Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математика Ж. Л. Даламбера и Ж. Л. Лагранжа

Теперь пришло время рассмотреть вклад в развитие математики материального эфира двух выдающихся ученых XVIII в. Ж. Л. Даламбера и Ж. Л. Лагранжа. В основном будут изложены вопросы, касающиеся построения новой модели упругого колеблющегося эфира, т.е. речь пойдет о дифференциальном и интегральном исчислении.

Оба математика стояли на позициях, оппозиционных атомизму. Хотя многие методы эфирной математики и математики атомизма пересекались, но существенное наполнение их было разным. «Даламбер счел нужным освободить метод пределов Ньютона от понятий движения и скорости, принадлежащих менее отвлеченной, чем анализ, науке — механике. Во введении к “Теории аналитических функций” Лагранж, в противоположность Ньютону и Маклорену, подчеркивал, что “вводить в исчисление, имеющее предметом только алгебраические величины, движение, значит вводить в него чужеродную идею”»[1].

Лагранж продолжал, что «мы отнюдь не обладаем достаточно четким понятием о том, что есть скорость точки в любое мгновение, в случае когда скорость переменная»[2]. Таким образом, и Даламбер, и Лагранж исключали атомистические методы течения атомов из своего арсенала.

Остановимся поподробнее на теории пределов Даламбера. Даламбер четко позиционируют себя от теории пределов Ньютона, ибо не признает актуально бесконечно малых атомизма. «Конечно, Даламбер пользовался потенциально бесконечно малыми и бесконечно большими... Бесконечность, рассматриваемая в анализе, есть собственно предел конечного, т.е. граница, к которой всегда стремится конечное, никогда к ней не приходя, но о которой можно предположить, что конечное приближается к ней все ближе и ближе, хотя и никогда не достигает»[3].

Даламбер высказывал точку зрения, что следует говорить не о бесконечно малых величинах как таковых, а о пределе отношения двух конечных величин. Например, таковым пределом можно считать отношение dy/dx, выражающее конечную величину наклона касательной. Даламбер так определял понятие предела в «Энциклопедии»: «Говорят, что одна величина является пределом другой величины, если эта вторая может стать к первой ближе, чем на любую данную величину, как бы мала ни была последняя, причем, однако, приближающаяся величина никогда не может превзойти величину, к которой приближается. Таким образом, разность этой величины и ее предела абсолютно неуказуема»[4]. В качестве примера Даламбер приводил суммы монотонно убывающей геометрической прогрессии.

Лагранж в вопросах обоснования анализа не разделял точку зрения ни Эйлера, ни Даламбера. Он говорил о том, что исчисление бесконечно малых есть исчисление компенсирующих ошибок. За счет этой компенсации исправляются изначально принятые ложные допущения. Здесь Лагранж повторял общеизвестную позицию по вопросу обоснования анализа, которая встречалась еще у Беркли. Но позже Лагранж предложил совершенно новую точку зрения на обоснование анализа. Эта было чисто алгебраическое обоснование дифференциального и интегрального исчисления.

Суть новой точки зрения на обоснование анализа заключалось в алгебраическом понимании производной. Лагранж рассматривал разложение функции и от х + 8 по степеням е в форме и + и'г + и"г[4]/2 + и/3/(2 х х 3) + ... . Лагранж вполне справедливо подметил, что производные функции и'у и"у и'" получаются одна из другой последовательно. Каждая из них есть коэффициент при первой степени в разложении по степеням 8 предшествующей ей производной функции. Поэтому каждая такая функция получается из предыдущей с помощью алгебраической операции разложения в степенной ряд.

Кстати, очень характерно само название труда Лагранжа, посвященного изложению нового обоснования анализа. Книга, вышедшая в 1797 и 1813 гг. (1-е и 2-е издания), называлась так: «Теория аналитических функций, содержащая начала дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых, исчезающих, пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных величин». Основным уязвимым местом нового обоснования анализа оказалась вера Лагранжа в универсальность степенного ряда, «между тем Коши показал, что сходящийся ряд Тейлора не обязательно сходится к порождающей его функции, и тем самым выявил принципиальную недостаточность теории Лагранжа»[6].

Таким образом, новый метод обоснования анализа оказал огромное влияние на математиков конца XVIII — начала XIX в., но вместе с тем никак не смог вытеснить само понятие бесконечно малого. Сам Лагранж через 15 лет подытожил влияние своего варианта обоснования анализа следующими словами. «Мы сохранили обычные обозначения дифференциального исчисления, так как они соответствуют системе бесконечно малых величин, принятой в настоящем трактате. Если дух этой системы хорошо усвоен и если в точности ее результатов убедились с помощью геометрического метода первых и последних отношений или с помощью аналитического метода производных функций, то бесконечно малые величины можно применять в качестве надежного и удобного средства для сокращения и упрощения доказательств»[7].

Рассмотрим вклад Даламбера и Лагранжа в развитие теории линейных дифференциальных уравнений. Даламбер в 1748 г. предложил способ сведения неоднородного линейного уравнения к системе линейных уравнений первого порядка. Позже Даламбер показал, что сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения с геми же коэффициентами будет общим решением этого неоднородного линейного дифференциального уравнения. Эти исследования продолжил Лагранж в 1775 г. с помощь своего метода вариации постоянных. Кроме того, Лагранж пользовался интегрирующим множителем для понижения степени неоднородного линейного дифференциального уравнения. Также ему удавалось понижать степень неоднородного уравнения, зная т частных решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения. Вслед за Эйлером Лагранж продолжил исследования линейных уравнений бесконечно высокого порядка.

Даламбер наравне с Эйлером ввел в математическое обращение линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Даламбер столкнулся с этим вопросом при исследовании колебания нагруженной точечными грузами нити, бесконечно мало отклоненной от вертикального положения. Эта задача также описывает колебание упругого эфира. Для решения системы однородных дифференциальных уравнений, описывающих данную нить, Даламбер находил множители с помощью кубического уравнения. После умножения системы на эти множители можно было свести систему из трех уравнений к системе из двух. При дальнейшем решении Даламбер использовал разложение основной функции на произведение из двух функций. Этот прием использовал еще Диофант.

Лагранж, следуя своей алгебраической схеме, предложил очень интересный способ решения дифференциальных уравнений. Если уравнение не интегрируется обычным способом, то, по Лагранжу, его надо дифференцировать. «Затем, комбинируя новое уравнение с предложенным, нужно найти интеграл нового уравнения, который сам будет дифференциальным уравнением первого порядка. После этого надлежит ваять разность двух таких интегралов (т.е. дифференциальных уравнений первого порядка), получить алгебраическое соотношение, которое и будет искомым интегралом исходного уравнения»1.

В 1747 г. Даламбер сумел выразить средствами нового анализа уравнение малых поперечных колебаний бесконечно тонкой однородной струны, имеющей длину /, закрепленной на концах, выведенной из положения равновесия и затем предоставленной самой себе. Даламбер сделал это исходя из эфирных представлений, хотя до него атомист Тейлор в 1713—1715 гг. достиг того же результата, используя механические и геометрические представления атомизма. Даламбер получил дифференциальное уравнение

Э2у 9 д2у

в частных производных второго порядка: —— = а*—

Э t1 дх2

Дадим небольшое разъяснение данного дифференциального уравнения. Постоянная величина а характеризует плотность струны и ее натяжение. Даламбер в своем решении этого уравнения принимал а = 1 и использовал понятие полного дифференциала для решения данного уравнения. Он записывал dy следующим образом:

Это, собственно, и есть уравнение полного дифференциала для у(х, t). Затем Даламбер преобразовывает это уравнение к виду

~ л s ду ду ду ду

Следующим шагом Даламбер исследует выражения zr- + — и zr- - —,

дх dt дх dt

находя дифференциалы функций ^ и а затем дифференцируя суммы

Эх dt

и разности этих выражений. Опуская несложные математические выкладки, повторим основной вывод Даламбера. Этот вывод заключается в том,

ду ду ду ду .

что выражения — + — и —---— являются произвольными функциями

дх dt дх dt

от аргументов (х + t) и (х - t), т.е. z^ + z^- = Ф(х +1)} а ^ ^ = ЧДх -1).

Эх dt Эх dt

И окончательно после интегрирования получаем у = ф(х + t) + |/(х - t).

Важным моментом решения Даламбера является ясное указание на то, что в решение входят произвольные функции, а не произвольные постоянные, как в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Эти решения описывают колебания эфира, происходящие то в одну сторону, то в другую.

Очень скоро разгорелся спор о начальной форме струны. Эйлер говорил о возможности начертить начальную форму струны «свободным влечением руки». Даламбер отказывался принять такую позицию: «Нельзя, говорил он, решить задачу при любой начальной форме струны. Решение должно быть, во-первых, дважды дифференцируемым, для чего начальная фигура струны должна быть гладкой. Гладкости требует и физическая сила упругости: в угловых точках она не может быть конечной. Следовательно, произвольные функции в решении должны быть аналитическими. Во-вторых, решение является периодическим. Следовательно, и начальная форма струны должна быть периодической»1. Позже Даламбер предложил искать решение в виде произведения двух функций у = f(t)g(x). Но серьезных результатов в поисках подобного рода решений добился много позже Фурье. Метод разделения переменных оказался действительно очень эффективным приемом решения волнового уравнения.

Лагранж также участвовал в решении задачи о колебании струны. Решение Лагранжа выражалось с помощью конечного тригонометрического ряда, причем Лагранж вплотную подошел к открытию формул для коэффициентов тригонометрического ряда. Правда, он в силу своей метафизической установки на потенциальную бесконечность так и не сделал предельного перехода от конечного к бесконечному. Этот переход сделал атомист Фурье. Лагранж поддержал Эйлера во введении разрывных и смешанных кривых для описания начальной формы струны. Волновым уравнением описывается, по Лагранжу, и движение воздуха в трубах постоянного сечения. Это движение описывается также смешанной функцией, объединяющей кривую и прямую линии.

Для развития теоретического описания новой модели эфира необходимо было изучить обтекание эфиром твердого тела. При этом эфир рассматривался как однородная невесомая жидкость. Даламбер стал рассматривать плосконараллельные потоки движения эфира. Для каждой частицы эфира Даламбер определил ее скорость через две компоненты вектора скорости в точке (х, z). Эти компоненты скорости Даламбер обозначил как р и q. Метод, который он применил для изучения процесса обтекания, состоял в использовании полных дифференциалов dq =Mdx + + Ndz и dp = Ndx - Mdz.

Каждый дифференциал в свою очередь Даламбер составляет из двух составляющих по координатам точки х и z. Полные дифференциалы dq и dp отражают изменение значения по этим координатам. Из сравнения этих уравнений в полных дифференциалах Даламбер получает следующие

условия полного дифференцирования: — = — и — = . При интегри-

дх dz dz ox

ровании этих уравнений Даламбер использовал функции комплексного аргумента.

Привлечение комплексных чисел связано с тем, что это позволяет описывать движение на плоскости. Комплексные числа наилучшим образом описывают двумерные движения. Из этих уравнений также следует, что qdx + pdz и pdx - qdz являются полными дифференциалами некоторых функций. В 1761 г. Даламбер выяснил, что компоненты вектора скорости р

и q удовлетворяют уравнению = 0. Вскоре Эйлер дал трехмерный

ах ау

аналог этого уравнения, который сейчас называется уравнением Лапласа. Это уравнение сыграло важнейшую роль в создании теории потенциалов.

Даламбер наряду с Эйлером внес существенный вклад в решение вопроса интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Интегрирование этих уравнений сводится к решению уравнений в полных дифференциалах. Как правило, при решении уже уравнения в полных дифференциалах используются интегрирующий множитель и замена переменных.

Даламберу принадлежат первые попытки дать классификацию дифференциальных уравнений с частными производными. Он выделял уравнения первого и высшего порядков, а также линейные и нелинейные дифференциальные уравнения с постоянными и переменными коэффициентами. В целом исследования Даламбера очень близко подошли к общему методу, который чуть позже предложил Лагранж.

Разберем подробнее метод решения общего линейного уравнения для функции двух переменных, разработанный Лагранжем. Лагранж решал уравнение вида

Суть метода Лагранжа заключалась в сведении интегрирования данного дифференциального уравнения к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений

По Лагранжу, умение решать дифференциальные уравнения в частных производных заключается в том, что нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка F(x, у, z, р, q) = 0 подбирается уравнение Ф(х, у, z, р, q) = а. Это уравнение содержит произвольную постоянную а, благодаря которой система уравнений из обоих уравнений становится интегрируемой. Опять же для этого используется метод полной интегрируемости

= —?—. Это условие позволяет привести нелинейное дифференциальное ау ах

уравнение к линейному уравнению для функции Ф(.г, у, z, р, q) = а. Затем линейное дифференциальное уравнение через нахождение одного частного решения сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это уже умели делать.

Лагранжу принадлежат исследования по эфирной теории притяжения тел. Именно Лагранж описал механизм притяжения исходя из новых эфирных представлений. Он рассматривал притяжение тяжелой материальной точки эллипсоидом вращения. Чтобы понять притяжение, надо предварительно описать, как эфир обтекает этот эллипсоид. По Лагранжу, при этом обтекании создается поля тяготения, которое уже позже назвали потенциальным.

1

Для характеристики этого ноля Лагранж вводит функцию, частные производные которой равны компонентам силы притяжения вдоль прямоугольных осей ординат. Эту функцию также позже начали называть потенциальной. Для притяжения двух материальных точек Лагранж дал следующее значение этой потенциальной функции:

где в знаменателе стоит величина расстояния между этими точками. Если же материальная точка притягивается неоднородным телом произвольной формы с плотностью р(.г, у, 2), то потенциальная функция имеет вид тройного интеграла

Лагранж наравне с Эйлером является создателем вариационного исчисления. Эйлер с 1726 г. создавал свой метод решения экстремальных задач. «Эйлер сделал ясным понятие вариации. Он указал, что в вариационном исчислении искомая кривая сравнивается с бесконечно близкой к ней кривой, причем 5у, Ьу' — не что иное, как бесконечно малые приращения величин уу у'у получающиеся при переходе от искомой кривой к соседней, т.е. 5у — приращение ординаты, 6у' — приращение производной»1 2.

К середине 1750-х гг. Эйлер пришел к уравнению / - f * - 0, но не

у ах J

смог его корректно доказать. Это доказательство смог осуществить 19-летний Лагранж в 1755 г. Он использовал интегрирование по частям для полного доказательства уравнения Эйлера. Свое доказательство Лагранж прислал письмом Эйлеру, и после этого плодотворная переписка длилась в течение многих лет.

Лагранж создал новую эфирную механическую картину мира, которая очень отличалась от ньютоновской механики в ее аутентичном исполнении. Свою новую эфирную механику Лагранж изложил в книге «Аналитическая механика», которая вышла в свет через 100 лет после ньютоновских «Начал».

Новая механика строилась на соединении принципа наименьшего действия и вариационного исчисления: «Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне точно, я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики. Этот принцип, будучи соединен с принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, сколь и общий метод разрешения проблем, касающихся движения тел»2. [8]

С помощью вариационного исчисления Лагранж сумел решить ряд задач, которые не так эффективно решались обычными методами анализа. Лагранж использовал вариационное исчисление для изучения движения неупругих жидкостей, движения тела, притягиваемого к произвольному числу неподвижных центров сил, и т.д. «Якоби позже писал, что лагран- жев принцип наименьшего действия есть мать всей нашей аналитической механики»[9].

  • [1] ковой. С. 191.
  • [2] Там же. С. 243.
  • [3] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 273.
  • [4] Там же. С. 273.
  • [5] Там же. С. 273.
  • [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 287.
  • [7] Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2 т. М.; Л., 1950. Т. 1. С. 10.
  • [8] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 465.
  • [9] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 463.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>