Оценки средних

Среднее квадратическое отклонение выборочного среднего X

где о — среднее квадратическое отклонение случайной величины.

При достаточно большом числе наблюдений, например, для нормального закона распределения можно положить

причем

Оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения

При достаточно большом п так же, как и в случае формулы (1.81), обычно можно положить

Последнее равенство означает, что выборочная медиана рассеивается около среднего Х0 несколько больше, чем выборочное среднее X.

Несмещенной оценкой для дисперсии а2 служит величина S2, вычисленная по наблюденным данным х,:

причем

В формуле (1.84) часто ограничиваются просто значениями п. Хотя в этом случае оценка является смещенной, но при больших п постоянная погрешность незначительна.

Обычно при статистических исследованиях известны не сами параметры, а лишь оценки. Поэтому в правых частях формул (1.82), (1.83) и (1.85) средних квадратических отклонений параметр о и другие параметры заменяют их оценками, например а заменяют на S.

В случае п > 25 и при нормальном законе распределения вместо формулы (1.85) применяют формулу

В случае нормального закона распределения или распределений, незначительно отклоняющихся от нормального, с целью упрощения вычислений используют следующие оценки для параметра а.

1. Несколько худшей, чем S, оценкой среднего квадратического отклонения является статистическая характеристика 0j, вычисляемая по формуле

Таблица 1.8 облегчает подсчеты по формуле (1.87). Для большого объема совокупности можно принять

где 0 — выборочное среднее абсолютное отклонение.

_ 1,25

1аблица 1.8. Значения — = i

ЛlN{N- 1)

N

1 '

N

1 '

N

1

4

0,36

9

0,15

14

0,093

5

0,28

10

0,13

15

0,086

6

0,23

11

0,12

17

0,076

7

0,19

12

0,11

20

0,064

8

0,17

13

0,10

25

0,050

Пример 1.35

Найти 0, для данных. Объем совокупности велик, воспользуемся формулой (1.88). Выборочное среднее абсолютное отклонение 0 = 0,00899 мм.

Откуда = 1,2533 • 0,00899 = 0,011267 мм ~ 0,0113 мм.

Это значение отличается от более точной величины S менее чем на пять единиц 5-го знака.

2. Оценку а по размаху W удобно производить при использовании малых текущих выборок. ^

Несмещенной оценкой параметра а будет величина —W,

dn

т.е.

Значения dn приводятся в табл. 1.9. В практике находят по выборкам средний размах

где — размах случайной выборки.

Таблица 1.9. Числа dn

п

d„

и

d„

п

d„

2

1,12838

10

3,07751

18

3,64006

3

1,69257

11

3.17287

19

3,68896

4

2,05375

12

3,25840

20

3,73495

5

2,32593

13

3,33598

50

4,49815

6

2,53441

14

3,40676

100

5,01519

7

2,70436

15

3,47183

200

5,49209

8

2,84720

16

3.53198

500

6,07340

9

2,97003

17

3,58788

1000

6,48287

Далее полагают

причем

Значения сп приведены в табл. 1.10.

Таблица 1.10. Значения с„

n

n

n

tl

cn

2

0,8525

6

0,848

10

0,797

14

0,762

3

0,8864

7

0,833

11

0,787

15

0,755

4

0,8798

8

0,820

12

0,778

20

0,729

5

0,8641

9

0,808

13

0,770

100

0,605

Для начальных и центральных моментов распределения имеет место приближенное равенство, аналогичное равенству (1.81); при большом объеме п выборки можно положить

Оценки моментов распределения

Обычно используют только моменты до четвертого порядка включительно в связи с ростом средних квадратических отклонений оценок.

Аналогично могут быть использованы равенства для оценки асимметрии и эксцесса:

Для нормального распределения:

Одним из критериев оценки предположения о том, что экспериментальная совокупность нормальному закону распределения, служит соблюдение условий:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >