Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Понятие абсолютно сходящегося ряда.

В теории рядов с комплексными членами весьма важным является понятие абсолютно сходящегося ряда. Рассмотрим вместе с рядом (22) новый ряд, членами которого являются модули членов ряда (22):

Исследование сходимости ряда (22') с положительными членами представляет задачу более простую, нежели исследование сходимости ряда (22). В самом деле, сумма первых п членов ряда (22') — обозначим её ол — не убывает с возрастанием п и, следовательно, либо остаётся ограниченной при любом л, либо стремится к* бесконечности при неограниченном возрастании л. В первом случае последовательность неубывающих чисел ап имеет единственный предел, и, следовательно, ряд (22') сходится; во втором случае этот ряд расходится. Таким образом, сходимость ряда с положительными членами характеризуется тем фактом, что суммы первых п его членов образуют ограниченную последовательность чисел. Пользуясь этим замечанием, в теории рядов выводят различные достаточные признаки сходимости таких рядов.

Что же касается зависимости между рядами (22) и (22'), то она устанавливается при помощи следующей теоремы:

Если ряд (22'), образованный из модулей членов данного ряда (22), сходится, то сходится и данный ряд (22); короче, из сходимости ряда (22') вытекает сходимость ряда (22).

При доказательстве теоремы воспользуемся необходимым и достаточным признаком сходимости Коши (§ 3, п. 7). Заметив, что

ч

представим последнюю сумму в виде разности Здг-Ьт — Злг; получим:

По условию теоремы ряд (22х) сходится, следовательно, в силу необходимости признака Коши при любом сколь угодно малом положительном ? найдётся такое N=N(z), что он+тЗн <^е, где т — произвольное целое положительное число. Из неравенства (25) следует:

причём последнее неравенство имеет место при всяком ?]>0, N=N(e), независимо от т^О. В силу достаточности признака Коши отсюда следует сходимость данного ряда (22).

Условимся называть ряд с комплексными числами (22) абсолютно или безусловно сходящимся, если сходится ряд (22'), составленный из модулей его членов. Доказанная теорема убеждает нас в том, что всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд .сходящийся. Было бы ошибочным обратное заключение: иначе говоря, существуют ряды сходящиеся, но не абсолютно. Такие ряды назовём условно сходящимися. Примером условно сходящегося ряда может служить ряд

  • 1 — 2’“г'з—Из теории рядов известно, что этот ряд сходится; ряд же из модулей его членов, будучи гармоническим, расходится. Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд
  • 1__5 1 ?___L_i_
  • 23 ' 3- 4- ‘

Абсолютно сходящиеся ряды имеют важное значение в анализе, так как основные операции нат ними, как мы это далее обнаружим, подчиняются тем же законам, что и действия над конечными суммами.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>