашем рисунке ординатами, например, являются НЕ и KL, т.е. в точке Е эфир действовал по прямой НЕ. И так происходит в каждой точке по линии конического сечения. Эфир всегда смещает тяжелое тело в сторону от диаметра.

Квадрат ординаты соответствует увеличению силы воздействия эфира как ряд 1, 4, 9, 16. Это есть ряд квадратов натуральных чисел. Теперь вернемся к диаметру. Диаметр означает собственное инерционное движение тяжелой точки, попавшей в эфирный вихрь. В традиции механического эфира инерционное движение не подразумевает субстанциальное движение атома. Это импульс, которое получило тело до соприкосновения с данным вихрем. Это прошлая история тела. И эта инерционная сила соответствует величине диаметра. В точке К инерционная сила имела значение GL, а в точке Е инерционная сила имела значение GH. С каждым импульсом воздействия эфира инерционная сила оказывается приложена не по линии диаметра, а в точке, где находится тяжелое тело, например в точке К или Е.

Зависимость между силой воздействия эфирного вихря и инерционным движением точки, очевидно, присутствует, но ее надо вывести и определить. Для параболы сила воздействия эфира пропорциональна равномерному движению тяжелого тела. На нашем рисунке KL2 должно быть пропорционально GF(рис. 2.3). Таково определение параболы. Но Аполлоний стремится определить коэффициент пропорциональности. Сейчас он выражается как параметр 2р, а в древности говорили о линии, перпендикулярной диаметру.

Рис. 23

Этот коэффициент есть константа, поэтому он должен определяться через некоторые константы. Это есть константы, которые определяют конус в целом и точку вхождения тяжелого тела в эфирный вихрь, т.е. в конус. Аполлоний постулировал этот коэффициент следующим образом: «Проведи линию GF под прямым углом к линии GI, и пусть она будет такой, что “на ВС’ относится к “под ВАС’ как GF к 6А»[7], т.е. GF/GA = ВС[8]/(АВ х х АС). Очевидно, что коэффициент определяет эфирный вихрь относительно точки вхождения G. Линия АС есть образующая конуса, которой будет параллелен диаметр на нашем рисунке. И сам коэффициент GF определяет эту параллельность. Именно в этом смысл определения GF для параболы.

Рисунок 2.4 иллюстрирует равенство квадрата полухорды KL и прямоугольника, построенного на GR = 2р (GR равно GF на рис. 2.3) и LG = х. Сама линия GR = GF= 2р является константой. Линия такой длины будет только у параболы. И здесь действительно получится равенство между равномерным движением, умноженным на коэффициент, и возрастающей в квадратичной зависимости силе воздействия эфирного вихря. Еще раз напомним, что константа GR = GF = 2р = GA ? В С[8]/(А В ? АС). Следует сразу отметить, что такое толкование соответствует схеме сложения движений, предложенной в XVII в. Галилеем. Отличие состоит в понимании природы инерциалыюсти и природы силы воздействия у[8]. Но в целом все совпадает. Инерционному движению соответствует равномерное движение по х, а силе воздействия эфира — равноускоренное движение у[8].

Рис. 2.4

Теперь разберем уравнения эллипса и гиперболы. Рассмотрим сначала случай с гиперболой с точки зрения эфирной теории. Тяжелое тело входит в эфирный вихрь в точке 6. Способ вхождения описывается уже новым параметром. «Пусть линия GFбудет проведена под прямым углом к диаметру GI, и пусть “над AJ’ относится к “под BJC” как GII к GF»[8] (рис. 2.5), т.е. GF выражается новой пропорцией: GH/GF- Ap/(BJ JC).

Затем Аполлоний выражает эту пропорцию через значение GK = х. Получается знакомое нам уравнение у[8] = 2рх + рх[8]/а. Так вот, с точки зрения эфирной теории это означает, что эфирное воздействие у[8] теперь будет пропорционально уже не только равномерному инерционному движению по х. Оно будет пропорционально уже сразу и равномерному движению 2рх, и равноускоренному рх[8]/а. Таким образом, в случае гиперболы прибавление компоненты рх2 позволяет превосходить равномерное движение по параболе. Более мощное эфирное воздействие расширит параболу, превратив ее в гиперболу. Поэтому гипербола была названа именно из этого свойства как «избыток». В целом все это является следствием вхождения тяжелого тела под соответствующим углом.

Рис. 25

Теперь перейдем к случаю эллипса. Аполлоний здесь определяет параметр р формально точно так же, как и для гиперболы. Но пропорции GH/GF = AJ2/(BJJC) уже соответствуют другие линии на рис. 2.6. Это приводит к тому, что уравнение эллипса в привычной для нас форме будет выражаться как у2 = 2рх - рх2/а. Причем компонента 2рх опять же выражает равномерное движение, а компонента рх2/а — равноускоренное. Но теперь эфирное воздействие из-за этой пропорции будет терять часть своей силы. До определенного момента рост компоненты 2рх будет превосходить уменьшения от второй компоненты рх2/а. Это ситуация движения от точки G до точки L. А затем рост второй компоненты начнет превосходить рост первой, так что в конце они сравняются по величине и взаимно компенсируют друг друга в точке Я. Кстати, подобная же ситуация происходит в любых замкнутых выпуклых линиях.

Итак, если материальная точка движется по прямой параллельно образующей конуса, то будем иметь параболу. Для рис. 2.4 в этом случае диаметр должен быть параллелен образующей СА. Если прямая движения материальной точки не будет параллельна образующей, т.е. будет ее пересекать, то будем иметь гиперболу или эллипс. Допустим, что для параболы диаметр расположен под углом а к основанию конуса. Тогда для гиперболы этот угол будет больше а, а для эллипса — меньше а.

Рис. 2.6

В первом случае диаметр пересечет образующую СА во второй полости конуса, а во втором случае пересечет два раза первую полость конуса. Здесь появляется новое понятие — большая полуось эллипса и гиперболы. Это расстояние между двумя образующими конуса. В случае гиперболы эти образующие находятся в разных полостях конуса, в случае эллипса — в одной полости.

Теперь дадим объяснение касательной. Вот как ее вводит Аполлоний в предложении 17 книги 1: «Если в коническом сечении провести из вершины этой линии прямую, параллельную одной из ординат, она попадет во внешнюю область сечения»[17]. Это имеет место в точке G. В этой точке и х, и у равны нулю. Поэтому тангенс тоже равен нулю и касательная параллельна оси у. В этом определении дается существенное свойство касательной: это линия, которая не попадает во внешнюю область сечения, т.е. для конических сечений, включая окружность, справедливо, что касательная пересекается с сечением всего в одной точке. Касательная выражает объединение двух движений. В результате тяжелое тело по инерции будет двигаться именно по касательной. Но это же составное инерционное движение, ибо начальное инерционное движение направлено по диаметру. А вторая составляющая инерции добавлена импульсами от выталкивающего эфира.

В простейшем случае инерционная сила и воздействие эфира взаимно перпендикулярны. И соответственно, диаметр и хорды взаимно перпендикулярны. Такими конические сечения описывали со времен Менехма. Но одна из основных заслуг Аполлония состояла в том, что он показал необязательность этой перпендикулярности. Инерционная сила и эфирное воздействие могут находиться под разными углами, от этого уравнения кривых не меняются, как это показано на рис. 2.4.

Поэтому остальная часть первой книги «Конические сечения» посвящена различным способам представления конических сечений.

При этом доказывается, что уравнения кривых действительно остаются неизменными: «Итак, в 1 книге Аполлоний рассматривает множество систем координат, зависящее от одного параметра, так как эти системы координат вполне определяются одной точкой кривой — концом диаметра, и доказывает инвариантность уравнений эллипса, гиперболы и параболы относительно преобразований соответствующих систем координат»[18]. Это также поможет Аполлонию в четвертой книге рассмотреть только основные случаи пересечения конических сечений и не останавливаться на частностях.

Во второй книге Аполлоний получает очень важное уравнение гиперболы относительно асимптот {осу = const). Это уравнение гиперболы очень часто участвует в пересечениях конических сечений начиная с делосской задачи. При построении этого уравнения Аполлоний тратит много усилий для выяснения основных свойств сопряженных диаметров и асимптот. Здесь же, во второй книге, вводятся фокусы, полюсы и поляры конических сечений. Они также будут задействованы в четвертой книге. В третьей книге Аполлоний рассматривает множество систем координат, зависящих не от одного, а от двух параметров (например, случай двух произвольных несопряжеиных диаметров), что опять позволит добиться высокой степени унификации конических сечений в четвертой книге.

Теперь надо подробно описать ключевую четвертую книгу. «В четвертой книге определяется наибольшее число точек пересечения двух конических сечений. В предисловии Аполоний определенно заявляет, что его собственный вклад в теорию заключается главным образом в том, что он привлек к рассмотрению обе ветви гиперболы — обстоятельство, играющее здесь кардинальную роль»[19]. Каждое коническое сечение описывает движение одной тяжелой точки в эфирных круговых вихрях. При решении уравнения конического сечения находятся две точки пересечения тяжелого тела с линией конического сечения.

Как правило, имеет смысл только одна действительная точка пересечения как значение решения квадратного уравнения. Когда же речь идет о пересечении двух конических сечений, то физическая модель будет такова. Сама тяжелая точка движется не по прямой, а по коническому сечению внутри другого конического сечения. Это рождает максимум четыре точки пересечения, из которых лишь одна или две описывают реальное движение точки. Остальные решения относятся к возможным. Аполлоний в четвертой книге дает подробные описания всех случаев таких пересечений.

Скажем несколько слов о специальных приложениях в остальных четырех книгах. Пятая книга посвящена вопросам исследования нормалей в любой точке конического сечения. И здесь Аполлоний решает задачи, используя разработанный в четвертой книге метод пересечения конических сечений. «Задача проведения нормалей к параболе в предложении V51 равносильна кубическому уравнению, а задача проведения нормалей к эллипсу и гиперболе в предложении V52 равносильна уравнению четвертой степени»[20]. Так Аполлоний использует пересечение двух парабол для нахождения двух средних пропорциональных. Эти средние пропорциональные позволяют построить нормали к эллипсу и гиперболе. Для того чтобы определить концы нормалей, Аполлоний использует вспомогательные равносторонние гиперболы, которые пересекают конические сечения в искомых точках[21]. Построение нормалей в ряде случаев осуществляется с помощью двух перпендикулярных прямых. «Эту пару прямых также можно рассматривать как вырожденный случай вспомогательной гиперболы»[22].

Шестая книга описывает подобия конических сечений. Седьмая книга содержит довольно значительное количество выражений для некоторых функций длин сопряженных диаметров, параметров и т.д. В ней также даются доказательства, относящиеся к диоризмам задач, решенных Аполлонием в восьмой книге. К сожалению, восьмая книга была утеряна. В XVII в. известный ученый и друг Ньютона Галлей предложил реконструкцию восьмой книги «Конических сечений», в которой дал решение этих задач.

  • [1] Ван дер Варден Б. Л. Указ. соч. С. 223—224.
  • [2] Стиллвелл Д. Математика и ее история. М.; Ижевск, 2004. С. 120.
  • [3] Цейтен Г. Г. История математики в древности и средние века. С. 138.
  • [4] Там же.
  • [5] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 136.
  • [6] Цейтеп Г. Г. История математики в древности и средние века. С. 139.
  • [7] Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. М., 2004. С. 45.
  • [8] Там же. С. 47.
  • [9] Там же. С. 47.
  • [10] Там же. С. 47.
  • [11] Там же. С. 47.
  • [12] Там же. С. 47.
  • [13] Там же. С. 47.
  • [14] Там же. С. 47.
  • [15] Там же. С. 47.
  • [16] Там же. С. 47.
  • [17] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 56.
  • [18] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 135.
  • [19] Цейтен Г. Г. История математики в древности и средние века. С. 145.
  • [20] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 155.
  • [21] Там же. С. 142.
  • [22] Там же. С. 145.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>