Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математика 0. Коши

Огромный вклад в развитие математического аппарата светоносного эфира внес О. Коши. «Когда Юнг и Френель впервые выдвинули теорию о том, что световые колебания совершаются под прямым углом к направлению распространения света, они в то же время указали, что эту особенность можно объяснить, создав новую гипотезу природы светоносной среды, а именно: светоносная среда обладает способностью сопротивляться попыткам вызвать ее деформацию. Именно эта способность отличает твердые тела от жидкостей, которые никоим образом не сопротивляются деформации, а значит, идею Юнга и Френеля можно выразить простым утверждением: эфир ведет себя как упругое твердое тело»[1].

Именно Коши начал разработку новой математической модели эфира как упругого твердого тела. Эта новая модель потребовала новых математических и физических методов. Коши отбросил старую модель эфира как жидкости с равномерным распределением во все стороны давления.

Вместо этого для изучения эфира он ввел тензоры напряжения и деформации. Коши исходил из перпендикулярности колебания эфира относительно плоскости поляризации света. Различное сопротивление деформации эфира внутри тел позволило ему объяснить различие в преломляющих способностей различных тел.

Итак, Коши начал создавать теорию упругих твердых тел — частиц эфира. Изначально Коши пытался создать теорию единого непрерывного упругого тела, но в последующем принял точку зрения, что все же эфир состоит из отдельных частиц. Но опять же эти частицы не имеют между собой пустоты, поэтому в этом отношении они составляют единое целое как эфир.

Коши рассматривал эфир состоящим из колеблющихся и вращающихся частиц. Но любое перемещение частиц эфира не должно было вызывать появление пустоты, поэтому в эфирной традиции и использовали понятие о бесконечно малой величине частиц эфира и о бесконечно малом перемещении этих частиц. Такое бесконечно малое перемещение и подразумевало непрерывность эфира. Чтобы пояснить такое перемещение, Коши ввел понятие предела. «Когда Коши приступил к перестройке математического анализа на фундаменте новой теории пределов, он соединил ее с теорией бесконечно малых, подчеркивая, что имеет своей главной целью примирить научную строгость с “простотой, вытекающей из непосредственного рассмотрения бесконечно малых величин”»[2].

Бесконечно малое перемещение Коши понимал как разность между двумя ординатами движущейся частицы эфира. Эта разность рассматривалась как некоторая бесконечно малая величина, которая получается интегрированием. Очень характерно, что Коши отказался от неопределенных интегралов традиции Ньютона. Он всемерно старался использовать определенные интегралы. «В интегральном исчислении Коши снова ввел для определенного интеграла от непрерывной на данном отрезке функции восходящее к Лейбницу определение с помощью суммы, которое в работах И. Бернулли и Эйлера отошло совсем на задний план»[3]. Интегрирование же Коши понимал как сумму ряда.

В начале XIX в. эфирная традиция повсеместно вытесняла атомизм. Эфирные представления Юнга и Френеля изгнали атомизм из оптики благодаря новой модели эфира. Именно эту модель эфира описывал и обновленный анализ Коши. Но для этого надо было ввести строгость. Строгость, по Коши, означала избавление от бесконечных рядов как актуального бесконечного. И основной удар Коши направил против оплота атомизма - ряда Тейлора.

Коши приводит «знаменитый предел функции F(x) = е *[3], которая в точке х = 0 не разлагается в ряд Тейлора, хотя последний и сходится»[5].

И более того, Коши писал, что «во многих случаях теорема Тейлора как бы дает разложение функции в степенной ряд, хотя сумма этого ряда существенно отличается от предложенной функции»[6]. Таким образом, Коши требовал, чтобы ряды обязательно использовались только при наличии остаточного члена, который как бы делал их конечными.

Коши «нигде не пользуется широко распространенными в то время неясными понятиями вроде бесконечной суммы и т.п., он имеет дело с конечными, где возможно — числовыми, суммами, сходящимися к определенному значению со скоростью, измеряемой при помощи точно оцениваемого остаточного члена»[7].

Вопрос о сходимости рядов Коши поставил самым общим образом. Он доказал, что сумма ряда, являющегося произведением двух абсолютно сходящихся рядов, равна произведению сумм обоих этих рядов. Коши свел сходимость знакопеременных рядов к сходимости рядов, составленных из модулей их членов. Именно Коши поставил вопрос о круге сходимости. Кроме того, Коши начал рассмотрение сходимости рядов в комплексной области. Но следует сказать, что теория сходимости Коши не была лишена ошибок. Молодой Н. X. Абель нашел ошибку в рассуждениях Коши, касающихся сходимости непрерывных функций. Коши сформулировал неверную теорему о том, что сходящийся ряд непрерывных функций сам представляет собой непрерывную функцию. Абель ввел понятие равномерной сходимости, которое позволило откорректировать доказательство Коши.

Все усилия по внесению строгости в теорию бесконечных рядов были предприняты ради более строго использования рядов при решении дифференциальных уравнений. Коши дает на этой основе следующий способ их решения. Коэффициенты дифференциальных уравнений, по Коши, могут быть разложены в степенные ряды. «Тогда для искомых интегралов можно формально составить ряды, сходимость которых можно доказать, построив их мажоранты. Последний метод доказательства Коши назвал “методом пределов”»[5].

Вообще, решение дифференциальной задачи сводится к некоторой искомой кривой. Сама эта кривая представляется как ломаная. Затем звенья этой ломаной уменьшаются до бесконечности с помощью предельного перехода. Строгость Коши здесь заключается в доказательстве сходимости этого процесса к определенному пределу. Это и есть искомое доказательство существования решения дифференциального уравнения. Решение Коши стремится получить в виде определенного интеграла.

Велики заслуги Коши в построении теории комплексного анализа. В первую очередь Коши распространил свои методы исследования бесконечных рядов в вещественной сфере на комплексные переменные. Оказалось, что сходимость ряда произвольной функции комплексного переменного определяется расстоянием до ближайшей особой точки. С помощью данного конечного круга сходимости Коши опять удается свести бесконечный ряд к конечным суммам, причем остаточный член этого ряда может быть точно оценен. Понятие особых точек как отдельных точек разрыва позволяет Коши сформулировать знаменитую терему об интеграле однозначной комплексной функции по кривой:

где k понимаются как вычеты особых точек данной кривой С.

Благодаря строгому учению о сходимости бесконечных рядов Коши смог строго описать бесконечно малое приращение как таковое. А уже на основе строго понимания бесконечно малого приращения Коши дал свое определение непрерывной функции: «Функция непрерывна, если бесконечно малому приращению переменной соответствует бесконечно малое приращение функции»2.

Коши ввел уточненное понятие непрерывности и связал его с понятием дифференцируемости, т.е. наличием производной. Проблемы в теории Коши вскрылись практически сразу. Еще в первой половине XIX в. Больцано построил функции, которые были непрерывны, но не имели производных. Но работы Больцано не получили широкого распространения. Зато во второй половине XIX в. было построено множество патологических функций. Все эти функции были непрерывны, но не имели производных. Количество этих функций было устрашаемо. Очевидно, что это были не исключения.

Но вернемся к математическому описанию новой модели эфира. После того как Коши навел строгость в теории дифференциальных уравнений, он попытался с их помощью построить модель поведения эфира в кристаллической среде и на границе раздела сред, что описывается уравнениями Френеля. «Его цель заключалось в том, чтобы вывести свойства света из теории колебаний упругих твердых тел. В самом начале в его распоряжении были дифференциальные уравнения движения твердого тела, которые должны были стать его отправной точкой, и уравнения Френеля, которые ему нужно было получить»1.

Но все усилия Коши не привели к полностью удовлетворительным результатам. Эти результаты были получены Гамильтоном и Максвеллом позже. Но эти ученые отталкивались именно от исследований Коши. Основные понятия теории Коши хорошо конвертировались в grad, rot, div. Эти математические операции скоро станут основой для нового представления об эфире как электромагнитной среде.

Следует дополнительно отметить, что Коши рассматривал эфир как сплошную среду. Результатом этих исследований стала теорема Коши - Гельмгольца о распределении скоростей сплошной среды вблизи некоторой точки:

где со — вектор углового вращения элемента среды в некоторой точке, а ср — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды. Движение сплошной среды вблизи некоторой точки складывается из поступательного движения (вектор ?;), вращательного движения (вектор оз х у) и потенциального движения — деформации (вектор Vcp). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим утверждение о справедливости равенства roto = 2оэ. Следовательно, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Реформа Коши привела к серьезным мировоззренческим изменениям в европейской философии первой половины XIX в. В рамках представлений Коши сумма ряда непрерывно приближалась к своему пределу, но никогда с ним не совпадала. Ряды оказались основным познавательным приемом при исследовании функций, но ряд никогда не достигал самой функции, а только бесконечно к ней приближался. Так и в философии возникли представления о том, что абсолютное знание невозможно, а есть только приближение к нему.

Самым значительным примером такого подхода является гегелевская диалектика, а затем уже марксистские представления о диалектическом единстве относительной и абсолютной истины. Кстати, господство гегелевской диалектики закончилось в 1860—1870 гг. вместе с провалом реформы Коши.

  • [1] Уиттекер Э. Указ. соч. С. 128.
  • [2] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 2. С. 266.
  • [3] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 382.
  • [4] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 382.
  • [5] Клейн Ф. Указ. соч. С. 119.
  • [6] Рыбников К. А. История математики. 2-с изд. М., 1974. С. 306.
  • [7] Клейн Ф. Указ. соч. С. 99.
  • [8] Клейн Ф. Указ. соч. С. 119.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>