Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел.

Приведённый выше пример последовательности

Фиг. 10.

1, 2, 3,..., л,..., не имеющей предельной точки, характерен тем, что точки этой последовательности уходят в бесконечность. Мы будем называть последовательность комплексных чисел ограниченной, если модули всех чисел этой последовательности остаются меньше некоторого положительного числа Ж:

В противном случае последовательность чисел носит название неограниченной. Заметим, что в случае ограниченной последовательности точек существует круг с центром в нулевой точке достаточно большого постоянного радиуса Ж, внутри которого лежат все точки данной последовательности (фиг. 10).

Неограниченная последовательность точек, как мы видели на примере, может не иметь предельной точки. Этого обстоятельства не может представиться в случае ограниченной последовательности точек, как это следует из теоремы Больпано-Вейерштрасса.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Всякая бесконечная ограниченная последовательность точек имеет по крайней мере одну предельную точку. Это основное положение теории пределов мы

докажем, воспользовавшись вышеустановленным принципом вложенных прямоугольников (п. 1).

Пусть имеем ограниченную последовательность точек

Все точки этой последовательности лежат внутри некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Разделив •стороны прямоугольника гх пополам и соединяя середины противоположных сторон, мы разобьём прямоугольник г1 на четыре конгруэнтных прямоугольника (фиг. И). Среди этих четырёх прямоугольников имеется по крайней мере один, содержащий бесконечное множество точек данной последовательности (12), так как в противном случае

Фиг. И.

в прямоугольнике г{ было бы конечное число точек последовательности (12). Назовём этот прямоугольник г2 и разделим его снова тем же способом на четыре конгруэнтных прямоугольника. По крайней мере на одном из них, назовём его /?3, будет снова лежать бесконечное множество точек данной последовательности (12). Снова разделив его на четыре конгруэнтных прямоугольника, найдём новый ирямоугольник( г4 и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность прямоугольников rlt г2, г8,..., каждый из которых содержит следующий, с диагоналями, стремящимися к нулю, и таких, что каждому прямоугольнику гп принадлежит бесконечное множество точек данной последовательности (каждая точка считается столько раз, какова её кратность). На основании принципа «вложенных прямоугольников» (п. 1) мы заключаем, что существует точка, принадлежащая всем прямоугольникам гп. Эта точка будет предельной для данной последовательности точек. В самом деле, описав около этой точки, как центра, окружность произвольно малого радиуса з, мы видим, что, начиная с некоторого достаточно большого я, все прямоугольники гп будут лежать внутри этой окружности, и так как на каждом прямоугольнике гп имеется бесконечное множество точек данной последовательности, то и внутри проведённой окружности будет находиться бесконечное множество таких точек. Следовательно, построенная точка есть предельная для данной последовательности точек (12), чем и доказывается наша теорема.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>