Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Сложение и умножение комплексных чисел.

Сложение двух комплексных чисел а = (я, b), р = (с, d) мы определим с помощью равенства:

Применяя это определение к двум действительным числам я и с, найдём:

т. е. первое требование, накладываемое нами на вводимые операции, выполняется в отношении сложения.

Умножение двух комплексных'чисел а и ji определим с помощью равенства:

Эго определение, будучи применимо к двум действительным числам я и с, даёт (я, 0)«(с, 0) = (яс, 0) = яс, т. е. действие умножения не приводит к противоречию с арифметикой действительных чисел. Пользуясь

определениями (I) и (II), легко проверить, чго операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

  • 1) коммутативность сложения: а -|- $ = f -f- а,
  • 2) » умножения: — ря,
  • 3) ассоциативность сложения: a-f-(P“j-Y) ^=(а-|- P)4“Y*
  • 4) » умножения: а(^у) = (ар»)у,
  • 5) дистрибутивность умножения относительно сложения:

Читателю рекомендуется проверить справедливость всех этих законов в области комплексных чисел.

В операциях с комплексными числами особую роль играет число, изображаемое парой (0, 1) и обозначаемое буквой i (от французского слова imaginaire). Возводя эту пару в квадрат, что сводится к умножению её на самоё себя, получаем в силу определения (II):

г. е. /2 = —1, откуда берёт своё начало обозначение / = V—1. Заметив это, мы всякое комплексное число можем записать так:

т. е. всякое комплексное число а = (а, Ь) может быть представлено в виде суммы действительного числа а и чисто мнимого числа Ы.

Принято называть а действительной частью комплексного числа а и обозначать через /?(а) (от французского слова reelle), b — коэффициентом при мнимой части числа а и обозначать через 1(a) (от французского слова imaginaire). Очевидно, если /(а) = 0, то комплексное число а обращается в действительное число, если R(a) = Q — в чисто мнимое. Два комплексных числа, по определению, называются равными, если равны между собою их действительные части и равны их мнимые части.

Два комплексных числа, имеющих одну и ту же первую компоненту, но противоположные по знаку вторые компоненты, называются сопряжёнными и обозначаются так:

Как частный случай равенства (II) отметим закон умножения двух сопряжённых чисел а-а = а2Ь2.

В арифметике модулем сложения называется такое число, от прибавления которого результат не меняется: число 0 аналогично 1 есть модуль умножения, г. е. число, от умножения на которое результат не меняется. Покажем, что в области всех комплексных чисел имеется один модуль сложения — число 0 и один модуль умножения.— число 1.

Действительно, пусть $ есть модуль сложения, т. е.

где 2 — произвольное комплексное число. Покажем, чго такое число $ существует и притом единственное. Прибавляя к -обеим частям равенства (1) число — а = а«— 1, получим: $ = 0.

Пусть, далее, е есть модуль умножения, т. е.

где афО. Умножая обе части равенства (2) на число ft — —,

и -р и

получим:

Так как а-а = а2 + Ь2, то отсюда следует: е = 1.

На основании определения (II) произведение двух комплексных чисел есть нуль, если хотя один множитель равен нулю. Справедливо и обратное положение: если произведение двух комплексных чисел равно нулю, то по крайней мере один из множителей есть нуль. В самом деле, пусть а-Е = 0, а Ф 0. Умножая обе части этого равенства на число ft = ~2~q^~2» получим: ? = 0.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>