Интегрирование функций

Как мы уже уяснили, важнейшей операцией математического анализа является дифференцирование, которое по заданной функции определяет новую функцию — ее производную. Здесь вполне уместно поставить вопрос об обратной операции для дифференцирования, которая по заданной производной восстанавливала бы исходную функцию. Интегрирование — так называется эта операция, — наряду с дифференцированием является важнейшей составляющей высшей математики, в той или иной форме встречается во всех областях знаний, использующих математические средства для решения своих конкретных задач. Глубинный смысл, как думает профессор Ю. В. Павлюченко, этого понятия раскрывается в латинской первооснове слова «интегрирование» — что значит объединение, собирание воедино, в противоположность дифференцированию, которое означает разделение, разобщение.

Неопределенный интеграл: основные определения и понятия

Техника интегрирования. Предположим, что на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом) задана непрерывная функция у = f(x). Дадим следующие основные определения.

Определение 10.26. Функция у = F{x) называется первообразной функции у = /(.г), если в каждой точке промежутка функция f(x) является производной функции F(x):

Определение 10.27. Однопараметрическое семейство первообразных функций F(x) + С называется неопределенным интегралом функции fipc):

Здесь символ | — знак интеграла, /(.г) — подынтегральное функция, произведение f(x)dx — подынтегральное выражение, С — произвольная постоянная.

Отыскание всех первообразных данной функции называется ее интегрированием. Запишем формулы, выражающие данные выше определения и взаимную обратимость дифференцирования и интегрирования.

Табличные интегралы. По таблице производных составим таблицу интегралов некоторых элементарных функций (табл. 10.2). Каждая из этих новых формул легко проверяется дифференцированием.

Таблица 10.2

Таблица интегралов

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >