Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Фалес

До VI в. до н.э. в Древней Греции не встречается сколько-нибудь серьезного развития математического и физического знания. Познания древних греков не выходят за границы гомеровских и гесиодовских текстов. «Напомним еще, что математика на Древнем Востоке развивалась крайне медленно. На протяжении веков и даже тысячелетий не было заметно никакого прогресса. Примерно на таком же (или более низком) уровне были и математические знания в Греции VIII—VII веков до нашей эры»[1] [2].

Как же слабо развитый в научном отношении народ мог в считанные годы достигнуть высот математического знания? Греки V—IV вв. до н.э. приписывают расцвет своих знаний расцвету полисной политической системы. Демократия и свобода — вот две причины столь бурного развития знаний. Таково было мнение самих греков. Но насколько это правда? На самом деле они правы, ибо причина появления всех этих знаний действительно лежит в демократическом устройстве, но причина не создания этих знаний, а их открытия, обнародования.

Как уже говорилось выше, в течение VI в. до н.э. греки ездили учиться в Египет, где к этому времени ионийские наемники составляли основу стабильности политической системы Египта. За этот период тайному египетскому знанию были обучены сотни греческих ученых. «Сами греки говорят единогласно, что основания своей геометрии и астрономии они нашли в Египте и Вавилоне. Фалес и Пифагор, Демокрит и Евдокс — все они должны были ездить в Египет и Вавилонию»[3].

Но вначале все знания сохранялись в тайне даже после переезда в Грецию. Египтяне и вавилоняне обучали греков всем трем философским традициям: философии атомизма, философии материального эфира и философии первоэлементов. И греки решили поставить социальный эксперимент. Они попробовали перейти к атомизму (индивидуализму). А атомизм подразумевает свободу слова, политическую свободу и интеллектуальную свободу. И эта свобода была греками превратно понята как вседозволенность. Они к началу IV в. до н.э. полностью разгласили все тайные знания древних египтян и вавилонян. Свобода и атомизм для греков закончились полным порабощением со стороны Македонии, а затем Рима.

Итак, древние греки получили все традиции сразу. О греческом атомизме и материальном эфире было уже рассказано выше. Сейчас речь пойдет о математике первоэлементов. Следует сказать, что греки перемешали все математические знания и немногие из них понимали философские основания, которые разнились у разнородных математических частей. Поэтому постараемся отделить только те математические знания, которые относятся к математике первоэлементов. Что относится именно к этой области? Естественно, что это знание самих первоэлементов (правильных многогранников) и их существенных свойств. Но сюда относится также и весь процесс построения правильных многогранников. Причем у Евклида этот процесс растягивается на целых тринадцать книг. Что же следует отнести к этому процессу?

Сначала производится построение необходимых правильных многоугольников: правильного треугольника, квадрата, правильного пятиугольника, правильного шестиугольника и правильного пятнадцатиугольника. Все они, кроме пятнадцатиугольника, используются в большей или меньшей степени для построения правильных многогранников. Считается, что первый, кто среди греков начал описание процесса построения пяти правильных многогранников, был Фалес. Вот что о Фалесе пишет Прокл: «Фалес путешествовал в Египет и привез геометрию в Элладу; многое он открыл сам и для многого другого он дал основу жившим после него»[4].

Он принимал, что космос состоит из четырех первоэлементов. Основным первоэлементом он считал воду, как это делали египтяне в VI в. до н.э. Эфир достаточно долго не смешивали с четырьмя первоэлементами, ибо считали его божественным и рассматривали отдельно.

Фалесу приписываются следующие геометрические открытия (речь идет именно об открытиях египетских и вавилонских знаний): «По сообщению Прокла, который сам опирался на не дошедшую до нас историю геометрии ученика Аристотеля Евдема Родосского (около 320 года до нашей эры), ионийцы первые среди эллинов занялись геометрией, причем Фалес: 1) доказал, что диаметр делит круг пополам; 2) нашел предложение о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника; 3) открыл, что при пересечении двух прямых получаются равные углы; 4) доказал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла»[5].

Диоген Лаэртский утверждал, что Фалес «первый описал круг около прямоугольного треугольника»[6]. А Эвдем приписывает Фалесу немного другую теорему: «Угол, вписанный в полуокружность, прямой»[7]. Эвдем связывает деление Фалесом диаметра пополам и данную теорему. Вот что писал об этой теореме Цейтен: «Теорема эта, знание которой считалось в его время необходимым для доказательства теоремы об угле, вписанном в полуокружность, была также нужна Фалесу»[8].

Первое открытие Фалеса встречается на первых же страницах «Начал» Евклида в определении 17: «Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же рассечет круг пополам»[9].

Второе открытие Фалеса Евклид приводит в предложении 5 книги 1: «У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой. И по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой»[10].

Третье открытие Фалеса приводится Евклидом в предложении 15 книги 1 «Если две прямые пересекаются, то образуют углы через вершину, равные между собой»[11].

Четвертое открытие Фалеса соответствует предложению 26 книги 1: «Если два треугольника имеют два угла, равных двум углам каждый каждому, и одну сторону, равную одной стороне, либо заключающейся между равными углами, либо стягивающей один из равных углов, то они будут иметь и остальные стороны равными остальным сторонам каждая каждой и оставшийся угол оставшемуся углу»[12].

Таким образом, четыре открытия Фалеса составляют основные звенья первой половины первой книги «Начал» Евклида. А «Начала» Евклида устроены дедуктивным образом так, что каждое звено этой великой цепи обязательно и необходимо, иначе цепь разорвется и дойти до правильных многогранников будет невозможно.

Так, при доказательстве предложения 26 используется предложение 16, которое в свою очередь доказывается на основе предложения 15. На основании предложения 26 доказывается весьма важное предложение 34: «В образованных параллельными линиями площадях противоположные стороны и углы равны между собой и диаметр разделяет их пополам». На основании предложения 34 доказываются предложение 41: «Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теме же параллельными, то параллелограмм будет вдвое большим треугольника»[13] и предложение 46: «На данной прямой надстроить квадрат»[14]. А на основании этих предложений доказывается ключевая теорема Пифагора — предложение 47: «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол»[15]. Также можно показать и значение предложения 5.

Фалесу также принадлежит теорема, известная как теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Эта теорема в общей форме вводится Евклидом только как предложение 2 книги 6: «Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она пропорционально рассекает стороны треугольника; и если стороны треугольника рассечены пропорционально, то прямая, соединяющая сечения, будет параллельна остающейся стороне треугольника»[16].

Итак, геометрические достижения Фалеса совпадают с началом пути построения правильных многогранников. Это и позволяет отнести Фалеса и его школу к традиции математических первоэлементов.

  • [1] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 31.
  • [2] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 59.
  • [3] Ван дер Варден Б. Л. Указ. соч. С. 114.
  • [4] Ван дер Варден Б. Л. Указ. соч. С. 125.
  • [5] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 65.
  • [6] Ван дер Варден Б. Л. Указ. соч. С. 122.
  • [7] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 35.
  • [8] Там же. С. 36.
  • [9] Евклид. Начала. Книги I—VI. М.; Л., 1948. С. 12.
  • [10] Там же. С. 19.
  • [11] Там же. С. 28.
  • [12] Там же. С. 37.
  • [13] Там же. С. 52.
  • [14] Евклид. Начала. Книги I—VI. М.; Л., 1948. С. 57.
  • [15] Там же. С. 58.
  • [16] Там же. С. 175—176.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>