Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Основное свойство стереографической проекции.

Теперь мы докажем следующее весьма важное свойство стереографической проекции: при стереографической проекции всякая окружность плоскости переходит в окружность сферы и обратно. Необходимо заметить, что в этой сокращённой формулировке теоремы слово «окружность» нужно понимать в его широком смысле, включая сюда и прямую линию, как окружность с бесконечно большим радиусом.

Действительно, уравнение любой окружности на плоскости ху имеет вид:

где А, В, С и D — действительные числа. В частности, при А== О уравнение (20) изображает прямую линию. Чтобы определить соответствующую линию на сфере, заменим в уравнении (20) х и у их выражениями через S, 7j, С; по формулам (18) и .18') найдём:

или

Полученное уравнение (21), будут первой степени, изображает плоскость. Таким образом: координаты S, г С удовлетворяют двум уравнениям: (16) и (21), и, следовательно, точки (?, 7j, С) лежат на пересечении сферы (16) с плоскостью (21), т. е. образуют окружность на числовой сфере.

Легко видеть, что, обратно, всякая окружность сферы (16) перейдёт в окружность числовой плоскости, так как, пользуясь произволом чисел А, В, С н D, мы можем представить уравнение любой плоскости в виде (21). Очевидно, окружность сферы переходит в прямую линию плоскости в том случае, если эта окружность проходит через полюс сферы, так как плоскость (21) при А = 0 проходит через точку Р (0, 0, 1).

Этот факт, впрочем, очевиден и геометрически: окружность сферы, соответствующая прямой линии плоскости, должна проходить

Фиг. 14.

через точку Я, соответствующую бесконечно удалённой точке плоскости.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>