Сложение и вычитание рядов.

Пусть нам даны два ряда с комплексными членами:

Складывая (или вычитая) соответствующие члены этих рядов, мы образуем новый ряд:

называемый суммой (или разностью) двух данных рядов. Если данные ряды сходятся и имеют, соответственно, суммы s и s', то ряд (27) сходится и имеет своей суммой S = s -h s'. В самом деле, обозначая через s_n и s' суммы первых п членов рядов (22) и (26),

имеем:

откуда следует

Последнее равенство убеждает нас в справедливости вышесказанного утверждения, так как

является суммой первых п членов ряда (27).

Итак, всякие два сходящихся ряда можно почленно складывать или вычитать. Операции сложения и вычитания распространяются, следовательно, на класс всех (условно или безусловно) сходящихся бесконечных рядов. Иначе будет обстоять дело с операцией умножения, которую, вообще говоря, нельзя применять к условно сходящимся рядам.

Теорема о двойных рядах.

Из данного бесконечного ряда

возможно образовать — и притом бесконечным множеством различных способов — бесконечное множество рядов таких, что каждый член и_п первоначального ряда входит в один и только в один из новых рядов. Например, таким разложением ряда (22) на бесконечное множество рядов будет:

В общем случае такое разложение ряда (22) на бесконечное множество рядов обозначим в виде таблицы:

Докажем следующее предложение: если рнд (22) абсолютно сходится и имеет своей, суммой s, то каждый из рядов (28) также абсолютно сходится если суммы рядов (28) обозначим соответственно через $_lt s₂, s₃, ..., то ряд

абсолютно сходится и имеет своей суммой s.

, Замечание. Свойство, выражаемое этой теоремой, верно для бесконечного ряда лишь при условии его абсолютной сходимости. Для условно сходящегося ряда, вообще говоря, нельзя утверждать, что его часть сходится. Например, ряд 1 — ~-|-у — . сходшся; однако, ряды

, . 1 , 1 , , 1 1 1

1+3 + 5+---> 1 - 2 — "4 — ь^-Р^ас-™Д^ятся.

Докажем, что ряд и_г | + |и_а ! + ••• ^есть сходящийся. Действительно, его частичные суммы (суммы любого числа первых членов) остаются меньше конечного числа

Следовательно, первый из рядов (28) абсолютно сходится; аналогично докажем, что каждый из рядов (28) абсолютно сходится. Обнаружим теперь, что ряд (29) абсолютно сходится. Складывая неравенства:

получим:

так как последнее неравенство верно при любом т_у то отсюда сле- дуег абсолютная сходимость ряда (29).

Остаётся показать, что сумма абсолютно сходящегося ряда (29) совпадает с суммой 5 первоначального ряда (22). Для этого достаточно показать, что разность 5 — (s_t -f- s₂ s_m) стремится к ну

лю при неограниченном возрастании т. Оценим модуль этой разности. Так как ^ есть сумма данного ряда (22), a s_l9 s₂, ..., s_m —суммы первых т рядов таблицы (28), то мы можем утверждать, что

где индексы v_lf v₂, ... суть номера всех тех членов данного ряда, которые не входят ни в один из т первых рядов таблицы (28). Обозначая через п произвольное натуральное число, выберем т столь большим, чтобы все индексы у_1э v₂, ... были больше п.

В этом случае, очевидно, имеем: s — (s_t -+- s₂ -f- • • • + s_m) I ^ tf/i+2l+-•-I ^{так как} Д^анный ряд абсолютно сходится, то, считая п достаточно большим, мы вправе утверждать:

_ГДе _? — сколь угодно малое положительное число. Итак, мы видим, что, начиная с достаточно большого т, выполняется неравенство:

что доказывает сходимость ряда (29) к сумме s.

1) Теорема о том, что модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых, легко распространяется на случай абсолютно сходящихся рядов. Действительно, полагая

имеем:

и с тем большим основанием

при любом п, откуда |« К |»1 | +1 v₂1 +...+1 v_a | +1 v_n+11 +...