Полная версия

Главная arrow Философия arrow ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ: ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Одиннадцатая и двенадцатая книги «Начал» Евклида

После систематизации и классификации иррациональностей Евклид полностью готов к построению трехмерных тел. Напомним, что конечная цель Евклида — построение правильных трехмерных тел, пяти правильных многогранников. Но пока Евклид начинает с определения трехмерных тел. Определения 1 и 2 книги И звучат так: «1. Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину. 2. Граница же тела — поверхность»[1].

Затем Евклид вводит перпендикулярные прямые и плоскости и через них определяет любые наклонные прямые и плоскости к данной плоскости. С помощью этих понятий Евклид в определении 11 книги 11 вводит телесный угол: «Телесный угол в случае более чем двух прямых, касающихся друг друга и не находящихся в одной плоскости, есть наклон между всеми прямыми. Иначе: телесный угол есть угол, заключенный между более чем двумя плоскими углами, не находящимися в одной и той же плоскости и составленными вместе у одной точки»[2].

Все это пригодится Евклиду при построении трехмерных геометрических тел. Начиная с двенадцатого определения Евклид рассматривает трехмерные тела и их свойства. Определение 12 книги 11 вводит пирамиду: «Пирамида есть телесная фигура, заключенная между плоскостями и восстановленная от одной плоскости к одной точке»[3]. Характерно, что Евклид определяет пирамиду через плоскости, ее ограничивающие. Это отличает Евклида от атомистической традиции, где пирамида определялась бы через сумму параллельных сечений.

Также через определение границ вводятся призма и сфера. Евклид это делает в определении 13 книги 11: «Призма есть телесная фигура, заклюценная между плоскостями, из которых две противоположные равны, подобны и параллельны, остальные же параллелограммы»[4] и определении 14 книги 11: «Сфера будет: если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура и есть сфера»[3].

Затем Евклид описывает основные линии и точки в сфере. Следующие определения Евклида посвящены конусу и цилиндру. Конус Евклид определяет так: «Конус будет: если при неподвижности одной из сторон прямоугольного треугольника, прилежащих к прямому углу, вращающийся треугольник снова вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура и есть конус»[3].

Цилиндр же определяется следующим образом: «Цилиндр будет: если при неподвижности одной из сторон прямоугольного параллелограмма, прилегающих к прямому углу, вращающийся параллелограмм снова вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура и будет цилиндром»[7].

Здесь же Евклид определяет ось и основания конуса и цилиндра. Последние четыре определения посвящены правильным многогранникам, которые и являются целью создания евклидовых «Начал» (среди них у Евклида нет определения тетраэдра, являющегося частным случаем ранее определенной пирамиды). Дадим эти определения.

«25. Куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами.

  • 26. Октаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между восьмью равными и равносторонними треугольниками.
  • 27. Икосаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между двенадцатью равными и равносторонними треугольниками.
  • 28. Додекаэдр есть телесная фигура, заключающаяся между двадцатью равными, равносторонними и равноугольными пятиугольниками»[8].

Первые двадцать три предложения одиннадцатой книги носят вспомогательный характер. Конечная цель этих предложений заключается в обеспечении возможности построения параллелепипеда, осуществленного в предложении 24 книги 11: «Если тело заключается между параллельными плоскостями, то противоположные его плоскости будут равными и параллелограммами»[9].

Но до этого надо было разобрать пересечение линий и плоскостей, пересечений двух плоскостей в трехмерном пространстве. До этого необходимо было ввести представление о телесном угле и выявить его свойства. «В этой книге Евклид устанавливает, в частности, ряд теорем, которые пригодятся ему впоследствии при построении параллелепипедов и многогранников, как, например в 20 и 21, — известные теоремы о плоских углах многогранного угла. После этого в 22 подготовляется, а в 23 выполняется построение трехгранного угла по заданным плоским углам; для этого на сторонах углов, данных как грани искомого трехгранного угла, откладывают равные отрезки; потом в получившихся, таким образом, трех равнобедренных треугольниках берут их основания и по ним строят треугольник, вокруг которого описывают окружность; центр этой окружности и есть проекция вершины искомого трехгранника. Эвклид тщательно доказывает возможность этого построения, исходя, конечно, из условия, что грани удовлетворяют требованиям теорем 20 и 21; и, таким образом, он показывает, что эти условия достаточны»[10].

Все это Евклид разобрал до построения параллелепипеда. И затем до тридцать седьмого предложения Евклид рассматривает различные свойства параллелепипедальных тел, особое внимание при этом уделяется их подобию.

В предложении 38 книги 11 разбираются вопросы сечения куба, а последнее предложение этой книги рассматривает две равновысокие призмы с разными основаниями, выявляя условия их равенства. Это предложение звучит так: «Если будут две равповысотные призмы и одна имеет основанием параллелограмм, другая же — треугольник, параллелограмм же будет вдвое больше треугольника, то эти призмы будут равны»[11].

Это предложение будет использовано для доказательства очень важного предложения 3 книги 12, которое будет рассмотрено чуть ниже. Оно пригодится для доказательства равенства двух призм при делении пирамиды.

Двенадцатая книга «Начал» состоит из трех блоков предложений. Первые девять предложений посвящены делению пирамиды на меньшие пирамиды и призмы. Здесь же рассматривается ряд непосредственно связанных с этим задач. Начиная с десятого предложения Евклид разбирает соотношение конуса и цилиндра, а также сопутствующие задачи. А начиная с шестнадцатого предложения разрешается задача о вписании в сферу многогранного тела. Эта задача является очень важной, ибо все правильные многогранники будут рассмотрены именно как вписанные в сферу и именно через эту сферу будут определяться.

Теперь разберем эти блоки чуть поподробнее. Наибольшей популярностью сейчас пользуются первые два предложения двенадцатой книги. Это предложение 1 книги 12: «В кругах подобные многоугольники будут относиться друг к другу как квадраты на диаметрах»[12] и предложение 2 книги 12: «Круги будут друг к другу как квадраты на диаметрах»[13]. Это классические примеры метода исчерпывания, которые будут потом кочевать из одной математической работы в другую.

При доказательстве второго предложения Евклид использует первое предложение десятой книги: «Если положивши две неравные величины, мы будем от большей отнимать больше чем половину и от остатка больше чем половину, и делать это постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше, чем данная меньшая величина»[14]. Именно на основании этого предложения Евклид проводит геометрическое доказательство отношения кругов как квадратов на диаметрах.

Еще более явно используется метод исчерпывания в предложении 3 книги 12: «Всякая пирамида, имеющая треугольное основание, разделяется на две равные и подобные друг другу и [подобные] целой, имеющие треугольное основание пирамиды и на две равные призмы; и эти две призмы будут больше, чем половина целой пирамиды»[15].

Это очень важное предложение для всей традиции математических первоэлементов, ибо вместе с предложением 7 книги 12: «Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания»[16] они составляют основу для деления пирамиды на бесконечное количество подобных частей.

Но сначала рассмотрим подробнее предложение 3. Евклид с помощью метода исчерпывания делит пирамиду на две равные и подобные себе и целой пирамиды AEGH и GKLD, а также на две равные призмы с треугольными основаниями HEGIBK и HICGKL (рис. 3.15). Соответственно, эти две пирамиды по седьмому предложению могут быть еще разделены на три равные друг другу пирамиды.

Рис. 3.15

Теперь рассмотрим метафизическую цель этого разделения пирамиды. Ведь если мы возьмем правильную пирамиду, то получим огонь как пифагорейско-платоновский первоэлемент. Из этих первоэлементов состоит идеальный космос, который не должен иметь пустот, и его элементы должны делиться до бесконечности. Куб может бесконечно делиться на меньшие кубы, при этом подобие и пропорциональность будут сохраняться. Также и пирамида согласно вышеизложенным доказательствам Евклида может бесконечно делиться на подобные и пропорциональные пирамиды.

Об этом говорит даже противник математических первоэлементов Аристотель: «Среди плоских фигур способны заполнять пространство, по общему мнению, три: треугольник, квадрат и шестиугольник; среди телесных — только две: пирамида и куб»[17]. Затем Аристотель указывает на связанные с этим вопросом проблемы, ведь всего два первоэлемента подлунного мира могут геометрически заполнять трехмерное пространство без пустот.

Воздух (октаэдр) и вода (икосаэдр) непосредственно сами не могут заполнить объем без пустоты. Но они, по Платону, могут предварительно быть превращены в огонь (пирамиды). Так, вода (икосаэдр) превращается в два элемента воздуха и один элемент огня. В свою очередь, воздух (октаэдр) превращается в два элемента огня. Поэтому в идеальном космосе пустота не возникает при делении, перемещении или взаимном превращении элементов.

Итак, бесконечное деление и метод исчерпывания являются существенными характеристиками идеального космоса. Идеальный космос оказывался совершенным как в целом, так и в каждой своей минимально возможной части, ибо каждая часть подлунного мира также оказывалась совершенным первоэлементом до бесконечности. Таким образом, взаимное превращение первоэлементов вполне охватывалось представлением в рамках потенциальной бесконечности или бесконечного деления.

Во втором блоке предложений двенадцатой книги самым важным является предложение 10 книги 12: «Всякий конус есть третья часть цилиндра, имеющего с ним то же самое основание и одинаковую высоту»[18]. При доказательстве этого предложения Евклид опять использует метод исчерпывания, при этом цилиндр соотносится с призмой, а конус — с пирамидой. А из седьмого предложения двенадцатой книги известно, что призма разлагается на три равных пирамиды. Значит, и цилиндр будет содержать в себе три конуса, т.е. конус будет третьей частью цилиндра.

Затем, как уже было сказано, Евклид рассматривает соотношения между конусами и цилиндрами. Последний третий блок содержит всего три предложения. Из них основным является предложение 17 книги 12: «При наличии двух сфер около того же самого центра вписать в большую сферу многогранное тело, не касающееся поверхности меньшей сферы»[19]. При доказательстве опять же Евклид использует метод исчерпывания. Еще одним важным и существенным моментом доказательства является деление вписанного многогранного тела на пирамиды.

Внутри этого важного предложения доказывается лемма, которая устанавливает, что вписанные таким образом многогранники будут иметь тройное отношение диаметров сфер. И эта лемма затем используется в последнем предложении двенадцатой книги. Это предложение 18 книги 12

излагается Евклидом так: «Сферы находятся друг к другу в тройном отношении собственных диаметров»[20].

  • [1] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 9.
  • [2] Там же. С. 10.
  • [3] Там же.
  • [4] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 10.
  • [5] Там же.
  • [6] Там же.
  • [7] Там же. С. 10-11.
  • [8] Там же. С. 11.
  • [9] Там же. С. 37.
  • [10] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 115.
  • [11] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 61.
  • [12] Там же. С. 63.
  • [13] Там же. С. 64.
  • [14] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 65.
  • [15] Там же. С. 67.
  • [16] Там же. С. 76.
  • [17] Аристотель. О небе. Т. 3. С. 360.
  • [18] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 81.
  • [19] Там же. С. 96.
  • [20] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 103.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>