Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Теоремы о модуле и аргументе.

Составляя произведение двух комплексных чисел

получим:

Отсюда заключаем:

т. е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов множителей.

Пользуясь векторами для изображения комплексных чисел, можно сказать, что вектор произведения яр получается из вектора множимого я путём поворота последнего на угол argji и растяжения в |?| раз. В частном случае, когда $1 = 1, умножение сводится к простому повороту: так, например, умножению на i соответствует поворот на 90°, а умножению на—1—поворот на 180°. В случае, когда arg[S = 0 — число положительное), умножение

сводится к одному лишь растяжению. Равенства (5) легко распространяются на случай произведения я^у • . • X произвольного числа комплексных множителей. Дчя такого произведения имеют место равенства:

и, в частности, если все множители равны между собой,

Равенства (6) выражают так называемую формулу Муавра (Moivre):

Полагая я p=r (cos <р --i sin <р), мы определим |/ а как комплексное число, которое, будучи возведено в степень л, равно я. Модуль этого числа, очевидно, будет равен 'J/r, аргумент же будет равен ?^п~ 9 где ^ — любое целое число. Давая k значения 0, 1, 2,..., п—1, получим п различных значений аргумента выражения

у/ а; следовательно, лу а имеет n различных значений согласно формуле:

Геометрически эти п значений выражения у/а, очевидно, изобразятся вершинами некоторого правильного /г-угольника, вписанного в окружность, с центром в нулевой точке, радиуса у/г.

Заметив, что по определению

находим из (5):

откуда

т. е. модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, и

т. е. аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя.

Из фиг. 2 мы усматриваем, что модуль суммы двух комплексных чисел меньше или равен сумме модулей слагаемых, так как в треугольнике любая сторона меньше’ суммы двух других сторон (знак равенства может быть в случае, когда треугольник обращается в отрезок):

Из фиг. 3 мы видим, что разность р— а двух комплексных чисел может быть изображена вектором, начало которого находится в точке а и конец в точке р, так как такой вектор эквивалентен вектору с началом в нулевой точке и концом в точке р— а. Следовательно, модуль разности [5 — а равен расстоянию между точками а и р; далее, модуль разности двух комплексных чисел больше или равен разности их ^модулей:

так как в треугольнике Оа§ (фиг. 3) сторона а($ больше разности двух других сторон (равенство может быть в случае, если треугольник обращается в отрезок).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>