Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Пределы

Фиг. 7.

Основной принцип теории пределов.

После того как мы ввели понятие комплексного числа и определили основные алгебраические операции для комплексных чисел, мы должны заняться рассмотрением основной операции анализа бесконечно малых — перехода к пределу в комплексной области. Вся теория пределов действительных чисел может быть построена на одном принципе, который в своей геометрической форме выражается таким образом:

Пусть дана на числовой прямой последовательность отрезков ij, Г2из которых каждый содержит следующий, и пусть длины этих отрезков стремятся к нулю при неограниченном возрастании номера п. Существует одна и только одна тонка, которая принадлежит всем отрезкам данной последовательности (фиг. 7).

* Заметим, что две различные точки 5 и s' не могут принадлежать всем отрезкам: действительно, в противном случае длины всех отрезков i были бы не меньше положительного расстояния между точками 5 и s чго невозможно, так как с неограниченным возрастанием п длина отрезка 1п стремится к нулю. Следовательно, двух точек, общих всем отрезкам нашей последовательности, существовать не может; существование же одной такой точки доказывается в теории иррациональных чисел. Этот принцип выражает свойство непрерывности числовой прямой.

Этот принцип легко распространяется на случай комплексной числовой плоскости. Пусть дана на плоскости последовательность прямоугольников rl9 /*я,... со сторонами, параллельными осям

Фиг. 8.

коррдинат, из которых каждый содержит следующий, и пусть диагональ прямоугольника гп стремится к нулю при неограниченном возрастании номера п (фиг. 8). Существует единственная точка, принадлежащая всем прямоугольникам данной последовательности.

Для доказательства этого принципа рассмотрим проекции всех прямоугольников гп на действительную и мнимую оси. На действительной оси мы получим последовательность отрезков ilt /2, из которых каждый отрезок содержит следующий; на мнимой оси мы также получим последовательность отрезков / у2,... ,уя,... таких, что каждый отрезок содержит следующий. Так как по условию диагональ прямоугольника гп стремится к нулю при неограниченном возрастании л, то длины отрезков /я и jn должны также стремиться к нулю. По вышеупомянутому принципу на действительной оси существует одна точка д*, принадлежащая всем отрезкам /я; по тому же принципу на мнимой оси существует единственная точка Ь*у принадлежащая всем отрезкам /я. Очевидно, точка плоскости с координатами а*, b* принадлежит всем прямоугольникам гп.

Такая точка есть единственная, т. е. не может существовать двух различных точек, принадлежащих всем прямоугольникам гп. Действительно, расстояние между этими точками было бы не больше диагонали прямоугольника гп> что невозможно, так как по условию эта последняя стремится к нулю при неограниченном возрастании п. Этот принцип мы положим в основу развития теории пределов комплексных чисел.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>