Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Математика Древнего Египта и Вавилона

Положения математики атомизма и математики материального эфира, которые встречаются в Древнем Египте и Вавилоне, уже были изложены в соответствующих главах. Сейчас настала очередь изложить математику площадей”»[1] [2].

первоэлементов этих цивилизаций. Египтяне знали о первоэлементах. Эго подробно разбиралось в главе, посвященной материальному эфиру. Поэтому вопрос состоит в том, знали ли они о правильных многогранниках.

Одних всемирно известных египетских пирамид вполне достаточно, чтобы ответить утвердительно на этот вопрос. Само слово «пирамида» происходит, по одной из версий, от древнеегипетского названия египетских пирамид «пурама», которому греки придали форму ттурарц»1. Ведь равноугольная и равносторонняя пирамида и есть один из правильных многогранников. Естественно, касательно египетских пирамид можно заключить только то, что они есть условное символическое выражения первоэлемента огня. Огонь есть самый близкий по расположению к небесному эфиру первоэлемент. Поэтому, чтобы взойти на небо, фараону нужно было такое «огненное сооружение».

«Прокл писал в V веке, что “согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении

Чтобы систематизировать египетский и вавилонский материал, будем использовать «Начала» Евклида как эталон математики первоэлементов. К сожалению, кроме «Начал» современные историки математики не имеют больше ни одного столь фундаментального древнего изложения традиции математических первоэлементов. Поэтому постараемся излагать исторический материал по порядку, определенному Евклидом в «Началах».

Сначала рассмотрим прямолинейные плоские фигуры и многообразные их свойства, как это делал Евклид в первой и второй книгах. И древние египтяне, и древние вавилоняне знали все плоские элементарные прямолинейные фигуры и их свойства. Правда, имеющиеся у нас египетские тексты носят более практичный и ученический характер, поэтому многие правила по определению, например, площадей носят лишь приближенный характер.

«В геометрии, как мы уже сказали, одной из важнейших проблем являлось определение площадей. Египтяне, как и некоторые другие народы, пользовались обыкновенно для определения площади четырехугольника

; , о , „ + с) (b + d)

со сторонами а, о, с, а неверной формулой---, а для определения площади треугольника со сторонами а, а и b формулой являющейся пределом предыдущей. Впрочем, формулы эти не дают плохого приближения, если углы четырехугольника или прилегающие к стороне b треугольника углы не на много отклоняются от прямого угла. Выражение площади содержит в этих случаях ошибку, так сказать, второго порядка»[3].

Древним египтянам приписывается знание ключевой теоремы первой книги «Начал» — теоремы Пифагора. Но имеющиеся в нашем распоряжении древнеегипетские папирусы не содержат упоминания об этом. Даже нет перечисления чисел, которые можно было бы принять за пифагоровы тройки. «Правда, греческие ученые, побывавшие в Египте, сообщают, что для построения прямого угла употреблялась веревка, разделенная на 12 равных частей; с этой целью концы веревки связывались и она натягивалась в виде (прямоугольного) треугольника со сторонами 3:4: 5. Но эти свидетельства относятся уже к середине 1 тыс. до н.э. Между тем, как мы видим, теорема Пифагора была известна задолго до этого в Древнем Вавилоне»[4].

По мнению некоторых ученых, изучение прямоугольных треугольников могло привести древних египтян даже к некоторым простейшим тригонометрическим соотношениям. «Употреблявшиеся египтянами формулы показывают, что они подобно нам принимали за единицу площади квадрат со стороной, равной единице длины. Для построения прямых углов на плоскости пользовались, по-видимому, треугольником со сторонами, соответственно равными 3, 4 и 5; а при построении пирамид или но крайней мере при определении их размеров пользовались, кажется, отношением между полудиагоналыо основания и ребром, т.е. тем, что мы теперь называем косинусом угла, образуемого ребром с плоскостью основания»[5]. Из криволинейных плоских фигур египтяне знали круг и даже вычисляли его площадь методом исчерпывания, о чем будет рассказано ниже.

Теперь рассмотрим подробнее планиметрические знания древних вавилонян. «Область рассматриваемых плоских и телесных объектов в главном совпадала с египетской, но была расширена: изучению были подвергнуты некоторые правильные многоугольники, сегмент круга, усеченный конус»[6]. Особенно стоит обратить внимание на появление правильных многоугольников, которые обязательны при построении правильных многогранников.

В некоторых клинописных табличках были обнаружены перечни констант, которые можно соотнести с правильными пятиугольниками, шестиугольниками и семиугольниками. «Э. М. Брейнс разъяснил значение этих чисел: они дают площади названных многоугольников, если сторона принята за единицу»[7].

По Евклиду, правильные многоугольники строятся с необходимым использованием свойств описанного круга, поэтому не случайно древние вавилоняне продвинулись в исследовании кругов и их свойств. Нейгеба- уэр вполне определено приписывает древним вавилонянам знание теоремы Пифагора. Он приводит табличку, на которой нарисован квадрат с двумя диагоналями. Способ вычисления диагоналей свидетельствует, по мнению Нейгебауэра, об осознанном использовании теоремы Пифагора.

«Приведенный выше пример определения диагонали квадрата но его стороне является достаточным доказательством того, что теорема “Пифагора” была известна более чем за тысячу лет до Пифагора. Это подтверждается и многими другими примерами использования этой теоремы в текстах-задачах того же периода, а также периода Селевкидов. Иными словами, на протяжении всего времени существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы»[8].

Теперь посмотрим, какие древние задачи можно отнести к теории пропорции и теории подобия, изложенных в арифметических книгах «Начал» Евклида. «При решении задач, которые в случае алгебраического выражения их зависели бы от уравнений вышеприведенного вида, мы впервые встречаем употребление правила ложного положения, с которым нам придется впоследствии иметь часто дело. Метод этот состоит в постановке вместо х пробного значения хх если употребление этого значения дает d{

вместо d, то х = хх »[9].

d

На самом деле известнейшее правило ложного положения можно интерпретировать через теорию пропорции величин. Эта теория подробно развита Евклидом в пятой и шестой книгах «Начал». Приведем эту возможную интерпретацию: «Например, условие задачи № 26 в папирусе Райнда гласит: “Количество и его четвертая часть дают вместе 15” (мы бы записали: х + + 1/4г= 15), а решение начинается словами: “Считай с 4; от них ты должен взять четверть, имеют 1; вместо 5”. После того вычисляются 15 : 5 = 3 и 4 х х 3 = 12. Естественно понимать дело так. Вычислитель принимает, что количество есть 4. Тогда прибавление четверти количества дает 5, а должно быть втрое больше (15 : 5 = 3); поэтому искомое количество также должно быть втрое больше принятого (4 -3=12). Вообще, если “ложное положение” есть

Ха и оно дает р{ вместо р, то х: хх =/?:/?,, х = х* • —. Такие общие рассуж-

Р

дения и пропорции в папирусах не встречаются, но идея пропорциональности, на которой основано правило ложного положения, была очень простой и доступной и, кроме того, широко распространенной в древности»[10].

Это не единственная задача, решенная с помощью применения пропорциональности. Решение задачи № 6 Московского папируса также основано на пропорциональной зависимости между квадратом предположенного значения длины и предположенной площадью, с одной стороны, и истинным значением длины и истинной площадью — с другой.

Элементарные операции по сложению, вычитанию, умножению и делению чисел отнесем к полю задач теории чисел, изложенной Евклидом в 7—9 книгах «Начал», так как египетский способ умножения и деления основан на использовании ряда нарастающих значений степеней двойки. В этом смысле египтяне использовали одну из самых удивительных по прозорливости систем умножения и деления чисел. Египетская система выполнения этих операций основывалась на двоичном принципе умножения. Нейгебауэр пишет, что «современные вычислительные машины снова используют этот “двоичный” принцип умножения»[11].

Постараемся коротко рассказать о способе умножения, который использовали египтяне. Допусти нам надо умножить 18 на 25. Древние египтяне сводили это умножение к последовательному удвоению и суммированию. В первых двух столбцах таблицы совершенно автоматически выписываются последовательно нарастающие степени числа 2. Для удобства ограничимся четвертой степенью, но можно было остановиться и на третьей. Первые два столбца будут выражать число 18. А третий столбец относится ко второму сомножителю — числу 25:

1

2о

25

2

21

50

4

22

100

8

2з

200

16

24

400

Итого

450

Египтяне строят такую таблицу, где каждой степени двойки соответствует удвоение второго множителя. В нашем примере — это число 25. В таблице хорошо видно, как это число с каждым шагом удваивается: 25, 50, 100, 200, 400. А дальше надо просто взять числа из первого столбца так, чтобы при их сложении получилось 18. Например, 18 = 16 + 2 или 18 = 8 + 4 + 4 + 1 + 1. А теперь надо просто суммировать соответствующие этим числам первого столбца числа из третьего столбца. В примере 18 = 16 + 2 числу 16 соответствует 400, а числу 2 соответствует 50. При сложении этих двух чисел из третьего столбца и получается необходимое нам 450 = 400 + 50 = 18 умножить на 25. Те же самые 450 получаться и для второго разложения 18 = 8 + 4 + + 4 + 1 + 1. Этому будет соответствовать сумма 450 = 200 + 100 + 100 + 25 + + 25. И так можно умножить любое число на любое другое число.

Теперь рассмотрим древнеегипетский способ деления. Пока разберем простейший вариант, где этот механизм вычисления работает без проблем. Например, надо разделить 18 на 3. В первых двух столбцах, как обычно, пишем степени 2, а в третьем столбце удваиваем делитель — число 3. При этом получаем 3, 6, 12. В отличие от сложения теперь надо складывать числа в третьем столбце, чтобы получить 18. Это число можно получить, сложив 12 и 6. Эти числа занимают вторую и третью строчки третьего столбца. Этим числам соответствуют два числа из первого столбца. Числу 12 соответствует 4, а числу 6 — число 2. Вот эти числа из первого столбца надо сложить, чтобы получить итоговое 6:

1

20

3

2

21

6

4

22

12

Итого

18

Но это простейший пример, когда деление происходит без остатка. В противном случае в ход идут легендарные египетские «единичные дроби» как их называл Нейгебауэр. На современном математическом языке это называется аликвотные дроби как доли единицы вида 1 /п. Разберем это на следующем примере: разделить 16 на 3. Опять строим таблицу, подобную таблице, использованной в предыдущем примере. Но здесь для получения 16 надо сложить первую и третью строчки. При этом можно получить не 16, а только 15.

1

3

2

21

6

4

2[9] [13]

12

Итого

16

И для дальнейшего решения египтяне использовали дроби. «Что касается дробей, то они разлагали их на доли единицы, т.е. на дроби с числителем единицей или а. Руководство Ахмеса содержит таблицу подобных разложений дробей с числителем 2 и знаменателями от 3 до 99, кончающуюся разложением 2/99 = 1/66 + 1/198»1. В пашем случае использовался такой фрагмент этой таблицы:

2/3

2

1/3

1

В первом столбце пишется та часть, которую нужно взять от делителя числа 3. А второй столбец показывает результат этой операции: 2/3 от 3 равно 2, а 1/3 от 3 равно 1. Этой единицы и не хватало древнеегипетскому вычислителю до 16. Итак, получаем 16=15 + 1, а 15 получается как 12 + 3, чему соответствуют числа 4 и 1, которые в сумме дают 5. В итоге деления имеем результат 5 и 1 /3.

Одна из самых известных задач древности «о кошках и домах» встречается в папирусе Райнда (задача № 79). «В задаче речь идет о 7 кошках в каждом из 7 домов; каждая кошка съела по 7 мышей, из которых каждая съела по 7 колосьев ячменя; каждый же колос мог дать 7 мер хлеба»[13]. Надо найти общее число домов, кошек, мышей, колосьев и мер хлеба. Это задача на суммирование произвольной геометрической прогрессии. Задача решается двумя способами. При суммировании получается число 19 607. Но получить это число можно или долгим путем простого сложения, или используя формулу суммирования геометрической прогрессии. Известный историк математики Мориц Кантор считал, что именно последним способом пользовались древние египтяне. «Кантор считает возможным, что здесь

75 - 1

вычислялось выражение ———»[15]. Как уже было сказано, в девятой книге

«Начал» Евклид доказывает правило суммирования произвольной геометрической прогрессии. Так задача-шутка оказывается одним из основных звеньев в построении пяти правильных многогранников. Подобные задачи на суммирование геометрической прогрессии засвидетельствованы на многих вавилонских табличках. По ходу решения задачи можно реконструировать общую форму суммирования геометрической прогрессии.

Теперь рассмотрим египетские и вавилонские достижения в стереометрии, соответствующие трем последним книгам «Начал» Евклида. Из имеющихся у нас данных можно смело утверждать, что древние египтяне и вавилоняне знали о существовании математических стереометрических тел и умели вычислять их объем. Они вычисляли объемы куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра как произведение основания на высоту. Очень интересны египетские формулы для вычисления объема усеченной пирамиды: V = (а2 + ah + b2)h/3, где а и b — стороны квадратных оснований пирамиды; h — высота.

Наиболее загадочный и удивительный результат получен в задаче № 10 Московского папируса, где вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4У2». Текст неясен, а может быть, и неполон. В. В. Струве усмотрел в нем совершенно точное правило вычисления поверхности полушара, Т. Пит — боковой поверхности цилиндра, а О. Нейгебауэр — приближенное вычисление куполообразного амбара для хранения зерна. Несомненно, что для получения таких результатов одних эмпирических наблюдений недостаточно. Нужна более или менее развитая математическая теория.

Вавилоняне использовали свои развитые алгебраические приемы и для решения ряда задач на нахождение стереометрических объемов. Вычисление этих объемов сводилось к кубическим алгебраическим уравнениям. «Ставился вопрос об определении ребер прямоугольного параллелепипеда по данной сумме объема и площади одной грани, т.е. xyz + ху, и некоторым условиям, наложенным на ребра»[16] [17]. Но формулировка и способ решения более соответствуют алгебраической традиции материального эфира, позже реализованной в алгебре Диофанта. Скорее всего, это были приложения алгебраических методов к стереометрическим телам.

Одной из важнейших стереометрических задач, решенных древними вавилонянами, является задача вычисления в приближенной форме объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями через произведение полусуммы основания на высоту V= 2 + b2)h/2, подобным образом находился и объем усеченного конуса. «Впрочем, по всей вероятности, было известно и точное правило для усеченной пирамиды в той форме, в какой оно име-

/ * 2 . / * 2

г , „ т т/ а + Ь ci-b

лось у Герона Александрийского в I в. н.э., V = - + — —;— п»2.

2 J 31^ 2 J

Одна из задач папируса Райнда содержит формулу, определяющую площадь круга. «При вычислении площади круга египтяне пользовались довольно хорошим приближением, полагая ее равной квадрату со стороной в 8/9 диаметра: S = (8/9d)2. Этому правилу, содержащемуся в задаче № 50 папируса Райнда, отвечает значение л = 4 • (8/9)2 « 3,1605, погрешность которого менее 1%. Метод получения правила неизвестен. Очень правдоподобна гипотеза А. Е. Раик о последовательном наложении квадратных сеток. Предполагается, что площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного квадрата, из которого удаляются маленькие квадратики

со сторонами irf,

Исходя из предложенной реконструкции данную задачу нельзя отнести к атомистическим методам, ибо круг не делится на неделимые меньшей размерности, а исчерпывается маленькими квадратиками. Речь идет, конечно, об исчерпывании разности между площадью описанного квадрата и вписанного круга. Поэтому данную задачу следует поместить к математическому материалу, относящемуся к кругу задач двенадцатой книги Евклида.

Известно, что часть египетского математического наследия была вывезена из Египта первым философом и математиком Древней Греции Фалесом. Открытия, которые приписываются Фалесу, также можно соотнести с текстом евклидовых «Начал». Это будет проделано в следующем параграфе.

  • [1] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 14.
  • [2] Там же. С. 33.
  • [3] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 22—23.
  • [4] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 31.
  • [5] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 23.
  • [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 47.
  • [7] Там же. С. 51.
  • [8] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 50.
  • [9] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 22.
  • [10] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 29.
  • [11] Нейгебауэр О. Указ. Соч. С. 85.
  • [12] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 22.
  • [13] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 23.
  • [14] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 23.
  • [15] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 60.
  • [16] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 46.
  • [17] Там же. С. 49.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>