Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Н. X. Абель, К. Якоби, Э. Галуа

Значительная часть результатов, достигнутая Абелем, уже была известна Гауссу. Но поскольку, как сказано выше, Гаусс не публиковал свои результаты и не систематизировал их в должной мере, Абелю принадлежит, помимо несомненных открытий в этой области, полное и систематичное изложение теории эллиптических функций. Не менее важная заслуга Абеля заключается в том, что он первым опубликовал исследования, согласно которым эллиптические функции определяются как обратные эллиптическим интегралам.

Абель обращает интеграл первого рода а = J . _ в три

о д/(1 - с2х2)( 1 + е2х2)

вида обратных ему эллиптических функций х = ф(а), /(а) = >/l - с2ф2(а),

F(a) = д/l + е2ф2(а). Затем он использует эйлеровскую теорему сложения, осуществляя сложение этих функций. Произведя замену х на xi, Абель получает эллиптическую функцию мнимого значения аргумента. А затем, опять используя теорему сложения, определяет все три вида эллиптических функций в случае уже комплексного аргумента a + (3/. И сразу же из этого следовала двойная периодичность:

Следующий шаг Абеля несомненно носит фундаментальный характер. Абель начинает рассматривать деление аргумента эллиптической функции. При чтении «Арифметических исследований» Гаусса Абель вполне осознал, что метод деления Гаусса, используемый для разделения круга, может вполне использоваться и для кривых более высокого порядка. И при решении этой задачи он достигает своих результатов по проблеме разрешимости уравнений в радикалах, т.е. проблему основной теоремы алгебры. «Абель замечает, что уравнение деления (при ф(жх) = 0) удовлетворяет выявленному им критерию разрешимости уравнения в радикалах и выводит выражение ф(а) через ф(шх)»[1] [2].

«“Я раскрыл с одного раза тайну, которая покрывала гауссову теорию деления окружности, — писал он Хольмбое в декабре того же 1826 года. - Я вижу ясно, как день, как он пришел к этому. То, что я рассказал о лемнискате, один из результатов, извлеченных из моих исследований по теории уравнений”. Слова эти, высказанные по частному поводу, имеют более общее значение: исследования Абеля по теории трансцендентных функций теснейшим образом переплетались с его алгебраическими изысканиями»2.

Итак, Абель связывает вопросы деления эллиптических функций с вопросом деления на равные части соответствующих дуг. Он подробно разбирает вопрос для лемнискаты, делением которой занимался еще Фаньяно. В 1826 г. он выясняет, что лемниската делится с помощью линейки и циркуля в тех же случаях, что и окружность у Гаусса. При этом снова подчеркивается выдающаяся роль простых чисел при осуществлении деления и окружности, и лемнискаты. «Ответ на задачу деления лемнискаты на п равных частей найден Абелем (1827), который преобразовал туманность Гаусса в кристальную ясность: деление с помощью линейки и циркуля возможно для точно такого же п, как для круга. Этот удивительный результат служит, возможно, лучше, чем любой другой, подчеркиванию объединяющей роли эллиптических функций в геометрии, алгебре и теории чисел»3.

Следует сказать, что Абель много занимался вопросами преобразований эллиптических функций. Если рассмотреть этот вопрос с точки зрения интегралов, то речь идет о преобразованиях переменных, переводящих один эллиптический интеграл в другой. Абель также ввел так называемые абелевы интегралы.

«Теорема сложения была распространена в 1826 году Абелем на так

и

называемые абелевы интегралы J R(x, y)dx, где R — рациональная функция,

о

а х, у связаны любым алгебраическим уравнением F(x, у) = 0. Сумма таких интегралов с различными пределами не представима, если они не эллиптические, одним интегралом того же вида (не считая алгебраически-логариф- мических слагаемых), но она может быть выражена определенным числом р таких интегралов. Тем самым Абель решил вопрос, над которым размышляли Эйлер и Лагранж, пришедшие лишь к выводу, что для гиперэллиптически х интегралов обычная теорема сложения неверна»[3].

В заключение рассказа об Абеле необходимо отметить, что ему принадлежат заслуги в открытии тэта-функций. «При разложении в простые бесконечные ряды и произведения появились те функции, которые вскоре Якоби в “Новых основаниях теории эллиптических функций” поставил в центре всей теории под именем тэта-функций»[4].

Эллиптические интегралы и обратные им эллиптические функции оказались очень сложными для изучения объектами. Поэтому возникло естественное желание упростить их, выразив через более простые функции. И такую роль элементарных компонентов выполнили тэта-функции, которые появились еще у Абеля. Но свой фундаментальный характер они проявили лишь в творчестве Якоби. Основная интенция Якоби заключалась в построении эллиптических функций с помощью более простых и удобных тэта-функций.

«В основу изложения положены четыре тэта-функции, определения и свойства которых даются независимо от эллиптических интегралов.

+оо

Исходным является ряд вида ? е°п +Ьп+С, где бис - некоторые линейнаоо

ные функции х и а — комплексная постоянная, действительная часть которой отрицательна. Последнее условие обеспечивает, как скажем мы теперь, абсолютную и равномерную сходимость ряда в любом круге конечной плоскости; следовательно, сумма ряда является целой функцией»[5].

Быстрота сходимости оказалась одним из самых выигрышных моментов тэта-функций. Эта быстрота обеспечивалась за счет множителя qn2/A или g(2/?+i>[4]/4 Это оказалось особенно удобно в различных приложениях механики.

Теперь приведем математическую формулировку всех четырех тэта- функций, выраженных через ряды как показательных, так и тригонометрических функций:

А теперь дадим основной результат Якоби, который заключается в представлении эллиптических функций через тэта-функции:

«Рассмотренный здесь новый подход Якоби к теории эллиптических функций весьма примечателен с исторической точки зрения. Действительно, не прошло еще и десяти лет со времени, когда была заявлена идея обращения эллиптических интегралов, а уже математики хотят освободиться в построении основ теории эллиптических функций от условий той конкретной задачи, которая их привела к этим функциям, и ввести соответствующий класс, исходя из более общих соображений. В качестве элементов построения берутся однозначные и притом целые функции, заданные соответствующими всюду сходящимися рядами»[7]. Очевидно, что однозначные и целые функции — это тэта-функции Якоби.

Якоби не остановился на эллиптических функциях и интегралах, он также занялся рассмотрением гиперэллиитических интегралов. «Якоби рассмотрел уже более общую задачу об обращении интегралов

где Рв(х) — полиномы шестой степени. Подобно тому как эллиптические интегралы имели два модуля, каждый из этих интегралов имел четыре модуля. Но применяя, по образцу эллиптических интегралов, идею инверсии к гиперэллиптическим интегралам, Якоби пришел к четырехкратно периодическим функциям х{их) и х(и2), поведение которых оказалось загадочным, проявляющимся в том, что в каждой точке они принимали любое произвольное значение»[8].

Якоби не смог адекватно объяснить этот феномен. Это удалось сделать чуть позже Риману, который ввел для объяснения многолистную поверхность. Таким образом, Якоби подошел вплотную к абелевым интегралам, но не смог найти нужные решения. Заслуга Якоби заключается в том, что он акцентировал внимание на абелевых интегралах. Именно он назвал абелевыми интегралы вида R(x> y)dx, где R — рациональная функция, а у = у(х) — алгебраическая функция, заданная уравнением /(х, у) = 0 (J - непрерывный многочлен от х и у).

«Для определения значения абелева интеграла j R(x, y)dx недостаточно указать пределы интегрирования х0 и х. Нужно еще фиксировать путь интегрирования /, т.е. кривую, соединяющую х0 с х, и, кроме того, выделить на / однозначную ветвь алгебраической функции у = у(х) (вообще многозначной)»[9]. Если вдоль пути интегрирования не встретятся критические точки, то абелевый интеграл будет однозначен. В противном случае значения интеграла по разным путям будет различным.

Теперь перейдем к изложению удивительных открытий юного Галуа, создавшего не по годам зрелую математическую теорию. Клейн так характеризует достижения Галуа: «Крупные достижения Галуа лежат в двух направлениях.

  • 1. Он создал первую глубоко проникающую классификацию иррациональностей, определяемых алгебраическими уравнениями, учение, которое еще и в настоящее время коротко называется теорией Галуа.
  • 2. Он с глубоким проникновением работал над интегралами произвольных алгебраических функций одной переменной — абелевыми интегралами, как говорим мы теперь, — и оставил в этой области известные результаты, которые позволяют смотреть на него как на предшественника Римана»[10].

Теорию Галуа во многих учебниках и работах представляют совершенно формально вне связи с иррациональностями, и особенно вне связи с абелевыми интегралами. Как только устанавливается последняя связь, то сразу становится ясна выдающуюся роль Галуа в разработке того золотого рудника, о котором говорит Гаусс. Работы Галуа в 1830-х гг. были практически совершенно не актуальны для большинства математиков. Но в середине 1840-х гг. остро встал вопрос изучения свойств именно абелевых интегралов. И именно тогда Лиувилль печатает работы Галуа, которые разрешили большинство возникших проблем.

«При всей их самобытности работы Галуа все же связаны с общим развитием науки. Лагранж, Гаусс и Абель имели на него решающее влияние. Но в то время как эти его предшественники занимались только решением проблемы в частных случаях, именно тогда, когда возможно ее сведение к функциям деления круга или эллиптическим функциям, Галуа поставил ее во всей всеобщности»[11]. Всеобщность, как уже выше упоминалось, заключалась в исследовании максимально общих абелевых интегралов.

Вот еще одно свидетельство, устанавливающее связь теории Галуа и проблем абелевых интегралов: «Однако главное орудие, которым Галуа пользовался в своих исследованиях, — описание числовых алгебраических полей при помощи соответствующих им групп, — обнаружило свою силу также в достаточно отдаленных областях математического анализа. На его основе в математике возникли такие новые отделы, как “римановы поверхности”, “автоморфные функции”, “непрерывные группы преобразований”, и тому подобное»[12]. Поэтому невозможно понять теорию Галуа, если идти со стороны решения алгебраических уравнений степени выше четвертой. Надо идти именно со стороны абелевых интегралов.

Чтобы не осталось никаких сомнений в истинной сути теории Галуа, приведем отрывок из письма к Шевалье, написанного в ночь перед трагической дуэлью. Фрагмент достаточно большой и с математической точки зрения сложный. Но там встречаются абсолютно все понятия теории Галуа. Этот фрагмент раскрывает то, зачем это теория была создана.

«Последнее приложение теории уравнений относится к модулярным уравнениям эллиптических функций. Известно, что группа уравнения, имеющего корнями синусы амплитуды (р[13] - 1)-го деления периода, такова: xk,i>xak+bl,ck+dl- Следовательно, соответствующее модулярное уравнение

имеет группой Xk/'xak+bl/ck+db в которой k/l может принимать р + 1 значение 0, 1, 2, ...,р - 1. Итак, условившись, что k может быть бесконечным, можно просто написать^,xak+b/ck+d. Давая a, b, с, d все значения, получим + 1 )р(р - 1) перестановок. Но эта группа разлагается собственным образом на две группы, подстановки которых суть xk,xak+b/ck+d, где ad - be — квадратичный вычет р. Упрощенная таким образом группа состоит из

Р — 1

+ 1 2 пеРестаповок- Но легко видеть, что она не разложима больше

собственным образом, если только р * 2 или р * 3. Итак, каким бы образом мы не преобразовывали уравнение, его группа всегда имеет одно и то же число перестановок. Но любопытно знать, может ли быть понижена степень. Прежде всего она не может быть понижена ниже /?, так как уравнение степени, меньшей р, не может иметь р множителем числа перестановок своей группы»[13].

Далее Галуа рассматривает уравнение степени р + 1 и выясняет с помощью теории перестановок, может ли оно быть понижено до степени р. «Таким образом, в случае р = 5, 7, 11 модулярное уравнение понижается до степени р. Можно показать со всей строгостью, что это уравнение невозможно в более высоких случаях»[15]. В этом фрагменте прослеживается связь модулярных уравнений эллиптических функций и теории решения уравнений с помощью перестановок. Именно решения уравнений эллиптических функций стимулировало развитие теории групп перестановок (теории Галуа).

Галуа, исследуя свойства эллиптических функций, вполне определенно показывает их связь с иррациональностями: «Известно, что сумма членов одной и той же эллиптической функции всегда сводится к только одному члену плюс алгебраические и логарифмические количества. Нет других функций, для которых имело бы место это свойство. Но у всех интегралов от алгебраических функций эго свойство заменяется абсолютно подобным. Рассмотрим сразу все интегралы, дифференциал которых есть функция от переменной и одной и той же иррациональной функции от этой переменной, будет ли или не будет эта иррациональность некоторым радикалом и выражается или не выражается она в радикалах»[16].

Итак, смысл всей теории Галуа заключается в разработке теории решения уравнений, содержащих эллиптические функции. А это и есть трансцендентный анализ. «Мои главные размышления уже несколько времени были направлены к приложению к трансцендентному анализу теории неопределенности (Гambigulte). Речь идет о том, чтобы видеть a priori, какие замены можно произвести, какие количества можно подставить вместо данных количеств в соотношение между трансцендентными количествами или функциями так, чтобы соотношение не перестало иметь место»[17].

В этой главе было прослежено развитие теории эллиптических и абелевых функций. Именно эти трансцендентные функции, по мнению математиков середины XIX в., должны были помочь описать новую модель эфира как упругого твердого тела. Этим объясняется огромная популярность этой области математики в этот период. Но уже к 1870-м гг. интерес к этим функциям стал снижаться. Это произошло по нескольким причинам.

Во-первых, внутри эфирной математики большое распространение получила теория Гамильтона, о которой подробнее будет рассказано в следующем параграфе. Именно на основе математического аппарата этой теории были построены электромагнитные модели эфира второй половины XIX в.

Во-вторых, с 1870-х гг. начинает мощно развиваться новая атомистическая математическая теория. Патологические функции серьезно подрывают доверие к эфирной математике и ее проблематике. К концу XIX в. основные усилия математиков направлены уже на развитие теоретико-множественного атомистического подхода. Правда, в этот же период два крупных математика Клейн и Пуанкаре возрождают исследования по эллиптическим и абелевым функциям, но этот всплеск интереса был, пожалуй, последним значимым событием в развитии этой теории. В начале XX в. эфирная концепция стала постепенно угасать под давлением со стороны атомизма. Вместе с эфиром стали уходить и математические проблемы, с ним связанные.

  • [1] Математика XIX века. Т. 2. С. 148.
  • [2] Там же. С. 149-150.
  • [3] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 3. С. 358.
  • [4] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 394.
  • [5] Математика XIX века. Т. 2. С. 154.
  • [6] Вилейтнер Г. Указ. соч. С. 394.
  • [7] Математика XIX века. Т. 2. С. 157.
  • [8] Добровольский В. А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев, 1974. С. 352.
  • [9] Математика XIX века. Т. 2. С. 165.
  • [10] Клейн Ф. Указ. соч. С. 123.
  • [11] Там же. С. 126.
  • [12] Чеботарев Н. Г. Проблемы современной теории Галуа // Галуа Э. Сочинения. М., 1936.С. 183-184.
  • [13] Галуа Э. Сочинения. М.; Л., 1936. С. 53.
  • [14] Галуа Э. Сочинения. М.; Л., 1936. С. 53.
  • [15] Там же. С. 55.
  • [16] Галуа Э. Сочинения. С. 55.
  • [17] Там же. С. 58.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>