Толстостенная труба под действием внутреннего давления

Рассмотрим бесконечно длинную толстостенную трубу под действием внутреннего давления (рис. 3.16).

Рис. 3.16

Будем считать, что ее материал упругонластичный и изотропный, а интенсивность давления не меняется ни в окружном, ни в осевом направлениях, т.е. ра = const.

Задача является осесимметричной. Найдем напряжения, предполагая, что реализуется плоская деформация (ег = 0).

Вследствие осевой симметрии касательные напряжения на гранях малого элемента (рис. 3.17) отсутствуют, а радиальное перемещение (и), радиальные и окружные деформации (с,., ?ф) и напряжения (су, сто, су) будут функциями только одной переменной — текущего радиуса (г). Таким образом, напряженное состояние — сложное (трехосное растяжение-сжатие), а задача оказывается одномерной.

Рис. 3.17

Уравнения деформационной теории пластичности для рассматриваемой задачи примут следующий вид:

• уравнение равновесия

• геометрические соотношения

• физические уравнения

  • — при нагружении
  • — при разгрузке

Граничные условия

Условие пластичности

В начале нагружения труба деформируется упруго. При этом наиболее напряженными будут точки, прилегающие к внутренней поверхности трубы (г = а). Здесь напряжения будут равны

С ростом внутреннего давления увеличиваются и напряжения, и при некотором его значении в точках внутренней поверхности трубы появятся первые пластические деформации.

Принимая гипотезу пластичности в виде условия (3.24), можно найти это давление.

При дальнейшем увеличении давления область пластических деформаций расширяется, ее наружный радиус обозначим через с.

Таким образом, при а < г < с имеем область упругопластического деформирования, а при с < r< b — область упругого деформирования. На граничной поверхности г = с действует контактное давление q (рис. 3.18).

Рис. 3.18

Определим напряженное состояние трубы в области пластических деформаций.

При принятых гипотезах относительно деформаций в этой области (е0 = О и ес|) = 0) из третьего равенства (3.21) следует, что

Подставляя это выражение для осевого напряжения в условие (8.24) (в данном случае в формуле (3.24) предполагается крайний случай, т.е. равенство), получим

С учетом полученного равенства уравнение равновесия (3.19) запишется в виде

Интегрируя его в пределах г = а,сг= —ра, г = с, аг = -д, получим

На границе пластической и упругой областей (г = с) должны быть равны окружные напряжения, т.е.

Из формул (2.25) и (3.25) следует, что

Подставляя эти выражения в равенство (3.27), получим

Из формул (3.26) и (3.29) находим выражение, из которого при заданном внутреннем давлениира можно найти границу упругой и пластических областей, т.е. с:

Таким образом, найдя по заданному внутреннему давлению ра границу пластической области с, далее можно рассчитать напряжения в обеих областях трубы.

Область упругих деформаций:

Область упругопластических деформаций. Зная с, по формуле (3.29) можно найти давление ц, далее по формуле (3.28) окружное, по формуле (3.25) радиальное и, наконец, осевое напряжение как полусумму первых двух. Таким образом, напряжения в этой области трубы будут равны

Остаточные напряжения находят с учетом того, что разгрузка упруга.

Пример 3.2. Найти напряженное состояние трубы, нагруженной равномерным внутренним давлением. В расчетах принять а = 20 мм, b = 50 мм, от = 200 МПа, р = 0,3, р( = 150 МПа. Определить также остаточные напряжения.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.30), найдем радиус с, соответствующий заданному давлению.

Для этого построим график зависимости внутреннего давления от радиуса с и установим то его значение, которое соответствует заданному давлению (рис. 3.19). Из этого рисунка следует, что давлению ра = 150 МПа соответствует радиус с = = 26,82 мм.

Рис. 3.19

Теперь по формулам (3.31) и (3.32) можно рассчитать напряжения в упругой и упругопластической областях деформированной трубы.

Эпюры этих напряжений показаны на рис. 3.20.

Рис. 3.21

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Следует обратить внимание на то, что окружные напряжения в области пластического деформирования достигают своих максимальных значений не на внутренней поверхности трубы, а на внешней поверхности этой области, т.е. при г = с.

После разгрузки остаточные напряжения определяют как разность напряжений после нагружения (см. рис. 3.20) и упругих напряжений при ра = -150 МПа. Эпюры остаточных напряжений показаны на рис. 3.21.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >