Вектор угловой скорости тела. Формула Эйлера-Пуансо

Можно получить удобное представление вектора v скорости точки вращающегося тела, если ввести новый вектор со - вектор угловой скорости тела.

Вектор со определим следующим образом:

  • - его модуль |со| = Ы= |<»|, т.е. равен модулю угловой скорости тела;
  • - его направление совпадает с направлением оси л вращения тела, если ф > 0, и противоположно оси вращения, если ф < 0.

Символьная запись этого определения имеет вид:

Замечание. Вектор со не зависит от выбора направления оси вращения s, т.к. при замене в (6.11) s° на -s° одновременно меняется направление отсчета угла <р, а значит и знак производной ф.

В подтверждение этого замечания можно дать такое определение вектора со, в котором вообще не упоминается ориентация оси s.

Рис. 6.10

Вектор со направляется вдоль оси вращения тела по правилу буравчика (правого винта), а его модуль равен модулю угловой скорости тела (рис. 6.10).

Скорость v любой точки М вращающегося тела может быть представлена в виде векторного произведения

где г - радиус-вектор точки М относительно какого-нибудь центра О, лежащего на оси вращения тела (рис. 6.11).

Равенство (6.12) называют формулой Эйлера-Пуансо.

Рис. 6.11

Убедимся в его справедливости, используя правило векторного произведения и полученный ранее результат (6.6).

Как известно, модуль векторного произведения |(i)xr| =|а (рис. 6.11). Д ОСМ - прямоугольный, поэтому |г| • sin а = СМ =И - расстояние от точки М до оси вращения тела. Тогда

т.е. векторы v и сох г имеют равные модули. Покажем теперь, что векторы со х г и v имеют одинаковые направления.

Согласно правилу векторного произведения вектор сох г перпендикулярен плоскости Д ОМС и образует с векторами ши г правую тройку. Как видно из рис. 6.11, это направление совпадает с направлением вектора скорости точки М:

Выполнение (6.13) и (6.14) означает равенство векторов v и сох г .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >