Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Ряды

Понятие сходящегося и расходящегося ряда.

Рассмотрим бесконечный ряд

все члены которого суть комплексные числа, и образуем сумму пер' вых п членов этого ряда:

Давая п значения 1, 2, 3,..., мы получаем бесконечную последовательность комплексных чисел sv s2,..., sn,...t соответствующую ряду (22). Обратно, зная последовательность чисел sn, легко написать соответствующий ей ряд, для которого сумма первых п членов равна sn:

Мы условимся говорить, что ряд (22) сходится, если соответствующая ему последовательность чисел sn сходится, и в этом случае назовём суммой ряда (22) предел указанной последовательности. Следовательно, ряд (22) называется сходящимся, если сумма (23) первых п его членов сходится, когда п стремится к бесконечности: Нт$я = 5. Число 5 есть сумма данного бесконечного ряда.

п-+<х>

Если сумма sn первых п членов ряда (22) не сходится, то ряд (22) называют расходящимся.

В случае расходящегося ряда может случиться, что либо сумма sn первых п его членов стремится к бесконечности, либо sn не стремится ни к какому определённому пределу. В первом случае ряд называют собственно расходящимся, во втором — колеблющимся. Из изложенного следует, что вопрос о сходимости или расходимости ряда (22) эквивалентен вопросу о сходимости или расходимости соответствующей последовательности комплексных чисел (23). Например, ряд 1 --Я• + • • сходится при |^|<М и есть

собственно расходящийся при |^|^>1. Действительно, сумма sn первых п членов этого ряда представляется так:

Так как qn^q'n, то в случае |?|<0 число cf1 стремится к нулю при неограниченном возрастании л, а в случае |^|^>1 стремигся к бесконечности. Следовательно, имеем:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>