Правила интегрирования

Многие интегралы сводятся к табличным интегралам после удачно выбранных тождественных преобразований подынтегральных функций и последующего применения простых правил интегрирования, указанных ниже.

Правило 10.5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 10.6. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Методы интегрирования. К основным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, интегрирование методом подстановки и интегрирование по частям.

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов путем непосредственного приложения простейших правил интегрирования и табличных интегралов называется непосредственным интегрированием. Примеры такого интегрирования приведены выше.

Метод подстановки. Одним из самых эффективных методов приведения неопределенного интеграла к табличному является замена переменной интегрирования. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он описывается следующей формулой:

где х =(t) — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Обратим внимание на то, что простота вычисления последнего интеграла методом замены переменных обусловлена тем, что в результате сделанной подстановки в числителе оказалась производная знаменателя. Интегралы такого рода всегда приводят к натуральному логарифму модуля функции, стоящей в знаменателе. Общая формула, выражающая это важное свойство, приведена в таблице интегралов под номером 18.

Интегрирование по частям. Этот метод также является сильнодействующим методом интегрирования, который расширяет рамки наших возможностей. Пусть и = и(х), v = v(x) — дифференцируемые функции. Тогда

Эта формула и называется интегрированием по частям. Она является интегральным аналогом правила дифференцирования произведения двух функций. Для того чтобы практически применить эту формулу, нужно по функции и = «(.г) найти ее дифференциал du, а по дифференциалу dv найти функцию v = г>(х). Не давая сразу окончательного ответа, этот метод позволяет свести данный интеграл (в левой части равенства) к более простому интегралу (в правой части).

Отметим, что существуют и многие другие способы и методы интегрирования функций (например, интегрирование рациональных, иррациональных функций и т.д.), описанные в специальных разделах математики.

Как видим, в отличие от дифференцирования, интегрирование функций является задачей более содержательной и творческой, а поэтому и более трудной. Искусство интегрирования требует навыков, изобретательности. Для успеха необходимы не только познания, но и развивающий вкус и воображение собственный опыт, который приобретается лишь при самостоятельном вычислении интегралов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >