Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

К. Ф. Гаусс

Рассмотрение математического творчества К. Ф. Гаусса начнем не с работ, посвященных теории чисел и алгебре, а с аналитических исследований. Сами алгебра и теория чисел у Гаусса подчинены исследованию вопросов трансцендентных функций, и в особенности эллиптических функций. В этих исследованиях Гаусс выступает как бы после Коши, поэтому общее изложение эфирной математики будет более последовательным, если работы Гаусса будут изложены после работ Коши.

Основные заслуги Гаусса в анализе заключаются в разработке теории гипергеометрического ряда и эллиптических функций. В предыдущих параграфах несколько раз упоминалось выдающееся значение эллиптических функций для математики XIX в. Теперь постараемся оправдать эти авансы.

Перед тем как рассмотреть роль Гаусса в построение теории эллиптических функций, разберем результаты изучения таких функций, достигнутые в XVII—XVIII вв. «Эллиптические интегралы появляются во многих важных задачах геометрии и механики, например как длины дуги эллипса и гиперболы, периода простого маятника и деформации тонкого упругого стержня. Когда в конце семнадцатого века впервые возникли эти задачи, они поставили первое препятствие перед программой Лейбница интегрировать в “конечной форме” или “элементарными функциями”»1.

Достаточно быстро выяснилось, что эллиптические интегралы представляют собой новые трансцендентные функции, имеющие серьезное значение для исследования упругих свойств эфира. Но в этот период эти свойства упругости только начинали входить во вновь появляющиеся модели эфира. Поэтому пока в целом велась предварительная работа на будущее.

Непосредственно сами эллиптические интегралы возникли при исследовании свойств конических сечений. Оказалось, что обычным способом не удавалось спрямлять дуги конических сечений, как это получалось для дуги окружности, хотя сам эллипс поддается спрямлению с помощью рациональных функций. Поэтому в некоторой степени название эллиптических интегралов и функций некорректно.

Первые работы по эллиптическим интегралам провел Я. Бернулли, рассмотрев равенство между собой длин дуг параболической спирали. Затем И. Бернулли выяснил, что некоторые дуги кубической параболы 3а2у = х3 имеют суммы и разности, равные дуге окружности или отрезку прямой. В 1714 г. Д. К. Фаньяно поставил задачу о разыскании дуг со спрямляемой разностью на параболе четвертого порядка, а затем дал более общий результат для более широкого класса кривых линий. Фаньяно также выяснил, что разности двух дуг кривой алгебраически спрямляемы, когда алгебраически интегрируется дифференциальное уравнение

Каждый член этого дифференциального уравнения в конечном виде не интегрируется, но сумма и разность интегрироваться могут.

Постепенно становилось ясно, что часть интегралов сводится к круговым и логарифмическим функциям, а значительная часть интегралов иррациональных функций может быть сведена к дугам эллипсов и гипербол. Сразу же вставала проблема сравнения между собой дуг различных конических сечений, т.е. преобразования одних эллиптических интегралов в другие. Кроме того, за каждым таким интегралом стоит дифференциальное уравнение, описывающее какое-либо свойство нового упругого механического эфира. Важный шаг в этом направлении сделал Эйлер. «30 мая 1752 года он сообщил Гольбаху, что “недавно встретился с любопытными интегрированиями”, а именно, нашел алгебраические интегралы дифференциальных dx dy

уравнении . = , , где т = 3 или 4, а отсюда получил теорему:

VI - хт V1 - Ут

если провести к дуге четверти эллипса АВ касательную TV в какой-либо точке М, отложить на ней TV = СА и провести параллельно СГ, то разность дуг ВМ - AN = МРу где Р — основание перпендикуляра, опущенного на TV из центра С»1 (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Постепенно Эйлер пришел к общей теореме сложения эллиптических интегралов, которую можно выразить следующим образом:

где ф(х, у у а) — алгебраическая функция.

Лежандр представил эллиптические дуги в удобной тригонометрической форме и дал их разложение в сходящиеся ряды. Но основная заслуга Лежандра заключалась в выделении трех родов эллиптических интегралов:

История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 357.

Лежандр сумел найти формулу сложения эллиптических интегралов первого рода. Эйлер же смог найти формулы сложения для всех трех родов эллиптических интегралов. Свои результаты Эйлер получил при нахождении алгебраических интегралов уравнения

Теперь перейдем к изложению вклада Гаусса в построение новой модели эфира как упругого твердого тела. Этот вклад заключался в систематическом исследовании эллиптических функций. «С круговыми и логарифмическими функциями, — писал Гаусс Г. X. Шумахеру 17 сентября 1808 года, — мы умеем обходиться, как с единожды один, но великолепный золотой рудник, хранящий сокровенное высших функций, остается пока почти terra incognita. Я очень много работал над этим прежде и со временем дам собственный большой труд об этом, на что я намекал еще в моих “Disquisitiones arithmeticae”, с. 593. Приходишь в изумление от чрезвычайного богатства новых в высшей степени интересных истин и соотношений, доставляемых этими функциями (к ним принадлежат, между прочим, и те, с которыми связано спрямление эллипса и гиперболы)»[1].

Правда, Гаусс не выполнил своего обещания, и большой труд, посвященный эллиптическим функциям, гак и не увидел свет. Но данный отрывок вполне показывает значение эллиптических функций и интегралов для европейской математики первой половины XIX в.

Гаусс начал изучение эллиптических интегралов еще юношей в 1797 г. Он рассмотрел частный случай эллиптических функций — лемнискатиче- скую функцию. Эта функция определяется как обратная интегралу, выражающему длину дуги лемнискаты. Дуга ОАВ на рис. 2.11 соответствует dt

интегралу -,

‘ oVl-?4

Рис. 2.11

Гаусс обнаружил двойную периодичность интеграла для дуги лемнискаты:

Исходя из этого результата Гаусс сделал общий вывод о двойной периодичности эллиптических функций. Это было обобщение частного случая для лемнискатической функции. «Не может подлежать никакому сомнению, что ранее открытие двойной периодичности лемнискатической функции позволило Гауссу понять необычайную важность комплексных величии, как чисел и как переменных»1.

Гаусс выяснил, что лемнискатическая функция имеет действительный период как любая периодическая функция, но кроме этого эта функция имеет еще мнимый период. Отсюда и возникло представление о двоякопериодичной функции. Такое разложение подразумевает выход в комплексную область. Итак, Гаусс устанавливает связь между арифметически-гео- метрическим средним и длиной лемнискаты и исследует эллиптические функции, в которых параллелограммом периодов является квадрат.

К 1800 г. Гаусс уже работает с общими двояко-периодическими функциями, в которых квадрат заменен на произвольный параллелограмм. Эпизодические появления комплексных чисел превращаются в их абсолютную обязательность. Эллиптические функции — это новый золотой рудник, с этими функциями связываются надежды на окончательное построение эфирной модели. И получается, что золото из этого рудника невозможно добыть без комплексных чисел. Именно поэтому в первой половине XIX в. с поразительной скоростью было завершено построение теории комплексных чисел. Эта необходимость была вызвана эллиптическими функциями, а в конечном счете новыми моделями эфира как твердого тела.

Вернемся к исследованиям Гаусса о двоякопериодических эллиптических функциях. «Но для себя самого Гаусс, исходя из представления обоих периодов с помощью арифмегическо-геометрической средней, разработал еще одно построение эллиптических функций, независимое от интеграла 1-го рода и обоснованное значительно глубже. Этот путь вел также к тэта- функциям, и Гаусс уже в 1800 г. владел основной формулой Якоби, которая связывает представление тэта-функций в виде произведений с их представлением в виде рядов»[2]. Гаусс представил тэта-ряды сначала в виде произведения:

Эти формулы полностью соответствуют одному из частных случаев тэта-функций. Кроме того, Гаусс разложил эти функции в ряды по синусам для P(z) и косинусам — для Q(z).

Изучение эллиптических интегралов привело Гаусса к гипергеометрическому ряду. Этот ряд оказался тождественен с разложением эллиптического интеграла

Гинергеометрический ряд имеет следующий вид:

Сам по себе гипергеометрический ряд содержит в себе как частные случаи много очень известных рядов. Но в первой половине XIX в. гипергеометрические ряды оказались очень интересными, потому что через них можно было выразить эллиптические модулярные функции и их обращения. А эллиптические интегралы в свою очередь оказались инструментом описания новых эфирных моделей. Кроме того, математики работали с дифференциальными уравнениями «с коэффициентами, рационально зависящими от х, для которых гипергеометрический ряд представляет частный интеграл ... Гаусс отмечал, что едва ли можно назвать какую-либо изучавшуюся аналитиками трансцендентную функцию, которую нельзя было бы свести к этому ряду»[3].

Теперь попытаемся рассмотреть непосредственно сами эллиптические функции. Для их понимания Гаусс в «Арифметических исследованиях» строит теорию квадратичных форм вида ат + 2Ьтлт2 + стх. Может показаться, что это просто числовые упражнения, например представление какого-нибудь числа через такую-то форму. Но это совсем не числовые игры, как и в случае Диофанта или Ферма. Квадратичные формы оказываются существенными и необходимыми компонентами эллиптических интегралов. А ведь об их исключительном значении уже говорилось не раз. Согласно Гауссу, квадратичная форма являются нормой комплексных чисел:

А эти комплексные числа в свою очередь представляют некоторую решетку. Эта решетка характеризуется числами х + iy = mx(Oj + т22, где г b + 4-D

coj = о2 =-7=—. Сами числа cot и со2 являются двумя периодами

у/а

двоякопериодической эллиптической функции. Именно через эти числа и выражаются, по Гауссу, эллиптические функции:

Первые две эллиптические функции называются основными. Они имеют необычные решетки. В вершинах этих решеток располагаются полюса второго порядка для первой функции и третьего порядка — для второй функции. Кстати, к этим четырем видам можно свести все эллиптические функции.

Гаусс рассматривает преобразование эллиптических функций, включающее умножение и деление, как преобразование решетки параллелограмма. Именно этот параллелограмм характеризуется комплексными числами. Поэтому эллиптические интегралы невозможны без расширения представления о числе и введении комплексных чисел. Вот как характеризует эти преобразования Гаусса Клейн: «Функции, автоморфные только относительно части подстановок тернарой группы, можно получить, вставляя в заданную решетку параллелограммов другую, вершины которой составляют часть всей совокупности вершин основной решетки. Элементарный параллелограмм новой решетки имеет уже площадь, равную не , но некоторому целому кратному этой величины zzV-Z)»[4].

Гаусс также вводит и комплексное умножение эллиптических функций. Это действие оказывается возможным для решеток особого вида. В эти решетки могут быть вставлены подобные и в то же время не подобно расположенные параллелограммы. Простейшим примером комплексного умножения является 5 = (2 + i)(2 - г).

«Арифметические исследования» Гаусса заканчиваются решением задачи о делении круга на 17 частей. Но это лишь частный пример общего метода Гаусса, который он развил для решения эллиптических функций. К сожалению, Гаусс лишь намекнул на это: «Они могут быть применены не только к круговым функциям, но и к многим другим трансцендентным

функциям, например к тем, которые зависят от интеграла j . »[5].

V 1-х4

Гаусс так и не дал систематического изложения своих результатов. Но такие математики, как Абель, достаточно легко вычитали метод Гаусса в «Арифметических исследованиях». Правда, на это понадобилось европейской математике более 20 лет.

Когда появились первые работы Абеля, Гаусс писал: «К обработке исследований о трансцендентных функциях, ведущихся уже много лет (с 1798 года), я, пожалуй, пока не смогу приступить, так как сначала должен разделаться со многими другими вещами. Г-н Абель, как я вижу, предупредил меня теперь и облегчил мой труд примерно на одну треть этих вещей, тем более что он провел все выкладки элегантно и кратко. Он избрал совершенно тот же путь, который я проложил в 1798 году, поэтому неудивительно большое совпадение результатов. К моему удивлению, это распространяется также и на форму и отчасти на выбор обозначений. Так что многие его формулы кажутся точной копией моих. Во избежание всякого недоразумения я отмечаю, однако, что я нс помню, чтобы я когда-нибудь делился этими вещами с кем бы то ни было»[6].

Очевидно, что Гаусс приписывает себе знания по данному вопросу, превосходящие Абеля, примерно на две трети. Клейн в этой связи задается вопросом: «Возникает естественный вопрос, какими же частями этой теории Гаусс еще не владел? Сюда относится прежде всего общий способ нахождения периодов эллиптических интегралов, рассматриваемых как интегралы от многозначных функций комплексного переменного, путем интегрирования по контуру в комплексной области. Возможно, что именно это обстоятельство и побудило Гаусса воздержаться от опубликования своих результатов»[7].

Необходимо сказать несколько слов об астрономических и физических исследованиях Гаусса. Гаусс в своих астрономических расчетах использовал бесконечные тригонометрические ряды, коэффициенты которых получаются путем вычисления определенных интегралов. Но эти методы в основном носили приближенный характер. Интерес к астрономии привел Гаусса к рассмотрению проблемы земного магнетизма. Он выражал потенциал земного магнетизма через конечный ряд шаровых функций.

Использование Гауссом рядов и, особенно, исследования по неевклидовой геометрии характеризуют его предчувствие наступления новой эры атомизма. Но сам Гаусс всегда боялся «криков беотийцев», поэтому предпочитал не публиковать свои слишком революционные математические теории. Лишь в переписке с близкими ему учеными он высказывал свои мысли, предвосхищая будущие открытия не только в математике, но и в физической теории. «Здесь я хотел бы обратить внимание только на письмо к Веберу, относящееся к 1845 году. Там имеется заслуживающее внимания замечание, что добавочные силы взаимодействия движущихся частиц электричества должны быть выведены из воздействия, распространяющегося с конечной скоростью (аналогично свету). В этих словах несомненно выражается предчувствие современной связи электродинамики и оптики»[8].

  • [1] Математика XIX века. Т. 2. С. 127.
  • [2] Там же.
  • [3] Математика XIX века. Т. 2. С. 134.
  • [4] Клейн Ф. Указ. соч. С. 74.
  • [5] Математика XIX века. Т. 2. С. 149.
  • [6] Математика XIX века. Т. 2. С. 134.
  • [7] Клейн Ф. Указ. соч. С. 82.
  • [8] Там же. С. 52.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>