Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Пятая и шестая книги «Начал» Евклида

Теперь перед Евклидом стоит новая цель — описать свойства и дать построение самих этих правильных многогранников. Для этого осуществляется долгое, на протяжении пяти книг, описание сначала пропорциональных (рациональных) отношений между величинами, а затем пропорциональных отношений между числами. Отношениям между величинами, т.е. между отрезками и фигурами, посвящены пятая и шестая книги «Начал». Рациональные отношения между числами описываются в седьмой, восьмой и девятой книгах. Но все это делается Евклидом с единственной целью - дать описание отличных от рациональных — иррациональных отношений. Этому посвящена сложнейшая десятая книга «Начал».

Начнем постепенно рассматривать содержание пятой и шестой книг «Начал» Евклида. Эти книги посвящены построению новой теории пропорции. Это была актуальная задача для платоновской школы того периода. Необходимо было четко отделить математические методы, основанные на потенциальной бесконечности, от атомистических методов, основанных на актуальной бесконечности. Для этого Евклид очень тщательно вводит определения пятой книги.

Первое определение гласит: «Часть есть величина от величины, меньшая от большей, если она измеряет большую»[1]. В этом определении четко прописано, что часть меньше целого. Это сразу полагает отличие от атомизма, где часть бесконечного множества может быть равна целому бесконечному множеству. Точно такой же смысл имеет и определение 2 книги 5: «Кратное же — большая от меньшей, если она измеряется меньшей»[2].

Следующие два определения продолжают вводить свойства потенциальной бесконечности, отличающие ее от актуальной бесконечности атомизма. Определение 3 книги 5 звучит следующим образом: «Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству»[3], а определение 4 книги 5 — «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»[3]. Понятно, что определение 4 возможно только для потенциально бесконечных величин.

Далее Евклид рассматривает величины, относящиеся друг к другу в том же отношении. Опять же определение дается на основе представлений о больше-меньше. Затем вводится понятие пропорциональности для обозначения такого рода величин. В определении 7 вводится отношение «больше» внутри пропорции. Определения 9 и 10 рассматривают случаи двойного и тройного отношения внутри пропорции, т.е. речь идет о непрерывных пропорциях а : b = b : с и а : b = b : с = с : d. Последующие определения вводят различные виды отношений и пропорций.

Теперь рассмотрим предложения, которые доказывает Евклид в пятой книге. Начальные предложения книги исчерпывают различные преобразования и соотношения величин внутри пропорций. Дадим перевод предложений Евклида на более понятный современный математический язык.

  • • предложение 1 книги 5: если а : b = с : d, то а : b = + с) : (b + d).
  • • предложение 2 книги 5: если а : b = с : d и е : / = b : d, то + ё) : Ъ =

= (c+J):d.

  • • предложение 3 книги 5: если а : b = с : d, то та : Ь = тс : d.
  • • предложение 4 книги 5: если а : b = с*: d, то та : пЬ = тс : nd.
  • • предложение 5 книги 5: если а : b = с : d, то а : b = {а - с) : (b - d).
  • • предложение 7 книги 5: если а : Ь = с : d, то b : а = d: с.

Приведем слова Цейтсна, которые поясняют смысл ряда последующих предложений пятой книги: «Предложения 9 и 10, являющиеся обратными по отношению к 7 и 8, могут быть доказаны способом от противного. В предложении 14 с помощью предыдущих предложений доказывается, что если а : b = с : d, то а < с влечет за собой b < d и а> с влечет за собой b > d.

В предложении 15 с помощью предложения 12 доказывают, что та : mb =

= а : Ь. Предложения 16—19 содержат ряд преобразований пропорции a : b = c: d; из нее получают:

  • ac = b:d( 16);
  • (а - b): b = (с - d) : d (17);
  • (а + b): b = (с + d): d (18);
  • a : b = (a - c) : (b - d) (19)»[5].

До предложения 20 книги 5 Евклид рассматривает различные соотношения внутри простых пропорций, при этом много внимания уделяется случаем неравенства. Предложения 20—23 посвящены обоснованию теории сложных пропорций, как они определены в определениях 17 и 18 книги 5. Определение 17 звучит так: «По равенству отношение бывает при задании нескольких величин и равного им количества других, находящихся, взятые попарно, в том же самом отношении, когда как первая к последней в ряду первых величин, так будет и первая к последней в ряду вторых величин; или иначе: взятие отношения крайних с пропуском средних»[6]. В переводе на более современный язык это можно выразить следующим образом[7]: если а : /;: с = А : В : С, то а : с = А : С.

Определение 18 вводится Евклидом так: «Переменная же пропорция бывает, когда при задании трех величин и других равных им по количеству получается, что как в ряду первых величин предыдущая к последующей, так и в ряду вторых величин предыдущая к последующей, как же в ряду первых величин последующая к какой-то третьей, так в ряду вторых какая-то третья к предыдущей»[6]. Это математически можно выразить так[7]: если а : b = В : С, b : с = А : В, то а : с = А : С.

Указанные выше предложения разбирают соотношения именно внутри такого рода сложных пропорций. Книга 5 заканчивается предложением 24: «Если первая имеет ко второй такое же отношение, как и третья к четвертой, и пятая ко второй имеет такое же отношение, как и шестая к четвертой, то составленные первая и пятая ко второй будут иметь такое же отношение, что и третья и шестая к четвертой»[10] и предложением 25: «Если четыре величины пропорциональны, то и наибольшая из них и наименьшая больше двух остающихся»[11].

Эти предложения носят максимально общий характер для теории пропорций, но Евклид нс мог их доказать раньше. Для доказательства предложения 24 требуется предварительное доказательство предложения 22 книги 5, в котором доказывается: если a : b = d :e и если b:c = e:f9 то а : с = -df. Для доказательства предложения 25 требуется последнее доказанное для несложных пропорций предложение 19 книги 5.

В целом пятая книга представляет собой развертывание содержания, имплицитно присутствующего в определениях этой книги. Кроме того, в этой книге вводится составление отношений а b и b : с в отношение а : с. При этом составное отношение а : с соответствует современному произведению.

Шестая книга «Начал» Евклида полностью посвящена приложению теории пропорций пятой книги к геометрии. «Это геометрическое дополнение к учению о пропорциях находится в шестой книге “Начал”, которая, сверх того, содержит важнейшие приложения этой теории к геометрии — в особенности к подобным фигурам, а также сочетание ее с геометрической алгеброй. Благодаря этому сочетанию удается представить геометрически и решить уравнения второй степени, в которых при х[12] [13] имеется коэффициент; правда, если этот коэффициент а был рационален, то древние, как мы видели, умели превращать заданное уравнение в другое с неизвестным ах, без коэффициента при члене второй степени; если же этот коэффициент был иррационален и приходилось представить его некоторым отрезком, то обыкновенная геометрическая алгебра двух измерений становилась недостаточной»1.

Более подробно разберем положения шестой книги. Начнем с определений, которые предваряют предложения данной книги. Определение 1 книги 6: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные»[13]. Очевидно, что представление о подобных фигурах может быть, по Евклиду, введено только после изложения теории пропорций, ибо определение подобия включает в себя представления о пропорциональности сторон при равных углах.

Также и определение 2 книги 6 вводит обратно сопряженные фигуры, которые определяются через предыдущие и последующие отношения. Затем следует замечательное определение 3 книги 6, где говорится о золотом сечении. Это определение звучит так: «Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если как целая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему»[3]. Введение золотого сечения опять же невозможно без предварительного изложения теории отношений пятой книги. Золотое сечение будет играть очень важную роль в построении общей теории решения уравнений второй степени и построении правильных многогранников.

Для доказательства предложения 1 книги 6 Евклиду понадобится четвертое определение, которое знакомит с понятием о высоте. Высота определяется как перпендикуляр, проведенный от вершины к основанию. Предложение 1 книги 6 формулируется следующим образом: «Треугольники и параллелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, относятся друг к другу как основания»[16]. Иначе, площади треугольников и параллелограммов с одной и той же высотой пропорциональны основаниям. Опять же для доказательства этого простейшего предложения используется теория пропорций пятой книги.

Предложение 2 книги 6: «Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некоторая прямая, то она пропорционально рассекает стороны треугольника; и если стороны треугольника рассечены пропорционально, то прямая, соединяющая сечения, будет параллельна остающейся стороне треугольника»[17]. Это известный аналог теоремы Фалеса, о которой рассказывалось в параграфе об этом первом греческом философе и математике. Евклид смог ввести эту теорему только после построения всей теории пропорций пятой книги.

В предложении 3 книги 6 на основе теории пропорций вводится еще одна линия, характеризующая треугольники. Речь идет о биссектрисе. Предложения 4—7 книги 6 посвящены подобным треугольникам. Эти предложения повторяют предложения первой книги о равенстве двух треугольников, только в шестой книге речь идет не о равенстве, а о подобии такого рода треугольников. Подобные треугольники Евклид называет равноугольными, а стороны в них — пропорциональными. Затем на основе этих предложений доказывается предложение 8 книги 6: «Если в прямоугольном треугольнике проведен из прямого угла к основанию перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому, и между собой»[18]. Это предложение будет использовано при доказательстве ключевого предложения 31 книги 6. Об этом предложении подробнее будет сказано немного позже.

Предложения 9—13 книги 6 содержат деления отрезка на равные и пропорциональные части. Кроме того, здесь же дано построение третьей, четвертой и средней пропорциональной. В предложениях 14—23 книги 6 рассмотрены отношения между площадями фигур. Основным здесь является предложение 23. «В книге VI, 23, где доказывается, что отношение между двумя параллелограммами, имеющими равные углы, составляется из отношений между сторонами их, видно также, что последним придают форму а : b и b : с, чтобы можно было их составить»[19].

Предложения с 24 по 27 книги б являются предварительными для введения теорем, сформулированных в предложениях 28 и 29, с которых начинаются ключевые теоремы книги 6. Предложения 28 и 29 повторяют предложения второй книги для эллиптического и гиперболического приложения площадей. Основное отличие заключается в их более общем характере.

Цейтен так передает их содержание: «К заданному отрезку (а) приложить заданную площадь (В) в виде такого прямоугольника (с высотой х), чтобы недостающий (28) или избыточный (29) прямоугольник был подобен заданному прямоугольнику (со сторонами с и d). Решения здесь абсолютно те же, что и решения, выведенные нами ... из II, 5 и 6 для случаев, когда недостающие или избыточные фигуры должны быть квадратами, с той, однако, разницей, что прежние квадраты заменены прямоугольниками, подобными заданным прямоугольникам; подобие их ясно обнаруживается в том, что диагональю обоих подобных прямоугольников является одна и та же прямая»[20].

Затем на основе предложения 29 книги б доказывается предложение 30 книги 6: «Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении»[21]. Это предложение является обобщением предложения 11 книги 2 на основе построенной в пятой книге теории пропорций.

Необходимо еще раз заметить, что золотое сечение будет использовано Евклидом при построении пяти правильных многогранников. Следующее предложение 31 книги 6: «В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, стягивающей прямой угол, равна вместе взятым фигурам на сторонах, заключающих прямой угол, подобным ей и подобно построенным»[21]. Таким образом, предложение 31 содержит обобщение теоремы Пифагора на случай любых подобных фигур, построенных на сторонах прямоугольного треугольника. Напомним, что в первой книге теорема Пифагора была рассмотрена только для квадратов (т.е. в первой и второй книгах «Начал» Евклид рассмотрел простейшие случаи уравнений первой и второй степени, теперь же он вводит их в самом общем виде с учетом коэффициентов).

«Итак, мы видим, что пятая и шестая книги “Начал” содержит необходимые принципы точного и вполне общего исследования — с помощью теории пропорций и геометрической алгебры — задач, которые на языке нашей алгебраической символики выражаются уравнениями первой и второй степени»[23]. Последнее предложение 33 книги 6 «В равных кругах углы имеют то же отношение, что обводы, па которых они стоят, будут ли они находиться при центре или при обводах»[24] будет использовано для доказательств в последующих теоремах «Начал» Евклида.

  • [1] Там же. С. 142.
  • [2] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 142.
  • [3] Там же.
  • [4] Там же.
  • [5] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 102.
  • [6] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 144.
  • [7] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 144. Примечания.
  • [8] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 144.
  • [9] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 144. Примечания.
  • [10] Там же. С. 170—171.
  • [11] Там же. С. 171.
  • [12] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 106.
  • [13] Евклид. Начата. Книги I—VI. С. 173.
  • [14] Евклид. Начата. Книги I—VI. С. 173.
  • [15] Там же.
  • [16] Там же. С. 174.
  • [17] Там же. С. 175—176.
  • [18] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 184.
  • [19] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 104.
  • [20] Там же. С. 107-108.
  • [21] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 213.
  • [22] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 213.
  • [23] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 109.
  • [24] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 216.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>