Толстостенная труба из вязкоупругого материала под действием внутреннего давления

Рассмотрим нагруженную внутренним давлением толстостенную трубу, которая вставлена без зазора и без «натяга» в тонкостенную цилиндричес-

кую оболочку (рис. 5.17 и 5.18).

Рис.5.18

Рис. 5.17

Труба изготовлена из полимерного материала, который в рассматриваемых условиях находится в высокоэластичном состоянии и обладает вязко- у пру г и м и свойствам и.

Физические соотношения примем в форме уравнений (5.12) и (5.13). Объемные деформации упругие, т.е. 0 = /С/ст_г|).

Механические характеристики полимера заданы кривыми ползучести (рис. 5.19) и модулем объемной упругости К = 1,11 -10³ МПа. Функции сдвиговой ползучести и релаксации примем в виде П(?) = П₀?“, R(t) = R₀t~^a.

Рис. 5.19

В результате обработки экспериментальных кривых ползучести были найдены параметры функции сдвиговой ползучести П₀ = 334-10'⁶ МПа а = 0,258.

Анализ кривых ползучести показывает, что при напряжениях, меньших 4 МПа, наблюдается линейность вязкоупругих свойств полимера.

Найдем параметры функции сдвиговой релаксации. Компоненты девиа- торов деформаций и напряжений связаны соотношениями

Изображения этих функций по Лапласу — Карсону равны Отсюда

где Г(а + 1) — гамма-функция.

Изображение функции сдвиговой ползучести имеет вид

где R₀ =

а се оригинал

sin(rca)

П₀7га

Таким образом, материальные функции и константы полимера внутренней трубы установлены.

Оболочка (наружная труба) также изготовлена из полимерного материала, который находится в стеклообразном состоянии и деформируется, подчиняясь закону Гука. Модуль упругости этого полимера Е₀= К)¹ МПа.

Перейдем к определению напряженного состояния рассматриваемой конструкции. При решении этой задачи воспользуемся методом интегральных преобразований в сочетании с методом аппроксимаций А. А. Ильюшина.

Как указывалось выше, при решении необходимо:

• • найти решение соответствующей «упругой» задачи;
• • в этом решении оставить модуль объемной упругости К и константу со = 2G/(3K), модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона выразить через эти два параметра;
• • функции, содержащие параметр со, аппроксимировать функциями вида (5.28);
• • записать это решение в изображениях по Лапласу — Карсону, заменив

• найти оригиналы искомых функций, осуществив обратное преобразование.

Реализуем этот алгоритм.

1. «Упругое» решение.

Плоское напряженное состояние толстостенной трубы и радиальные перемещения ее точек при действии равномерного радиального давления определяются формулами (2.23) и (2.24), где а, и — радиальное и окружное напряжения; и — радиальное перемещение; г — текущий радиус (я < r< b — для внутренней трубы и b < г < с — для наружной); р_а и р_ь — внутреннее п наружное давление.

В рассматриваемом случае при действии на составную трубу внутреннего давления на поверхности контакта возникает контактное давление (см. подпараграф 2.6.2), которое можно определить из условия равенства радиальных перемещений точек труб, прилегающих к поверхности контакта, т.е. из уравнения

Запишем выражения для этих перемещений:

Наружная труба имеет малую толщину свода h = с - Ь, с учетом этого с точностью до бесконечно малых более высокого порядка можно записать

Подставляя эти выражения в равенство (5.30), найдем контактное давление:

где т = Ъ/а.

Тогда «упругое» решение задачи по определению напряжений во внутренней трубе имеет вид

Проведем в этой формуле замены Е = 9Кы/(2 + со) и р = (1 - со)/(2 + со), тогда

где

Аппроксимируем эту функцию функцией вида

При т = 2 коэффициенты аппроксимирующей функции оказываются равными /1<°> = 0,074,/1⁽¹> = 0,037, /1<‘> = -0,036.

На рис. 5.20 показаны графики этих функций (сплошная кривая соответствует функции /(со), кружки — функции /1 (со)).

Рис. 5.20

Как очевидно, аппроксимация вполне удовлетворительная.

Таким образом, решение «упругой» задачи можно записать в виде

Найдем решение «вязкоупругой» задачи, для чего запишем полученное выражение в изображениях по Лапласу — Карсону:

1 R*

Проведя замену — —* ЗКП, со* —*? —, получим

Оригиналы искомых функций имеют вид

На рис. 5.21 показаны эпюры рассчитанных по этим формулам нормальных напряжений во внутренней трубе в различные моменты времени.

Рис. 5.21

Изменение во времени напряжений при постоянном внутреннем давлении является следствием протекания релаксационных процессов (ползучести и релаксации) в материале трубы.

Важно отметить, что учет вязкоупругих свойств материала дал возможность выявить характерную особенность окружных напряжений: с течением времени они из положительных (растягивающих) становятся отрицательными (сжимающими).

Это обстоятельство является благоприятным, так как большинство изотропных полимерных материалов лучше сопротивляются сжимающим напряжениям.