Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Десятая книга «Начал» Евклида

Для удобства изложения сразу выпишем основные иррациональности из классификации иррациональностей десятой книги «Начал» Евклида[1] [2]:

  • • медиаль: ур= ^/ар;
  • • биномиаль: Va + VP;
  • • первая бимедиаль: Va + &Va Va;
  • • вторая бимедиаль: Va + &VP Va;

fa Г I k I k ^

• большая иррациональность: л — J1 +-— + Jl--— ;

V 2 [V 1 + k2 V 1 + k2 )

a T. 1 "

• рацианально и медиально квадрирующая:, , 1 + , ;

VVi + *4 Vi + f J

• бимедиально-квадрирующая: ^/ap 1 + , ^ ;

V VI + A2

  • • первая биномиаль: mr + Vm2 - n2 • r;
  • • вторая биномиаль: . m г н- mr;

Vl-n2

  • • третья биномиаль: Va + Vl - п2 Va;
  • • четвертая биномиаль: mr + Vm2r2 - с;
  • • пятая биномиаль: Vm2r2 + с + mr;
  • • шестая биномиаль:>/а + Vp> где а = mr;
  • • вычет: Va - Vp;
  • • первый медиальный вычет: Va - &VaVa;
  • • второй медиальный вычет: Va -

/af [t [t ]

  • • меньшая иррациональность: у— ^1 + -—— - у 1 - -—— ;
  • • образующая с рациональным целое медиальное:
  • • образующая с медиальным целое медиальное:

f L Г- Г

V2:^T^4v1+i+*2 V[2] 1+*2j

  • • первый вычет: - kr-J - X2;
  • • второй вычет: kr , ^ = - kr;
  • • третий вычет: yfkr - V&rV 1 - X2;
  • • четвертый вычет: kr - kr . ?;

vr+i

  • • пятый вычет: kryj 1 + - kr,
  • • шестой вычет: г4ш - r4n,

л

где т> п; г обозначает рациональную прямую; т, n,k,X =--рациональ-

т

ные числа.

Теперь со всей тщательностью рассмотрим одну из самых интересных и загадочных книг «Начал» Евклида — десятую книгу. Немногие современные математики могут уверенно ориентироваться в материале этой книги. Но без классификации иррациональностей невозможно дать определение правильных многогранников. Чтение десятой книги «Начал» должно вполне убедить сомневающихся в том, что древние обладали знаниями, возможно, превосходящими современный уровень развития математики. Не будем забывать, что иррациональности нужны для правильных многогранников, а последние были известны задолго до греков. Причем ни жрецы, ни халдеи не брали на себя честь их открытия.

Сначала Евклид вводит ряд определений соизмеримых и несоизмеримых величин. Это деление восходит к пифагорейцам Феодору Кирен- скому и Теэтету. Подробно эти представления уже были разобраны в главе, посвященной этим пифагорейцам. Здесь же приведем цитату из Цейтена: «Что касается самих этих наименований, то в интересах читателей, намеренных обратиться к самому тексту Евклида, замечу, что когда он говорит о рациональных величинах, то он имеет в виду не только величины, соизмеримые с единицей, но и такие величины, квадраты которых соизмеримы с единицей или, как он выражается, которые “в степени соизмеримы” с единицей... В соизмеримости или несоизмеримости двух величин можно убедиться, как мы уже сказали выше (стр. 50), пытаясь непосредственно найти их наибольшую общую меру: несоизмеримость двух величин обнаруживается в том, что эту операцию можно продолжать до бесконечности, причем последовательные остатки непрерывно уменьшаются и могут быть сделаны меньше любой заданной величины»[4] [5]. Цейтен четко разводит три рода величин, вводимых Евклидом: соизмеримые, соизмеримые в степени и несоизмеримые.

Начнем изложение содержания десятой книги. Евклид сразу вводит операцию попеременного вычитания в предложении 1 книги 10: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины»2.

Эта операция тут же применяется для полного определения несоизмеримых величин. Это делается в предложении 2 книги 10: «Если для двух заданных неравных величин при постоянном попеременном вычитании меньшей из большей остающееся никогда не будет измерять своего предшествующего, то величины будут несоизмеримыми»[6].

Таким образом, несоизмеримые величины не имеют общей меры или общей единицы измерения, причем каждая в отдельности из этих величин может иметь такую меру с другой величиной. Основные случаи несоизмеримости связаны с соотношением замкнутых кривых линий и сторон прямолинейных фигур, вписанных в данные замкнутые кривые или описанных вокруг них. Классические случаи несоизмеримости — это соотношение стороны квадрата и радиуса описанной окружности, соотношение ребра правильного многогранника и радиуса описанной сферы. Напомним, что Евклид делал различения внутри несоизмеримых величин, выделяя из них соизмеримые в степени.

Предложения с четвертого по шестое рассматривают случаи соизмеримых величин. В предложении 6 книги 10 дается еще одно определение соизмеримых величин с использованием понятия числа. Это предложение звучит так: «Если две величины имеют между собой отношение как число к числу, то эти величины будут соизмеримыми»[7]. И тут же вводится определение для несоизмеримых величин в предложении 8 книги 10: «Если две величины не имеют между собой отношение, как число к числу, то эти величины будут несоизмеримыми»[8].

Начиная с предложения девять и до четырнадцатого Евклид вводит различные соотношения между соизмеримыми линейно, соизмеримыми в степени и несоизмеримыми величинами. Следующие шесть предложений рассматривают случаи составления плоских фигур из соизмеримых и несоизмеримых величин, а также различные соотношения между площадями полученных фигур. Все это делается ради предложения 21 книги 10: «Прямоугольник, заключенный между рациональными соизмеримыми только в степени прямыми, будет иррациональным и его квадрирующая будет иррациональной; пусть же она называется медиалью»[9].

Евклид более точно называл медиаль средней. Квадрирующая линия — это квадратный корень из данной площади. Квадрирующая линия будет стороной квадрата, если рассматриваемая площадь будет квадратом. Если же рассматриваемая площадь будет какой-нибудь иной прямолинейной фигурой, то квадрирующая линия будет соответствовать линии, на которой можно построить равный данной фигуре квадрат. Смысл доказательства очень прост. Исходными линиями, несоизмеримыми линейно и соизмеримыми в степени, являются АВ и ВС (рис. 3.13).

Над АВ надстраивается квадрат AD, который является соизмеримым согласно определению 4 книги 10: «И назовем квадрат на заданной прямой рациональным, и все площади с ним соизмеримые, рациональными, несоизмеримые же с ним — иррациональными, и линии, их квадрирующие, — иррациональными, причем если эти площади являются квадратами, то самые стороны, если же какими-нибудь иными прямолинейными фигурами, то — линии, на которых строятся равные им квадраты»[10].

Рис. 3.13

Затем Евклид утверждает, что BD линейно не соизмеримо с ВС, а значит, и AD несоизмеримо с АС согласно предложению 11 книги 10: «Если четыре величины будут пропорциональны, первая же соизмерима со второй, то и третья будет соизмерима с четвертой; и если первая несоизмерима со второй, то и третья будет несоизмерима с четвертой»[11].

Исходя из всего вышесказанного Евклид делает вывод, что и линия, квадрирующая прямоугольник АС, будет иррациональна. Эта линия и будет называться медиалыо — первой иррациональностью, которую вводит Евклид. И далее до предложения 36 книги 10 Евклид рассматривает различные свойства медиалей, медиалей в степени и медиальных площадей.

Новую иррациональную линию вводит предложение 36 книги 10: «Если составляются две рациональные, соизмеримые только в степени прямые, то целая будет иррациональной; пусть она называется биноминалью»[12]. Двумя рациональными, соизмеримыми только в степени, являются линии АВ и ВС, а биноминалью будет линия АС, составленная из этих двух линий (рис. 3.14).

Рис. 3.14

В следующих двух предложениях Евклид вводит первую и вторую бимедиали. Это предложение 37 книги 10: «Если составляются две соизмеримые только в степени медиали, заключающие рациональную площадь, то целая будет иррациональной; пусть она называется первой бимедиалью»[13] и предложение 38 книги 10: «Если составляются две соизмеримые только в степени медиали, заключающие медиальную площадь, то целая будет иррациональной; пусть она называется второй бимедиалью»[14].

Далее Евклид вводит еще несколько иррациональностей. Предложение 39 книги 10 звучит так: «Если составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие составленное из квадратов на них рациональным, прямоугольник же между ними медиальным, то целая прямая будет рациональна; пусть она называется большей»[15].

Следующее предложение дает определение рационально и медиально квадрирующей. Это предложение 40 книги 10: «Если составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие сумму квадратов на них медиальной, прямоугольник же между ними рациональным, то целая прямая будет иррациональной; пусть она называется рационально и медиально квадрирующей»[8].

В предложении 41 книги 10 вводится бимедиально квадрирующая: «Если составляются две прямые, несоизмеримые в степени, делающие сумму квадратов на них медиальной и прямоугольник между ними медиальным и, кроме того, несоизмеримым с суммой квадратов на них, то целая прямая будет иррациональной; пусть она называется бимедиально квадрирующей»[17].

Предложения с 42 по 47 посвящены разделению всех уже введенных иррациональных линий на рациональные части (рационали). Причем Евклид выясняет, что это можно сделать только в одной точке, т.е. возможен только один вариант деления. Это разделение используется при определении новых видов иррациональностей.

Десятая книга — самая большая из всех книг «Начал». Евклид делит ее на условные смысловые части. Эти части касаются классификации иррациональностей. Вторая такая часть начинается группой определений, в которых вводятся новые виды иррациональностей. Приведем вторую группу определений десятой книги.

«1. Если предложена рациональная прямая и биномиаль разделена на две рационали, из которых большая рациональ будет в квадратах более меньшей на квадрат на линейно с собой соизмеримой прямой, то, когда большая рациональ соизмерима будет линейно с отложенной рациональной, пусть вся биномиаль называется первой биномиалью.

  • 2. Когда же меньшая рациональ будет соизмерима линейно с отложенной рациональной прямой, то пусть называется второй биномиалью.
  • 3. Если же ни одна из рационалей не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной прямой, то пусть называется третьей биномиалью.
  • 4. Затем, когда большая рациональ будет в квадратах больше меньшей на квадрат на несоизмеримой с собой линейно прямой, то когда большая рациональ будет соизмерима линейно с отложенной рациональной прямой, пусть называется четвертой биномиалью.
  • 5. Когда же меньшая рациональ соизмерима, то — пятой.
  • 6. Когда же ни та, ни другая, то — шестой»[18].

В предложениях с 48 но 53 книги 10 Евклид показывает способ построения только что введенных иррациональностей. В предложениях с 54 по 59 книги 10 рассматриваются площади, составленные из шести биномиалей и рациональной прямой. Евклид выявляет, какие из ранее введенных иррациональностей квадрируют эти площади. В предложениях с 60 по 65 книги 10 выясняется способ построения шести биномиалей как ширины прямоугольника, который является приложением на рациональной прямой квадрата, построенного на различных уже введенных иррациональностях. В предложения с 66 по 70 книги 10 перечисляются пять видов уже введенных иррациональностей. При этом Евклид показывает, что линии, линейно соизмеримые с этими иррациональностями, будут иррациональностями того же вида. В предложения 71 и 72 книги 10 показывается, какие из уже известных иррациональностей возникают при соединении рационального и медиального, а также соединения двух несоизмеримых медиальных.

Начиная с предложения 73 книги 10 Евклид вводит несколько новых иррациональностей. Предложение 73 звучит так: «Если от рациональной отнимается рациональная, только в степени соизмеримая с целой, то остающаяся будет иррациональной; пусть называется она вычетом»[8].

Если АС будет рациональной, а ВС будет ее рациональной частью, соизмеримой с АС только в степени, то получающаяся АВ будет иррациональной и будет называться вычетом (см. рис. 3.14). Этот вычет будет использован Евклидом при построении пятого правильного многогранника додекаэдра — божественного эфира.

Предложение 74 книги 10 вводит первый медиальный вычет: «Если от медиали отнимается медиаль, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая рациональную площадь, то остающаяся будет иррациональной; пусть называется она первым медиальным вычетом»[8]. Эта иррациональная линия может быть выражена через такой же рисунок, как и для предыдущего вычета.

Предложение 75 книги 10 вводит второй медиальный вычет: «Если от медиали отнимается медиаль, только в степени соизмеримая с целой, вместе же с целой заключающая медиальную площадь, то остающаяся будет иррациональной; пусть называется она вторым медиальным вычетом»[21]. Эта иррациональная линия также может быть выражена через такой же рисунок, как и для предыдущего вычета.

В предложении 76 книги 10 рассматривается новая весьма важная иррациональность, которую Евклид называет меньшей. Эта иррациональность используется при построении икосаэдра, правильного многогранника, соответствующего первоэлементу воде. Приведем текст предложения 76: «Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, образующая же с целой квадраты на них вместе взятые рациональные, прямоугольник же между ними медиальный, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется “меньшей” иррациональной»[22].

В предложении 77 книги 10 вводится следующая иррациональная: «Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая составленное из квадратов на них медиальное, дважды же прямоугольник между ними рациональный, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется образующей с рациональным целое медиальное»[23].

В предложении 78 книги 10 определяется еще одна иррациональность: «Если от прямой отнимается прямая, несоизмеримая в степени с целой, вместе же с целой образующая составленное из квадратов на них медиальное, дважды же прямоугольник между ними медиальный и еще квадраты на них, несоизмеримые с дважды прямоугольником между ними, то остающаяся будет иррациональной; пусть она называется образующей с медиальным целое медиальное»[8].

Предложения с 79 по 84 книги 10 рассматривают вопросы сочетания вновь введенных иррациональностей с другими иррациональностями. На этом вторая условная часть десятой книги заканчивается.

Третья условная часть вводится новой группой определений, задающих новые иррациональные. Приведем эти определения.

«1. Если при отложении рациональной прямой и вычета целая в квадратах будет больше сочетающейся на квадрат на соизмеримой с собой линейно и целая будет линейно соизмерима с отложенной рациональной прямой, то пусть вычет называется первым вычетом.

  • 2. Если же сочетающаяся будет линейно соизмерима с отложенной прямой и целая в квадратах будет больше сочетающейся на квадрат на соизмеримой с собой, то пусть вычет называется вторым вычетом.
  • 3. Если же никакая не будет линейно соизмерима с отложенной рациональной и целая в квадратах будет больше сочетающейся на квадрат на соизмеримой с собой, то пусть вычет называется третьим вычетом.
  • 4. Опять, если целая в квадратах будет больше сочетающейся на квадрат на несоизмеримой с собой линейно, то если целая будет линейно соизмерима с отложенной рациональной, пусть вычет называется четвертым вычетом.
  • 5. Если же соизмерима будет сочетающаяся, то — пятым.
  • 6. Если же никакая не будет соизмерима, то — шестым»[25].

Предложения с 85 по 90 книги 10 позволяют найти все вновь введенные

шесть вычетов. Предложения с 91 по 96 книги 10 рассматривают квадрирующие площадей, образованных между рациональной и шестью вычетами. Предложения с 97 по 102 книги 10 показывают способ построения всех шести вычетов как ширины прямоугольника на рациональной прямой.

Причем на этот прямоугольник приложен квадрат из ранее введенных иррациональностей.

В предложениях с 103 по 107 книги 10 показывается, что соизмеримые с введенными во второй и третьей условных частях иррациональными будут теми же самыми по рангу иррациональностями. В предложениях 108—110 показывается, какие иррациональности возникают при отнятии рациональных и медиальных площадей друг от друга в различных сочетаниях. В предложениях 111 — 114 рассматриваются различные соотношения между вычетом и биномиалью.

Последнее предложение 115 книги 10 звучит так: «Из медиали возникают в бесконечном множестве иррациональные, и никакая никакой из предыдущих не тождественна»[26]. Напомним, что именно медиаль Евклид ввел в качестве первой из иррациональных. Теперь, в конце десятой книги, он выводит из нее все остальные иррациональности (т.е. медиаль является основной порождающей иррациональностью для всех остальных).

  • [1] _ VT^J
  • [2] Евклид. Начала. Книги VII—X. Комментарии Мордухай-Болтовского. С. 416—477.
  • [3] Евклид. Начала. Книги VII—X. Комментарии Мордухай-Болтовского. С. 416—477.
  • [4] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 112—113.
  • [5] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 102.
  • [6] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 103.
  • [7] Там же. С. 107.
  • [8] Там же.
  • [9] Там же. С. 124.
  • [10] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 101.
  • [11] Там же. С. 113.
  • [12] Там же. С. 144.
  • [13] Там же. С. 145.
  • [14] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 145.
  • [15] Там же. С. 148.
  • [16] Там же.
  • [17] Там же. С. 149.
  • [18] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 157.
  • [19] Там же.
  • [20] Там же.
  • [21] Там же. С. 194.
  • [22] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 196.
  • [23] Там же. С. 197.
  • [24] Там же.
  • [25] Там же. С. 206.
  • [26] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 253.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>